在仪器分析课程中构建定量分析理论框架的教学改革

摘 要：作为分析化学的主体，仪器分析的主要任务之一是定量分析。但是，仪器分析教材和课程对于定量分析理论的描述在传统上仍然停留在一元分析，并且体系零散。在仪器分析课程的教学改革中，文章作者拟构建定量分析理论框架。首先，基于基本的数学模型，系统描述定量分析方法。然后，在具体仪器分析技术中描述定量分析方法的具体应用。文章报道的教学改革探索有望为仪器分析课程构建一条定量分析理论的主线。

关键词：仪器分析；定量分析理论；数学模型

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2018）03-0077-04

Abstract： As the main part of analytical chemistry， one of main goals of instrumental analysis is quantitative analysis. However， the descriptions of quantitative analysis theory in textbooks and courses still remain on univariate analysis and its system remains less integrated. In teaching reform of the course of instrumental analysis， this thesis attempts to propose theoretical framework for quantitative analysis. Based on basic mathematical model， this study systematically introduces quantitative analysis methods. It then demonstrates application of quantitative analysis theory in instrumental analysis， with the aim of proposing a theoretical line for course of instrumental analysis.

Keywords： instrumental analysis； quantitative analysis theory； mathematical model

從化学学科建立以来，分析化学一直扮演着非常重要的角色。不断推动着化学学科的发展，同时分析化学学科自身也在不断发展，特别是始于二十世纪的分析化学三次重大变革。随着分析化学逐步发展为分析科学，国际纯粹与应用化学联合会（IUPAC）已经对现代分析化学给出了新的定义：“发展和应用各种方法、仪器和策略，获得物质在空间和时间上的组成和性质信息的一门科学”[1-4]。

现在，分析化学一般分为化学分析和仪器分析两个部分，其中，仪器分析在分析化学中的占比不断增长，特别是光谱分析和色谱分析方法。在分析化学学科中，仪器分析已经成为分析化学的主体。现在，对仪器分析的定义一般为：“通过分析仪器测量感兴趣分析物的某些物理性质或化学性质（例如光、电、声、磁或热），对感兴趣分析物进行定性分析（包括结构分析）和定量分析”。仪器分析是化学、生命科学、医学、材料学和环境学等专业的重要基础课程。仪器分析课程的教学目标主要在于，使学生能够根据分析目的，结合不同分析仪器的特点和应用范围，选择合适的分析仪器和有效的分析方法解决具体的分析任务。最终，培养分析和解决问题的实际能力。

不管分析化学如何发展，定性分析和定量分析始终是核心任务。自然而然，仪器分析的主要任务之一是定量分析。但是，仪器分析教材和课程对于定量分析理论的描述在传统上仍然停留在一元分析，并且体系零散。仪器分析课程中定量分析理论的主线急需构建[5-8]。

在仪器分析课程的教学改革中，本文作者旨在构建定量分析理论框架。首先，基于基本的数学模型，系统描述定量分析方法；然后在具体仪器分析技术中描述定量分析方法的具体应用。本文报道的教学改革探索有望为仪器分析课程构建一条定量分析理论的主线。

一、仪器分析教材和课程的传统框架

目前，在分析仪器的技术方面，仪器分析教材和课程体系已经发展成熟，一般包括光学分析技术、电化学分析技术、分离分析技术和其他仪器分析技术（见图1）。在传统上，当描述特定分析仪器的技术时，内容一般包括发展历史-仪器原理-仪器结构-实际应用。

然而，在仪器分析的定量分析理论方面，仪器分析教材和课程体系仍然停留在一元分析（即标准曲线方法），并且体系零散。一方面，标准曲线方法基于的一维校正存在理论前提：“信号对感兴趣分析物必须有完全选择性”。然而在很多光谱和电化学分析仪器的技术中，特别是在分析实际样本时，常常存在信号干扰。另一方面，定量分析理论的体系零散容易使学生产生困惑。例如，在紫外-可见光谱分析技术中介绍比尔-朗伯（Beer-Lambert）定律和标准曲线方法，在原子吸收光谱技术中介绍标准加入方法，在高效液相色谱技术中介绍归一化法，而在其他分析仪器技术中很少提及定量分析方法。这样的内容安排无法形成定量分析理论的主线。

二、在仪器分析教材和课程中构建定量分析理论框架

随着化学计量学多元校正和多维校正理论的快速发展，已经可以使用化学计量学多元分析理论从多变量角度处理现代多元分析仪器测量的多变量数据，并且可以为仪器分析课程构建一条定量分析理论的主线。从而，使仪器分析教材和课程完成分析仪器的技术和仪器分析的定量分析理论两大主线的构建。

本文作者在本校硕士研究生课程《现代仪器分析（Contemporary Instrumental Analysis）》中，对这种教学改革进行了思索与尝试。在我们现代仪器分析课程的教学改革中，首先，基于基本的数学模型，系统描述定量分析方法；然后在具体仪器分析技术中描述定量分析方法的具体应用。从而，有望为仪器分析课程构建一条定量分析理论的主线。

（一）定量分析理论的系统描述

1. 一维校正

在一维校正（One-way calibration）中，单个样本的仪器测量数据是零阶张量数据，多个样本的仪器测量数据可以排列组成一维数阵。一维校正也可以称为一元校正（Univariate calibration）。在分析化学领域中，一般称为标准曲线方法。

一维校正基于单线性模型（Linear model），首先通过最小二乘（Least squares）算法计算模型的参数，然后用计算的参数和建立的单线性模型，计算未知样本中感兴趣分析物的浓度。

带截距项的单线性模型可以如下表示：

y=mx+b+e（1）

其中，y代表因变量，x代表自变量；m代表斜率；b为纵轴截距；e为误差。通过令截距b=0，可以方便地获得无截距项的单线性模型的相关结果。

在经典一维校正（Classical one-way calibration）中，因变量y代表感兴趣分析物的信号，自变量x代表感兴趣分析物的浓度。假设各个数据点到理想最小二乘直线的竖直偏差主要源于仪器测量误差，并且误差满足正态分布。那么，将误差的平方和最小化，就能计算单线性模型的斜率和纵轴截距。

随着分析仪器的技术进步，测量信号的重现性越来越好，主要误差转而源于样本预处理过程（例如称量、定容和稀释）。如果感兴趣分析物的浓度上的误差大于仪器测量信号上的误差，就应该使用逆向一维校正（Inverse one-way calibration），其中因变量y代表感兴趣分析物的浓度，自变量x代表感兴趣分析物的信号。同样将误差的平方和最小化，就能计算单线性模型的斜率和纵轴截距。

在一维校正中，单线性数学模型简单、最小二乘数学原理容易理解与实现，并且适用的数据类型非常普遍，各类分析仪器对单个样本都可以测量得到零阶张量数据。从广义上看，各种滴定分析是基于无截距单线性模型的简化版一维校正。一维校正在分析化学中的应用极其广泛，是最经典、最基本的定量分析理论。

但是，一维校正存在理论前提：“信号对感兴趣分析物必须有完全选择性”。然而，在很多光谱和电化学分析仪器的技术中，特别是当分析实际样本时，常常存在信号干扰。若选用的分析仪器对感兴趣分析物不具有完全选择性，那么就必须在使用一维校正之前对分析体系进行预处理（例如掩蔽、萃取或色谱分离）以消除信号干扰。

若体系存在基质效应，就可以考虑使用一维标准加入方法（One-way standard addition method）克服基质效应，其依然基于单线性模型，是一种特殊的一维校正方法：直接在真实样本中加入不同含量的感兴趣分析物而分别配制不同浓度的标准加入样本，然后与未知样本一起通过最小二乘建模，最终实现定量分析。

2. 二维校正

在二维校正（Two-way calibration）中，单个样本的仪器测量数据是一阶张量数据，多个样本的仪器测量数据可以排列组成二维数阵。二维校正一般称为多元校正（Multivariate calibration）。

二维校正基于双线性模型（Bilinear model）。首先通过校正集计算模型参数，然后用计算的参数和建立的双线性模型，计算未知样本中感兴趣分析物的浓度。常用的二维校正算法有经典多元线性回归（MLR）、逆向多元线性回归（逆向MLR）、主成分回归（PCR）和偏最小二乘（PLS）等。

双线性模型可以如下表示：

yij=■xin bnj+eij，i=1，2，…，I；j=1，2，…，J（2）

其中，xin、bnj分别代表二维数阵YI×J的轮廓矩阵XI×N、BN×J中的第in、nj个元素；N代表模型中的组分数；eij是二维残差阵EI×J中的元素。

在二维校正中，能同时实现多个感兴趣分析物的定量分析，并且仅要求信号对感兴趣分析物有部分选择性。双线性模型适用的数据类型比较普遍，例如紫外-可见吸收光谱数据、红外吸收光谱数据、激光拉曼光谱数据、荧光光谱数据、核磁共振波谱数据、气相色谱数据和高效液相色谱数据等。在最近几十年中，二维校正的应用领域越来越广泛。

但是，二维校正也存在理论前提：校正样本集中必须含有预测样本集中有仪器信号的全部物质。然而，在真实体系中有时会存在未校正的信号干扰，一般需要对分析体系进行预处理（例如掩蔽、萃取或色谱分离）以消除未校正的信号干扰。

3. 三维校正

在三维校正（Three-way calibration）中，单个样本的仪器测量数据是二阶张量数据，多个样本的仪器测量数据可以排列组成三维数阵。三维校正一般称为二阶校正（Second-order calibration）。

三維校正基于三线性模型（Trilinear model）。首先，通过选用的三线性分解算法得到模型在不同方向的轮廓；然后，基于校正集，用相对浓度和实际浓度建立回归模型，计算未知样本中对应的感兴趣分析物的浓度。常用的三维校正算法有秩消失因子分析（RAFA）、广义秩消失方法（GRAM）和直接三线性分解（DTLD）、平行因子分析-交替最小二乘（PARAFAC-ALS）、交替三线性分解（ATLD）、自加权交替三线性分解（SWATLD）、约束交替三线性分解（CATLD）等。

三线性模型可以如下表示：

xijk=■ain bjn ckn+eijk，i=1，2，…，I；j=1，2，…，J；k=1，2，…，K；（3）

其中，ain、bjn、ckn分别代表三维数阵XI×J×K的轮廓矩阵AI×N、BJ×N、CK×N中的第in、jn、kn个元素；N代表模型中的组分数（包括背景信号）；eijk代表三维残差阵EI×J×K中的元素。

在三维校正中，即使存在未知干扰，也能在复杂分析体系中对感兴趣分析物实现直接、快速和准确的定量分析。这个特点一般称为“二阶优势”。三线性模型适用的数据类型仍在不断拓展，例如三维荧光光谱数据、高效液相色谱-光二极管阵列检测器联用仪器数据等。目前，三维校正的应用领域正在快速发展。

4. 更多维校正

线性模型可以拓展至多线性模型（Multilinear model），单线性、双线性、三线性模型都可以用通用的多线性模型统一表示。目前，多线性模型在理论上的算法有约束交替多线性分解（CAMLD）算法[5-8]。

在理论上，更多维校正不仅有二阶优势，而且有额外的多维优势（例如，更强的分辨力、更高的灵敏度）。不过，需要指出，随着校正模型中维度的增加，实验的工作量和算法的计算量都会明显增加。

（二）定量分析理论在具体仪器分析技术中的具体描述

在基于基本的数学模型系统描述定量分析方法之后，就可以在具体仪器分析技术中具体描述定量分析理论的实际应用。在此，分别给出我们在教学改革中对单线性、双线性和三线性模型的一种具体描述。

1. 单线性模型在紫外-可见吸收光谱技术中的具体描述示例

在紫外-可见吸收光谱经典单线性模型中，因变量y代表信号，自变量x代表感兴趣分析物的浓度；m代表斜率；b为纵轴截距。这其实就是标准曲线方法的数学模型。

2. 双线性模型在红外吸收光谱技术中的具体描述示例

在红外吸收光谱经典双线性模型中，因变量yij代表第i个样本在第j个波长处的红外吸收信号，自变量xin代表第i个样本中第n个组分的浓度；bnj代表第n个组分在第j个波长处的系数。

3. 三线性模型在三维荧光光谱技术中的具体描述示例

在三维荧光光谱三线性模型中，xijk代表第k个样本在第i个激发波长和第j个发射波长处的荧光信号，ain代表对应于第n个组分在第i个激发波长处的荧光信号的系数，bjn代表对应于第n个组分在第j个发射波长处的荧光信号的系数，ckn代表第n个组分在第k个样本中的相对浓度。

三、结束语

随着化学计量学多元校正和多维校正理论的快速发展，已经可以使用化学计量学多元分析理论从多变量角度处理现代多元分析仪器测量的多变量数据，并且可以为仪器分析课程构建一条定量分析理论的主线。在我们现代仪器分析课程的教学改革中，本文作者思索和尝试构建定量分析理论框架。本文报道的教学改革探索有望为仪器分析课程构建一条定量分析理论的主线，以使仪器分析教材和课程完成分析仪器的技术和仪器分析的定量分析理论两大主线的构建。

参考文献：

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