依托立体几何，传播数学文化

孙建国

【摘要】2017年高考数学考试大纲第一次明确提出在高考数学中考查数学文化，近年来高考和模拟试卷中出现以古典数学名著《九章算术》为背景的新颖命题，蕴含浓厚的文化气息，将数学知识、方法和文化融为一体，有效考查了学生在新情境下对知识的理解以及迁移到不同情境中去的能力.本文收集整理近几年高考和模拟试卷中出现的以《九章算术》为背景的立体几何试题揭示其文化内涵，希望能对大家的高考备考有所启发.

【关键词】九章算术；圆周率；堑堵；阳马；鳖臑

中国古代数学取得了极其辉煌的成就，出现了刘徽、祖冲之、秦九韶等伟大的数学家，以及众多数学名著，《九章算术》便是其中的代表作，尊为古代数学之首.它遵循“经世济用”，涉及的研究大多与实际生活、生产紧密结合，具有浓厚的实际背景，其体现出明显的问题式、综合性和算法的特征.

根据教育部考试中心下发的《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》，数学大纲最大的变化之一就是第一次明确提出了在高考数学中考查数学文化.

立体几何是中国古代数学的一个重要的研究内容，从中国古代数学中挖掘素材，考查立体几何的有关知识，既符合考生的认知水平，又可以引导考生关注数学文化.本文从近年来高考和模拟试卷中选取《九章算术》中与立体几何有关的数学文化题加以分析，期望能对大家的高考备考有些许启示.

考点一：几何体的体积

例1 （2015年全国Ⅰ卷）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）.

A.14斛

B.22斛

C.36斛

D.66斛

答案 B.

此题源于《九章算术》第五卷《商功》之[二五]，将古代文化“依垣”和现代教育元素“圆锥”结合，对培养考生的爱国情操和认识中华古典文化有著深刻的意义.

训练1 《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2 000斛（1丈=10尺，1尺=10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3），则圆柱底圆周长约为（ ）.

A.1丈3尺B.5丈4尺

C.9丈2尺D.48丈6尺

答案 B.

考点二：三视图

例2 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（ ）.

A.1.2B.1.6C.1.8D.2.4

答案 B.

训练2 《九章算术》中，将底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（ ）.

A.2B.4+22

C.4+42D.6+42

答案 C.

将高考立体几何中的高频考点三视图与青铜器皿“商鞅铜方升”、古典几何体“堑堵”有机结合，提升学生用三视图还原立体图形的能力，将数学知识和数学文化有机融合考查.

考点三：圆周率估算

例3 （2012年湖北卷）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈3169V.人们还用过一些类似的公式.根据π≈3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ）.

A.d≈3169VB.d≈32V

C.d≈3300157VD.d≈32111V

答案 D.

球是最完美的几何体，揭示球的直径与体积之间的关系是我国古代数学的重要研究内容.本题以“开立圆术”为背景给出了4个历史上曾经使用过的关于球的直径与体积之间的关系的近似公式.命题人巧妙地采用“下列近似公式中最精确的一个是”这种相对隐蔽的设问方式让考生自己去寻找判断方法，渗透对考生创新意识的考查.

训练3 《九章算术》卷5《商功》记载一个问题：“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一.”这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”.就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为V=112×（底面的圆周长的平方×高）.则由此可推得圆周率π的取值为（ ）.

A.3B.3.14C.3.2D.3.3

答案 A.

学生经历从古代和现代的圆柱的体积公式估算圆周率的过程，感受古代劳动人民的勤劳和智慧.

考点四：解答题型

例4 （2015年湖北卷）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.

如图所示，在阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.

（Ⅰ）证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由.

（Ⅱ）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π3，求DCBC的值.

答案 （Ⅰ）证明略；四面体DBEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.（Ⅱ）22.

以《九章算术》中的阳马和鳖臑为载体，考查立体几何中的高频考点垂直和二面角，现代高考中渗透古典数学文化元素，提升学生数学文化的鉴赏力.

训练4 趣味思考：

① 取一长方体如何分割可以得到两个一模一样的“堑堵”？

② 取一“堑堵”如何分割可以得到“阳马”和“鳖臑”？

刘徽在《九章算术》第五卷《商功》中记载：“邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.”这番关于体积问题的论述已经接触到现代体积理论的核心问题，指出四面体体积的解决是多面体体积理论的关键.

在文理不分科，学科之间深度融合的大背景下，2017年数学高考大纲也第一次明确提出了在高考数学中考查数学文化，从中华古典数学名著（如，《九章算术》）中选取与当今高中数学教学相应的题材背景，经命题专家精细加工，再渗透现代数学思想和方法，编制出当今数学高考试题，是高考考查数学文化的重要命题方向之一.但是如何将数学文化自然地融入高考数学试题，仍是一个重大的课题.

王梓坤曾说：“数学文化具有比数学知识体系更为丰富和深邃的文化内涵，数学文化是对数学知识、技能、能力和素养等概念的高度概括.”随着新课改的不断深入，数学文化已经进入新课标和数学教材.随着富有数学文化内涵的高考题的不断涌现，定会引领教师去挖掘和探究，继而把数学文化教育不知不觉地渗透到课堂教学中，最终实现《课标》的预期目标，进而达到数学文化育人的目的.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]梅磊，史嘉.例谈数学文化融入高考试题的意义和途径[J].中学数学教学参考，2015（1-2）：16-20.

[3]郭玉红.浅谈以数学文化为背景命制的高考试题[J].数学教学通讯（中等教育），2015（18）：61-62.

[4]林丹兰.高考试题中数学文化的考查分析[J].中学数学研究，2014（11）：20-21.