走进平面向量 感悟数形结合

王亭朝

(河北省衡水市第一中学 053000)

著名的数学家华罗庚教授曾指出：“数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非.”由此可见，数和形在数学题目的解答中是不可或缺的重要两个组成部分.向量既是代数的载体，又是几何的载体，更是数形结合的重要载体，因此，数形结合思想在向量中得到了充分的体现.本文通过一道平面向量题目剖析如何运用数形结合解题，供大家参考.

一、坐标法，以“形”助“数”

平面向量具有代数和几何的双重特征，比如平面向量运算的平行四边形法则、三角形法则等都可以认为是从几何的角度来研究平面向量，而引入坐标后，就可以通过代数的方法来研究平面向量，凸显了平面向量的代数特征.在处理很多与平面向量有关的问题时，通过建立适当的坐标系，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题变得更加简捷.此题由所给图形建系，只要将向量关系式用坐标来表示，问题的本质将看得更清楚，即将抽象的几何问题(“形”)转化为纯粹的代数运算(“数”).而这一条件就是该题贯彻数形结合思想解题的关键一步.

二、取数量积法，“形”中觅“数”

当点C在圆弧上运动时，x,y都是变化的，如何来刻画这个变化呢？引入一个辅助角θ是一个重要的技巧.向量是近代数学中一个重要而基本的数学概念，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具.我们遇到旋转变化的问题时常引入辅助角来解决问题，这样做的优点是：可以将所求问题转化为三角函数问题来解决，这是我们所熟知的题型，巧妙实现“形”向“数”的转化.同时在等式两边同乘以一个或两个向量，便可找到系数和角的关系.

故x+y=2[cosθ+cos(120°-θ)]=2sin(θ+30°)≤2，

即x+y的最大值是2.

三、分解向量法，“数”“形”并进

如图3，过点C作CE∥OA,交直线OB于点E，作CF∥OB,，交直线OA于点F.

故当θ+30°=90°,即θ=60°时x+y取到最大值2.

四、三点共线法，以“数”辅“形”

此题完美沟通数与形两个方面，得到了以上不一样的解法，都将x+y转化为某角的三角函数式，充分体现了

向量与三角的紧密联系.但是不要忘了，向量问题还有向量的方法，而且有时向量方法更直接、更简单.通过分析一下子发现了一个熟悉的图形：三点共线，这样思路纳入了“形”的轨道，与“数”紧密地联系在一起了.

从以上分析我们可以看出，数形结合法的实质是通过对图形的认识，数形的转化，使问题化难为易，化抽象为具体.学生要真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，注意改变观察和理解问题的角度，揭示问题的本质联系，用“数”的准确澄清“形”的模糊，用“形”的直观启迪“数”的计算，从而使问题解决事半功倍.

参考文献：

[1]李玉峰.数形结合求解平面向量问题[J]. 高中数学教与学, 2009(06).

[2]邵刚.“数形结合”思想在平面向量中的应用[J].中学生数理化(高中版), 2005(02).