带有多点边值的分数阶微分包含解的Filippov型存在性定理

杨丹丹

(淮阴师范学院 数学科学学院,江苏 淮安市 223300)

1 引言和引理

分数阶微分方程是整数阶微分方程的推广,在物理学、人口动力学、经济、流体力学、生物数学、医药学等研究领域,有着广泛的应用。有关分数阶微分和积分的基本概念、计算和应用,已有两本专著[12,13]。近年,分数阶微分方程解的存在性研究受到越来越多的数学工作者的广泛关注[5,8,9,14]。2016年,Houas和Dahmani在参考文献[8]中研究了带有多点边值条件的分数阶微分方程:

(1)

其中1<α2,0

最近,分数阶微分包含有很多结果发表。例如,Ahmad、Ntouyas[2],Henderson、Ntouyas、Etemad[10],杨[15]。据笔者所知,现有文献中,有关分数阶微分包含解的Filippov型存在性定理结果并不多见[3,11],为了弥补这方面的不足,受上述参考文献启发,本文将给出如下带有多点边值条件的分数阶微分包含(2)解的Filippov型存在性定理：

Dαy(t)∈F(t,y(t)),t∈[0,T],T>0,

(2)

其中1<α2,0

我们假设读者熟知分数阶微分方程理论[12,13]}和多值映射理论[1,7,10]。为方便起见,给出证明主要结果所用的一些定义、记号和引理。

定义1([13]) 函数u:(0,)→R,α-分数阶Caputo导数定义为

n=[α]+1,假设等式右侧在(0，)上逐点有定义。

对于赋范空间(X,||.||),令Pcp(X)={Y∈Ρ(X):Y是紧的},Ρcp,c(X)={Y∈Ρ(X):Y是紧凸的}。对于每个y∈C([0,T],R)y∈C([0,1],R),定义F的选择集合为SF,y:={v∈L1([0,T],·):v(t)∈F(t,y(t))a.e.t∈[0,T]}。

令(X,d)是由赋范空间(X,||.||)引进的度量空间。考虑Hd:Ρ(X)×Ρ(X)→R∪{}定义如下：

显然,Ρcl(X,Hd)是一个广义度连量空间[9]。

为了证明主要结果,需要以下两个引理。

引理2([7]) 令E是一个可分的度量空间,G是一个有非空闭值的多值映射,则G存在一个可测选择。

引理3([11]) 令G:[0,b]→Pcl(R)是一个可测的多值函数,u:[0,b]→R是一个可测函数。假设存在p∈L1(J,R)使得G(t)⊆p(t)B(0,1),其中B(0,1)表示在R中的一个闭球。

则存在G的一个可测选择g,使得

|u(t)-g(t)|d(u(t),G(t)),a.e.t∈[0,b],

2 主要结果

列出本文的假设条件:

(A1)函数F:[0,T]×R→P(R)使得

(i)对于所有的y∈R，映射t→F(t,y)是可测的,

(ii)γ：t→d(g(t),F(t,x(t)))是可测的。

(A2)存在一个函数p∈L1([0,T],R+)使得

Hd(F(t,z1),F(t,z2))p(t)|z2-z1|,z1,z2∈R,

以下的引理关于(2)的单值问题的解。

Dαx(t)=g(t),

(3)

存在唯一解

下面,将给出关于分数阶微分包含边值问题(2)解存在的Filippov型定理。

为方便起见,给出以下记号:

定理1假设(A1)-(A2)成立。若存在一个函数p∈L1(J，R+)，使得d(g(x(t))，F(t，x(t)))

则问题(2)至少存在一个解y(t)a.e.t∈(0,T),有|y(t)-x(t)|ρ0(t),并且

|Dαy(t)-g(t)|H0(t)p(t)+γ(t)。

其中

ρ0(t)=H0||Iαp||*+||γ||

并且

||γ||。

证明

令f0=g,y0(t)=x(t),

定义多值映射

U1：(0,T)→P(R),U1(t)=F(t,y0(t))∩(g(t)+γ(t)B(0，T))

因为g,γ是可测的,由[4]中定理III.4.1,球g(t)+γ(t)B(0,T)是可测的。

进而,F(t,y0(t))是可测的,我们要证U1是非空的。容易得

d(0,F(t,0))d(0,g(t))+d(g(t),F(t,y0(t)))+Hd(F(t,y0(t)),F(t,0))

|g(t)|+γ(t)+p(t)|y0(t)|,a.e.t∈(0,T),

(4)

因此,对于所有的ω∈F(t,y0(t)),有

|ω|d(0,F(t,0))+Hd(F(t,0),F(t,y0(t)))

|g(t)|+γ(t)+2p(t)|y0(t)|:=M(t),t∈(0,T),

这意味着

F(t,y0(t))⊆M(t)B(0,T),t∈(0,T),

由引理3,存在一个函数u是F(t,y0(t))的一个可测选择,使得

|u(t)-g(t)|d(g(t),F(t,y0(t))):=γ(t),

则u∈U1(t)。我们推出多值算子U1是可测的,见[1]。由引理2,存在一个函数f→f1(t)是U1(t)。的一个可测选择。考虑

对于t∈(0,T),有

由文献[6]中的引理1.4,F(t,y1(t))是可测的。由文献[4]中的定理III.4.1,球{f1(t)+p(t)|y1(t)-y2(t)|B(0,T)}也是可测的。集合

U2(t)=F(t,y1(t))∩(f1(t)+p(t)|y1(t)-y0(t)|B(0，T))

是非空的。事实上,由于f1是一个可测函数,由引理2,存在F(t,y1(t))的可测选择u,使得

|u(t)-f1(t)|d(f1(t),F(t,y1(t)))。

由假设条件，有

|u(t)-f1(t)|d(f1(t),F(t,y1(t)))Hd(F(t,y0(t)),F(t,y1(t)))p(t)|y0(t)-y1(t)|。

即,u∈U2(t)。

由于多值算子U2可测(见[4]),存在一个可测选择f2∈U2(t)。因此,

|f1(t)-f2(t)|p(t)|y1(t)-y0(t)|。

定义

则有

令

U3(t)=F(t,y2(t))∩(f2(t)+p(t)|y2(t)-y1(t)|)B(0，T)

类似对U2的讨论,可证明U3是一个非空可测的;故存在一个可测选择f3∈U3(t)。

接下来,定义

类似地有

|y3(t)-y2(t)|δζ2,

重复以上的过程n=0,1,2,3,...,我们得到下面的一个估计

|yn(t)-yn-1(t)|δζn-1,t∈(0,T),

(5)

如下用归纳法证明。假设(5)对于n成立,我们验证(5)对于n+1成立。令

Un+1(t)=F(t,yn(t))∩(fn(t)+p(t)|yn(t)-yn-1(t)|)B(0,T)。由于Un+1非空可测集合,存在一个可测选择fn+1∈Un+1,对于n∈N,定义

因此,t∈(0,T),我们得

于是,

|yn+1(t)-yn(t)|δζn,

综上所述,(5)对于所有的n∈N都成立。我们断言{yn}是PC=(C(0,T),R)中的一个收敛到y∈PC的Cauchy列,由{Un}的定义,我们得到

|fn+1(t)-fn(t)|p(t)|yn(t)-yn-1(t)|,a.e.t∈(0,T),

因此,fn(t)也是R中的一个Cauchy列,且几乎处处收敛于R中的某个可测函数f。另外,因为f0(t)=g可以得到

因此,

|fn(t)|H0p(t)+γ(t)+|g(t)|.

于是,我们得到

定义

由Lebesgue控制收敛定理,

|yn(t)-h*(t)|→0,n→。

因此，

是(2)的一个解,y∈S(0,T)(a),另外,a.e.t∈{0,T},

|x(t)-y(t)|

n→,取极限,有

|x(t)-y(t)|

以下,t∈{0,T},我们估计|Dαy(t)-g(t)|有

|Dαy(t)-g(t)|=|f(t)-f0(t)+|fn(t)-f0(t)|

当n→,取极限,有

|Dαy(t)-g(t)|=H0(t)p(t)+γ(t)。

参考文献:

[1] AUBIN J P,FRANKOWSKA H.Set-valued analysis [M].Boston：Birkhauser,1990.

[2] AHMAD B,AGARWAL R P,ALSAEDI A.Fractional differential equations and inclusions with semiperiodic and three-point boundary conditions [J].Bound Value Probl，2016(28)：1-20.

[3] CEMEA A.Continuous verson of Filippov’ theorem for fractional differential inclusions [J].Anonlinear Anal,2010(72)：204-208.

[4] CASTAING C,VALADIER M,BAI Z.Convex analysis and measurable multifunctions,lecture notes in mathematics [M].New York：Springer-Verlag,1977：580.

[5] El-Sayed A M A,IBRAHIM A G.Multivalued fractional differential equations [J].Appl Math Comput,1995(68)：15-25.

[6] FRANKOWSKA H.A priori estimates for operational differential inclusions [J].J Differential Equations,1990(84)：100-128.

[7] GORNIEWICZ L.Topological fixed point theory of multivalued mappings,mathematics and its applications [M].Dordrecht：Kluwer Academic Publishers,1999.

[8] HOUAS M,DAHMANI Z.On existence of solutions for fractional differential equations with nonlocal multi-point boundary conditions [J].Lobachevskii Journal of Mathematics,2016,37(2):120-127.

[9] MAHUDOV N,UNUL S.On existence of BVP’s for impulsive fractional differential equations [J].Advances in Difference Equations,2017(15)：1-16.

[10] NTOUYAS S K,ETEMAD S.On the existence of solutions for fractional differential inclusions with sum and integral boundary conditions [J].Appl Math Comput,2015(266)：235-243.

[11] OUAHAB A.Filippov’s theorem for impulsive differential inclusions with fractional order [J].Electron J Qual Theory Differ Equa,2009(23)：1-28.

[12] PODLUBNY I.Fractional differential equations [M].San Diego：Academic Press,1999.

[13] SAMKO S G,KILBAS A A,MARICHEV O I.Fractional integral and derivatives,theory and applications [M].Switzerland：Gordon and Breach,1993.

[14] 王永庆,刘立山.Banach空间中分数阶微分方程m点边值问题的正解[J].数学物理学报,2012,32(1):246-256.

[15] 杨丹丹.带有积分边值条件的分数阶微分包含解的存在性[J].浙江大学学报(理学版),2015(6)：688-692.