聚焦核心展本质回归朴实悟“通法”——“鸡兔同笼”教学新策略

何月丰　张永辉

【课前思考】

修订后的人教版教材，“鸡兔同笼”安排在四年级下册。近两年时间，笔者与学校四年级学科组对这节课进行了深入的思考与实践，在以下几个问题上，有了新的认识。

问题一：“鸡兔同笼”该教哪种方法好？

“鸡兔同笼”的解法众多。修订后的人教版教材将其安排在四年级下册，这样“砍去”了方程一法，但仍有画图、列表、假设，还有古代经典“抬腿法”。对于四年级的学生而言，画图是“幼稚”的——四年级的学生已经可以逐步摆脱具体的图形，可以从抽象的数据进行理解了，因此，倘若把“画图”作为一种主要的方法来教，显然幼稚了点；列表是“傻傻”的——实践证明，在教师没提醒、要求或提供表格的前提下，学生一般不会按着顺序一个一个列表来寻求答案，尤其不会从“0”开始思考（鸡兔同笼，怎么可能没有鸡或兔），因此，列表显得傻傻的，是不符合学生学习心理的方法；抬腿法是“怪怪”的——首先，这个方法一部分学生很难理解，其次，这不是“通法”，当面对三轮车和自行车时，就很难实施了。如此看来，只剩下假设法了。所以笔者认为，四年级时“鸡兔同笼”教学的主要方法应该是假设法。

问题二：假设法该如何教？

对“鸡兔同笼”重点教假设法，是有质疑的，尤其是在四年级。因为许多学生面对假设法中的那一串算式，往往很难真正理解，更重要的是总会有一些学生到下课都不能理解，许多时候一节课下来，目标的达成度是偏低的。那么，如何教假设法就成了摆在我们面前的现实问题。对此，笔者认为需要关注两点：一是假设法的本质是什么？二是学生面对假设法难理解的地方在哪里？厘清这两个问题，也就厘清了假设法在课堂上的实施路径。

当我们把一个数据较小的典型“鸡兔同笼”问题给学生，如“6个头、16只脚”，绝大部分学生通过独立思考会得出答案。他们的方法中，较为普遍的一类是：先任意猜一个，如果没对，调整一下再猜一个。因为数据较小，没几次就能猜对。很明显，“猜”本身就是一种假设。我们所谓的“假设法”，无非是猜了一种极端情况（全部是鸡或兔）。现在的问题是“没猜对怎么办？”假设法中极端的猜，显然不能猜对，然后做的事情是调整。学生任意猜，没猜对，接下来也是调整，直到正确为止。至此，可以看出假设法的本质：猜——调整。这也就成了假设法教学的重点。

问题三：假设法中学生难理解的地方在哪里？

多次实践发现，学生第一次猜好后，接下来的调整有差异。低级水平：猜好后，不做分析，没有方向的再任意猜一个；中级水平：猜好后，进行分析，明确接下来鸡、兔的增减方向，再猜；高级水平：猜好后，进行分析，明确接下来鸡、兔的增减方向，根据脚的数量关系，一次性调整到位。这里，高级水平其实就是我们所谓的“假设法”的做法。由此可见，第一次猜好后，“如何调整”是学生难理解的地方。

基于以上分析我认为，就四年级学生而言，解“鸡兔同笼”方法的本质可以理解为“猜——调整”，重点是“没猜对——怎么调整”，难点是“能不能一次调整到位”。这是一种朴实的方法，也是一种通用的方法。

基于以上思辨，笔者就“鸡兔同笼”一课，制定了如下教学目标：

1.认识“鸡兔同笼”，理解“猜——调整”解决问题的方法，并能进行简单运用。

2.经历尝试、对比、分析等学习过程，发展数学推理能力。

3.感受数学的趣味性和数学学习的乐趣。

【过程设计】

一、认识“鸡兔同笼”，理解“鸡兔互换”规律

1.课件呈现问题：鸡兔同笼,从上面数，有5个头。 猜一猜，可能有几只鸡？几只兔？

2.根据学生回答，依次板书出鸡、兔数量，按顺序排列（如图所示）。

3.追问这些情况下脚一共有几只，怎么算的。根据学生回答，依次板书出各种情况下脚的数量（如图所示）。

4.对比发现规律：增加1只鸡，减少1只兔，脚的数量减少2（反之脚的数量增加2）。结合板书（画图：展现添上2只脚和去掉2只脚的过程），直观理解这个道理，最终归结为：把1只兔换成1只鸡，脚减少2；把1只鸡换成1只兔，脚增加2。

【设计意图：通过这个环节的教学，让学生感悟到1只鸡与1只兔进行交换，脚的总数量会相差2，并直观理解“相差2”是怎么发生的。由此，将画图法作为一种辅助理解的方法进行合理使用。】

二、初识“猜—调整”，尝试运用方法

1.课件呈现问题：鸡兔同笼,从上面数，有6个头。猜一猜，可能有几只鸡？几只兔？

2.学生猜一种情况，教师板书学生猜的情况（例如2只鸡，4只兔），并计算出脚的数量（20）。

3.教师告之正确的脚数量（一般根据学生猜的那种情况的脚数量，增加2或者减少2即可，此处以脚数“22”为例），发现没有猜对。追问：你能不能根据现在猜的情况，很快知道鸡和兔正确应该是几只吗？

4.学生观察思考，结合前面的学习经验，通过一次调换，得到正确的结果。教师根据学生回答，结合板书直观理解：脚要增加，兔要增加；脚要增加2，要把1只鸡换成1只兔。

5.回顾方法：先任意猜一个，如果没猜对，可以根据脚的数量进行调整（板书：猜—调整）。

6.改变脚的数量，学生自己调整：把黑板上的正确脚数“22”改成“16”。

（1）请学生学着板书的样子写一写，并独立调整出正确的结果。

（2）反馈学生的调整。

水平一：1只1只调整（这种方法同样予以肯定）。

水平二：一次性调整到位，重点理解“4÷2=2”的道理。

【设计意图：这个环节是教学的重点，要让学生初步认识“猜—调整”的方法。这里不必强求学生一定要掌握“一次性调整到位”的方法，而是只要学生能感受到“猜”也能解决问题，并且允许学生1只1只调整。同时，在学生独立调整的过程中，熟悉“图式化”的书写方式。】

三、运用“猜—调整”，加深对方法的理解

1.课件呈现问题：鸡兔同笼,从上面数，有12个头，从下面数，有30只脚。则笼子里有几只鸡？几只兔？

2.简单回顾“猜—调整”的方法，然后请学生独立解决问题。

3.反馈学生的方法。

方法一：先任意猜一个，然后几次调整找到答案。

请学生解释自己的思考过程，这样的方法，重点说明第一次猜好后该往哪个方向调整。

方法二：先任意猜一个，然后一次调整找到答案。

请学生解释自己的思考过程，这样的方法，重点说明如何一下子知道要调整几次。这里，根据学生第一次猜的情况不一样，可多反馈几个，加深对“一次性调整到位”的理解。

方法三：假设全是鸡或全是兔。

（1）展示学生的算式（或写到黑板上）。

（2）请学生介绍自己的方法。

（3）思考：他这样的方法与我们刚才的方法有联系吗？（看情况可请学生再解释一遍）

（4）结合上面的思考，引领全班学生依次理解每个算式的意思（黑板上配合图示）。

解释第一步：全部猜成鸡或兔，计算出脚的总量。

解释第二步：与正确脚数量进行比较，得出脚多了或少了的数量。

解释第三步：根据换一次相差2只脚，得出应该换几次。

（5）将其纳入“猜——调整”方法的范畴，认识到这只是一种猜的比较特殊的方法，全部猜成鸡或兔。

【设计意图：在这个环节，重点放在猜好以后如何调整的教学上，并将一般意义上的“假设法”纳入其中，一方面使本来就会“假设法”的学生有一个展示的机会，同时也使大家理解了这种方法的本质就是“猜—调整”。】

三、多层次练习，巩固方法

1.专项练习。

课件出示：鸡兔同笼,从上面数，有16个头。从下面数，有40只脚。鸡有几只？兔有几只？

小明猜：鸡可能有8只，兔也可能有8只。

（1）他猜得对吗？

（2）你能帮他调整吗？

2.基础练习。

（1）先出示《孙子算经》中的问题（如图所示），解释其意义，再用现代形式表述。

（2）请学生独立解决。

（3）反馈：重点说清先怎么猜，然后怎么调整。

3.方法推广。

（1）先出示问题（如图所示），理解题意。

（2）请学生独立解决。

（3）反馈：重点在方法推广与模型建立。

【设计意图：通过三个层次的练习，旨在巩固学生对于本课核心方法“猜—调整”的理解和掌握。在练习一和练习二的教学中，可适当渗透“第一次如何猜”的教学，即先各猜一半。练习三重点在模型的建立。】

【课后思考】

通过对不同地方（城镇、农村等）学校学生调查发现，就“鸡兔同笼”解题方法而言，学生的课前知晓率差异是明显的。有的班级“假设法”的知晓率在10%左右，也有知晓率高于50%的班级。面对这样的现状，我们更加坚信“猜——调整”这种方法的普适性。因为，我们的教育，面对的是所有的学生。他们经历了40分钟，带着朴实的“猜”走出课堂，何尝不是一种成功。

四年级的学生，从不将“猜”看作是一种方法的存在。有一次，老师问学生“猜”这种方法怎么样？学生都表示这种方法水平太低了。让学生猜，学生竟然不敢猜。是呀！在他们之前的学习中，都是通过严密的计算来寻求问题答案的。当然，本课的“猜”有别于一般意义上的“猜”，其本质是一种假设，这对四年级的学生来说，在认知上是一次飞跃。