从“面的经验”到“面积的认知”——《认识面积》改造型教学的实践与思考

李俊飞

有些知识，是自然生长出来的，是富有生命和灵性的。“认识面积”就是这样的知识，拥有生长的力量，具有生命的活力。《认识面积》的教学怎样展开？怎样“教对”？怎样“教好”？我们认为应该找到它生活或演绎的源头，将学生心中“对生活经验的明白”改造成“对数学学科知识的明白”，让学生体会面积是由面慢慢“生长”起来的。本文以《认识面积》为例，结合“五问四小结”的教学过程，谈谈改造型教学的实践与思考。

●一问：今天我们来讨论一个关于“面”的话题，你在哪里碰到过、使用过“面”？请举一个例子来说一说“面”是什么？

【生成】面条、方便面，脸面，地面、墙面、桌面、封面……

【评析：开门见山直指“面”，唤醒学生的生活经验。从聊天入手，创设轻松和谐的学习氛围，不仅唤醒了学生熟悉的生活经验，更激起了学生思考问题、回答问题的兴趣和勇气。在此过程中，我们发现“吃的面”和“凹凸不平的脸面”等，不属于我们这节课研究的范畴，所以，教师要在此环节有智慧地除去学生生活经验中这些非数学学科的“伪经验”，将视线回归到像“桌面、板面、床面、墙面、地面、封面……”等“平平的面”上来。

在三年级常用版本的教材中，“面积概念”是表一这样教学的。可见，部分版本教材的“面积概念”涉及了“物体表面”，但如果囿于“物体表面”，由摸一摸三维物体的表面进入教学，因为摸的是“体外面的全部”，无形中就会给学生一种“体的空间感”，从而模糊了“面的二维感”，学生就会容易混淆“面积和体积”的概念。也有的教材涉及“围成”“封闭”，但如果囿于字面意思，无形中就会给学生一种“线围成面”的错觉，易混淆“周长与面积”的概念。所以，我们直接从“什么是面？”切入《认识面积》的教学，让学生既不会有“体的空间感”，也不会有“线的框架感”，而是紧紧在“平面”上初步感知“面的二维性”，避免“体”“面”“线”三个概念间的模糊与混淆。】

表一

●二问：找到了这么多的面，把它们都画下来好不好？

【生成】脸面画成了“圆形”，地面、墙面、课桌面、封面等都画成“长方形”……

小结1：生活中遇到很多的面，把这些面画下来时，一定是各种各样的平面图形。（长方形、圆形、三角形等）

【评析：通过画找到“面”，很自然地将学生生活经验中的“面”抽象成数学学科中形式多样的封闭“平面图形”，巧妙地避开了面积概念中“物体的表面或封闭平面图形”的人为分割，让“物体表面”的“三维空间感”凸显不出来，避免了与“体积”概念的混淆；也避开了概念中“围成平面图形”的“线围成面”的错觉，让“线的一维感”凸显不出来，避免了与“周长”概念的混淆。让学生始终在“二维平面”上感知面。

而且，五个版本教材，面积概念涉及“（平面）图形”，甚至干脆就只有“图形的大小叫面积”，可见“图形”在描述“面积概念”中的重要性。所以本环节的横向数学化就显得非常有必要，这也是为什么不死磕教材概念中“物体的表面”和“封闭、围成”等词字面意思的原因。】

●三问：黑板上的这些面，哪个面最特别？特别在哪里？（黑板板书：脸面，地面、墙面、桌面、封面）

【生成】脸面最特别，因为它摸起来软绵绵的、凹凸不平，其他面都是平的。

小结2：我们今天不研究像脸面这样凹凸不平的面，只研究像地面、墙面、桌面和封面这样平平的面，这样的面叫平面。

【评析：本环节其实是在讲“面的分类”，若以“把这些面分一分类，你会怎么分？”提问的话，部分学生可能理解不了；而且这样的问法，因为分类的标准有很多，会导致学生的回答不切要领，答案过于分散，这样的分散，在这里是没有意义的。学生对于“在集合中找出最特殊的元素”是有先天敏感性的，从很多个“平面”中找出那个“凹凸不平的面”是比较容易的。小结2把学生经验中的面进一步缩小范围，去除“凹凸不平的面”，留存本节课所研究的“平平的面”，达成从混沌到清晰的教学目标。】

●四问：我们在谈论一个面的时候（或两个面作比较时），是讲大小？还是长短、厚薄、轻重？为什么？

小结3：对于面，我们不研究它的长短、厚薄、轻重，只研究其大小。面是讲大小的，面的大小叫面积。

【评析：由表及里，探究面的本质属性，是本课的核心环节。在学生的生活经验里认为面是有轻重、厚薄、长短和大小的，教师要做的就是采用恰当的方式，帮学生除去面的非本质属性——长短、厚薄、轻重，留存面的本质属性——大小。

怎么帮助学生除去非本质属性呢？1.去长短。其实，大小中是包含长短的，学生口中所说的“面的长短”，是对“扁扁的长条状”与“宽宽的短条状”的“长方形平面”的不科学表述。但我们还是有必要进行规范：不能将“面的大小”说成“面的长短”，因为“越长的面”不一定越大，“越短的面”不一定越小，即不能用一维的长短来描述二维的面的属性。此过程也是在辨析“面积”与“周长”的区别和联系。2.去厚薄和轻重。很多学生认为面是有“轻重”的，因为他们认为面是有“厚薄”的。比如，他们认为桌面就是桌子上面的那层木板，是有厚度的，是可称出轻重的。其本源为学生对“面”和“体”是不分的。我们可以出示两块面积相等但厚薄不同的木板，设问“哪块木板做出的桌面大？”，学生自然会恍然大悟——是一样大的！我们在研究面的属性时是不研究它的厚薄的，没有厚薄，当然就没有轻重。

进而把学生感悟到的进行小结：面只讲大小，不讲长短、厚薄和轻重，我们把面的大小，在数学中叫“面积”。突破难点，水到渠成。】

●五问：我们曾经比较过线段的长短，在比较线段长短时我们明白了什么道理？怎样比较两个物体的轻重？怎样比较两个人跑步速度快慢？今天学习了面积，要比较两个面的大小，我们应该先做什么？

小结4：要比较，先测量；测量之前，必先规定度量单位。怎么规定面积单位？下节课继续研究。

【评析：如何描述面的大小抑或如何比较面积呢？这个知识可以通过类比和迁移自主生成。类比什么呢？是学生已经熟知的“比较长短、轻重和快慢”。1.比较长短。先要测量，在测量之前，我们规定了长度单位。2.比较轻重。用秤称，在称之前我们规定了重量单位——克、千克、吨、斤、公斤等。3.比较快慢。用计时器测量时间，测量之前要规定时间单位——秒、分、时、日、月、年等。那么，要比较今天学习的面积，我们应该要做一件什么事情呢？——规定面积单位。

怎样来认识面积单位呢？应该基于对旧知识的整理，自然推导出来。如何来比较两个面的大小？我们去回顾“如何来比较两条线段的长短？”“如何来比较两个物体的轻重？”“如何来比较两个人跑步速度的快慢？”……学生突然领悟：所有的这些，都是用“规定的单位”来“测量”，然后进行比较。那么，面积的比较，不也就是“用规定的面积单位来测量，再进行比较”吗！关于面积单位怎么规定、测量工具怎么选择，只需看书阅读即可。】

五组问题四个小结，我们不断在激活和改造学生原有的生活经验，让学生在轻松愉悦的谈话中，体会知识自然生长出来的舒适，感悟概念从模糊到清晰的豁然，避免了对教材中复杂面积概念咬文嚼字式的字面解释。

回到教学原点。教师教授知识，应该怀有敬畏之心，必须清楚自己明白了什么、知道学生已经明白了什么，然后选择贴切的“材”、立好恰当的“序”，让知识在合适的时空生长出来，最后以解决问题的方式让学生明白知识的作用。如此，方能“教对”数学，“教好”数学，让我们的数学课堂不仅有数学知识的传递，更有爱和善的慈悲。