实现教学有效建构 助推学生思维生长

李朋

【摘 要】本文在思考数学例题教学如何超越模仿、理解和巩固基础知识和基本技能的层面，实现举一反三、提高思维品质的基础上，从心理学角度出发，提出把握教学起点、创设有效教学基础；开辟多通道、实现思维贯通；进行问题变式、促进有效迁移三大教学策略。

【关键词】数学 例题教学 多元表征 变式

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2018）01B-0139-02

如果说概念和定理的教学成为人们关注、研究的热点，那么例题教学就是研究者忽视的角落。在课堂教学中，例题教学是激活旧知，理解和运用新知的重要手段，是培养思维能力和创新力的关键。应试教育下的例题教学往往只注重方法和技能的讲解，使学生记忆、模仿，停留在一招一式的层面。例题教学如何超越模仿、理解和巩固基础知识、基本技能的层面，实现举一反三、提高思维品质的高度？出于对这个问题的思考，本文从心理学角度提出例题有效教学的策略。

一、把握教学起点，创设有效教学基础

作为教学者，在教学之初应该了解教学对象的知识储备情况，根据教学内容设计教学过程，从而达到有效教学的目的，所以教学的起点关键在学生，即学习者知识内存及思维发展状况，教学者要实现有效教学就要创设条件促成学生思维的生长。下面我们通过一道例题进行教学探究。

〖例 1〗 x1 和 x2 是方程 x2-（k-2）x+k2+3k+5=0 的两个实根，求 x12+x22 最值。

首先，教学者针对上述例题要了解问题求解背后需要的相关数学知识、定理及公式等，摸清学习者对此知识点掌握情况、相关解题技巧运用能力。比如本题主要考查完全平方公式的拆分与组合以及韦达定理的掌握，教学者在施教过程中可以通过提问相应知识点、暗示等方式来掌握学习者当前对相关知识的理解情况，从而达到有效引导和合理教学。其次，非智力因素对解题也会产生影响，应鼓励学生积极思考，寻找未解问题与已有知识之间联结点，教学者主动搭建平台，因势利导完成学生思维生长即问题的解决。

我们可以通过学生画思维导图的形式了解学生对问题的认知和思维的变化，将隐性思维变化显性化。比如，以下是一个学生画出的例 1 的思维导图，从（图 1）可以清晰地了解学生的知识和思维状况。

二、开辟多通道，实现思维贯通

作为学习者对某一问题认知一般可以通过视觉、听觉等外在感知，达到从外到内的转化。知识的外在多元表征能够与学习者内在认知产生交互作用，建构起对新知识认识，促进学生对问题的解决，同时多元表征系统内的关联也对学生对问题认识起到关键作用。

（一）多元表征在问题中的展现。多元表征在学习者学习知识、解决问题过程中一般可以归纳为四类，文字表征、符号表征、图表表征、实物表征（图 2），在认知過程中可能出现一个表征或两个以上表征。

〖例 2〗 求证：分别过已知直线外一点与这条直线上三点的三条直线在同一个平面内。

上述求证问题，学习者看到问题是以文字表征的形式出现，这就对学习者语言能力提出要求，作为教学者可以通过多元表征将文字表征转化为其他外在形式，构建多渠道、多样化形式理解问题达到知识的内化。针对这道题，我们除文字表征外可以采用以下几种表征：

1.语言展示：将文字通过语言读出来达到对学习者进行听觉刺激的目的。

2.图形展示：图形展演引起学生视觉刺激，以取得数形结合的效果。

3.符号展示：符号最能体现数学特点，可使逻辑推理及思维得到传达。这道题的符号表征如下：

已知，Dl；A，B，C∈l，且有 DAl=A，DBl=B，DCl=C，求证 DA，DB，DCa。

这个问题通过文字表征、语言表征、图形表征、符号表征和转译，使问题通过多个途径反映出来，使学生对问题理解多元化，易激活学生认知结构中相关接点，迅速找到解题策略。

（二）多元表征的转换和转译。在解题方面，利用多元表征的转换和转译，可使深度理解。以椭圆的第二定义的教学为例。

〖例 3〗 点 M（x，y）与定点 F（c，0））的距离和它到定直线 l∶x= 的距离的比是常数 （a>c>0），求点 M 的轨迹。

对单一表征的教学而言，从符号表征方面按照求轨迹方程的步骤推导出 M 的轨迹方程。

2008 年我们对宜州某高中进行教学实验得到的结果表明，这样的教学不利于学生形成对椭圆第二定义的深刻理解，看下面案例。

〖问题〗动点 M 到定点 F（-5，0）的距离和它到定直线 的距离的比是 0.6，则 M 的轨迹方程为 。

通过对椭圆第二定义的单一表征学习，大多数学生仍以轨迹方程推导的方式来完成该问题，没有形成椭圆第二定义的多元表征及转换、转译的知识图式。

对于表征而言，数值表征比符号表征更利于接受。我们可用几何画板，呈现如图 4，通过拖动图中的 M 点，改变|MF|与 d （动点到定直线的距离）的数值大小，点 M 画出的轨迹是一个椭圆，同时通过右边的表格验证 M 点满足的条件是：|MF|与 d 的比值是常数，通过把与文字表征相近的图形表征和数值表征呈现给学生，从而在直观上给学生完成由“第二定义”这一符号表征向“椭圆”这一图形表征的转译，再通过理论上的推导完成由“第二定义”这一符号表征向“椭圆方程”这一方程的符号表征的转译，从而有利于建构椭圆第二定义的多元表征图式，达到对椭圆第二定义的深刻理解。我们的教学实验表明，按这一策略进行教学之后的测试中，大多数学生在解决上面的问题中能通过寻找以下的关系解决该问题：

这个问题通过利用符号表征、数值表征、图形表征以及不同表征之间的转译，促进学生多种内部心理发生交互加工，进行心理深加工，在问题解决的过程中促进了大脑开发。

三、进行问题变式，促进有效迁移

例题变式分成两大类，一种就是对要解决的问题的条件、结论等进行相应改变和组合，这通常属于在同一种表征内的变式，如例 4；另一种就是情境和表征发生改变，比如上面的例 2 和例 3 ，我们称为表征间变式。例题变式教学使学生在解决原题的基础上，能够深刻理解、把握问题核心本质，产生迁移，举一反三。

〖例 4〗 已知等腰三角形的腰长是 3，底长为 5，求周长。

这是人教版小学四年级数学下册三角形一章的一道参考题目，我们可以将此题进行问题变式：

变式 1：已知等腰三角形一腰长为 3，周长为 11，求底边长；

变式 2：已知等腰三角形一边长为 3，另一边长为 5，求周长；

变式 3：已知等腰三角形的一边为 4，另一边长为 8，求周长；

变式 4：已知等腰三角形的腰长为 x，求底边长 y 的取值范围；

变式 5：已知等腰三角形的腰长为 x，底边长为 y，周长是 11。

请先写出二者的函数关系式，再在平面直角坐标内画出二者的图象。

其中变式 1 是培养逆向思维能力；变式 2 为分类的思想的运用；变式 3“底只能为 8”否则与三角形两边之和大于第三边相矛盾，加深对三角形的理解；变式 4 把数字上升为符号，利于培养学生的抽象思维能力；变式 5 与前面相比，主要在于对条件 0

总之，通过对例题的变式教学，加深了对知识技能和思想方法的掌握和理解，培養了学生思维的深刻性、灵活性。

【参考文献】

[1]Kaput，J.J.Representations，inscriptions，descriptions and learning：A kaleidoscope of windows[J].Journal of Mathematical Behaviour.1998，17（2）：266-281

[2]罗宇军.优化解析几何概念学习中多元表征的教学研究[D]，桂林：广西师范大学，2008

[3]唐剑岚.国外关于数学学习中多元外在表征的研究述评[J].数学教育学报，2008（1）

[4]高明，邵瑞珍.知识向技能转化的影响因素[J].应用心理学，1997（1）

（责编 卢建龙）