用线性规划合理解决班费问题

秦语菲

山东省临清第一中学 山东临清 252600

随着电子计算机的出现，数学应用已经不再局限于传统的物理领域，而真正地以空前的广度和深度逐渐深入到了人们活动的每一个领域[1]。各个行业都涌现出了大量的实际课题等着人们去研究。

1 问题重述

2 解决原理

（1）模型的概念就是把客观的实际物体按照其所具有的某个相关性质用数学方法模拟出来。就像轮船模型，其就是按照轮船的样式按一定比例缩小而制成的，它的外形就像真正的轮船一样。但是模型不是一定要将实际的物体完完全全地刻画出来，它也可以是把物体的一些性质拿出来，然后运用数学或者物理符号等方式抽象地展现出来的另一种形式。

（2）数学模型：数学模型也属于模型，其是一类特殊的模型，不像我们所想的那样可以用手触摸得到，而是比较抽象化的数学方式的组合模拟，可以是一串数字也可以是坐标系中的一系列线条。通过对其趋势的分析，我们可以得到所需的更多数据，也能够给我们提供一种最合适的方案去处理各种实际中的难题。

（3）统筹原理。从三国时期诸葛亮的战略决策中我们就可以看到，我们的祖先就在使用着统筹思想。统筹学诞生的直接原因是为作战而服务的。早期解决问题的范畴仅仅是一些战术问题和军事装备的应用，但是正是因为这些问题得到了解决，才使得运筹学名声大噪。更为重要的是，其在实践中形成了运筹学的方法论，其内容逐渐成为了系统方法。

（4）线性规划。和运筹学相类似,线性规划就是它的重要组成部分。自古至今的自然科学工程技术都靠着这门思想广泛地应用在了现代管理当中。我们的资源不是无限的，这就意味着做同样的工作所得到的效益也会随着方法的不同而改变。这样一来，规划就是使我们用最适合的路线达到最高效益的方法。

3 解决流程

3.1 定义系统的目标

浏览整个问题，我们的思路就是首先建立出一个关于x,y 的约束条件和线性模型来，可以用几何数学方法从众多的未知条件中得到答案。首先我们要确定一组未知量，因为优秀奖三个等次之间有着一定的联系，所以我们不妨只确定一个未知量，这样二等奖、三等奖的人次就都用这个未知量表示出来了。而进步奖与优秀奖之间没有明确的关系，所以我们要再设一个变量。另外，本题目的基本要求有两个，一个是总获奖人次的限制，另一个是两大奖项之间人次的限制，这些限制条件都可以清晰地用不等式表达出来。另外，我们还要注意这些变量值应均为自然数。

3.2 提出可能达到此目标的各种系统方案

3.3 建立系统方案，达到目标程度的准则

x 和y 都为自然数。即x∈ N ,y∈N

目标函数：s（x,y)＝240x +40y+400

3.4 构建性能评价模型和费用模型对系统进行综合的分析

要求班费最大值和最小值，这个问题就运用到了在数学中常用的求导法，在函数s(x,y)中求导数，对x进行求导数解出来的数值为240，对y进行求导数解出来的数据为40，那么就能够看出我们不能对这个函数进行二次求导，也就不能通过使用求拐点的方法来获得最大值和最小值。综上所述，根据图形关系来看，目标函数的最大值和最小值就是坐标系中封闭图形的各个顶点。但是再根据实际问题来看，X和y都必须满足其是自然数，而图形顶点处的x，y坐标不一定是自然数，所以我们得求出坐标系中图形边缘的各个点，并把求出来的点的坐标带入方程中，再比较不同数值下s的大小，得出最数值。

3.5 得出最优方案

根据分析的方案进行计算，比较之后得到的结果为：班费最多需要有2080元，最少需要有1440元。

4 线性规划的其他应用

线性规划是我们人类经过探寻而总结出来的一种方便且可行的方法。我们看到商店老板订购商品的时候需要规划出最省钱的运输方式及路线。企业在管理物资的时候，要考虑库中有多少原料才能够保持质量和利益的平衡[2]。还有水库的储存水源问题，需要制定一个恰到好处的量，使得水源既不会出现缺失且花费又十分合理让人们能够接受的方案。而线性规划恰恰就解决了一些连续优化问题，根据变量取值范围的不同，避免了由于太多未知数而带来的不便，能够使我们得到最好的解决方案。

5 结语

通过线性规划，能够解决班级班费合理使用这一问题，模型相对简单且易操作，我们也可用线性规划来解决其它方面的一些问题，其具有广泛的适用性。还有更多不同方式的使用有待我们在不断地使用过程中有所创新，为我们带来更多的便利。