(2,p)-Laplace方程的紧性条件及其应用

刘慧慧，梁占平

(山西大学 数学科学学院，太原 030006)

本文研究(2,p)-Laplace方程

(1)

我们称u是方程(1)的解，如果u满足

进一步，称u是方程(1)的正解。如果u是方程(1)的解，u≠0，并且u≥0对x∈Ω成立，令

(2)

近年来，许多学者用变分方法深入研究过方程(1)以及类似问题(如(p,q)-Laplace方程解的存在性)，也得到许多比较好的结果。为了得到解的存在性，大多数文献都需要讨论类似J的泛函的紧性条件[3-9]。

本文主要分为两个部分：第一部分主要说明J的紧性条件；第二部分利用J的紧性条件得到方程(1)的正解。为方便起见，固定一些符号：对所有t∈R，t±=max(±t,0)；|·|r表示Lr(Ω)，r∈[1,∞)中的范数；‖·‖*表示W-1,p'(Ω)中的范数；ci(i=1,2,…),C以及Cε表示不同的正常数。

1 主要结果

(1+‖un‖p)J'(un)→0，

1)f∶Ω×R→R是Carathéodory函数，且f(x,0)=0对几乎处处的x∈Ω成立。

2) |f(x,t)|≤α(x)(1+|t|p-1)对几乎处处的x∈Ω，所有的t∈R成立；其中，α∈L∞(Ω)且α(x)>0对几乎处处的x∈Ω成立。

(3)

4) 存在函数η∈L∞(Ω)，且η(x)>0对几乎处处的x∈Ω成立，使得μ1≤η(x)对几乎处处的x∈Ω成立，μ1≠η，且

5)tf(x,t)-pF(x,t)≥0对几乎处处的x∈Ω，所有的t≤0成立，且f(x,·)满足对每一个紧集K⊂[0,∞]，都可以找到ξK>0，使当t1>t2时，有

f(x,t1)-f(x,t2)≥-ξK(t1-t2) ，

对几乎处处的x∈Ω，所有的t1,t2∈K成立。

文献[3]证明了当f次临界，在∞附近(p-1)-超线性，在-∞附近(p-1)-次线性时，J满足C-条件。在文献[9]中，若f次临界且存在C>0，使得

本文研究当f满足下列条件(H)时，J的紧性条件。

(H) 对a1，a2<∞，极限

用∑p表示带有Dirichlet边界的p-Laplace算子的Fucik谱。具体地说，集合∑p表示使得

有非平凡解的(a,d)∈R2的全体。这里，u±=max{±u,0}.由文献[10]易知，若(a,d)∈∑p且a,d≠μ1，则a>μ1且d>μ1.其他Fucik谱的相关性质见文献[10-11]及其参考文献。

定理1 假设(H)成立，若(a1,a2)∉∑p，则J满足PS-条件。

定理1很好地描述了在f满足一个较弱的条件下，J仍具有紧性条件。此结论对于方程(1)解的存在性有着广泛的应用。本文将利用定理1来获得在f满足下列经典条件时，方程(1)正解的存在性。

(H1) 存在l0,l∞<∞，使得

令

(4)

定理2 假设(H0)和(H1)成立，若l0>λ1且l∞<μ1，或l0<λ1且l∞>μ1，则方程(1)有一个正解。

在文献[4]中，在l∞<μ1的假设下，作者利用拓扑度理论得到了方程(1)非负解的存在性，但是他们没有讨论l0>λ1且l∞<μ1这种情况下方程(1)正解的存在性。本文根据定理1，给出在l0>λ1且l∞<μ1这种情况下方程(1)正解的存在性的一个证明。文献[12]证明了当l0<λ1且l∞>μ1时方程(1)有一个正解。本文利用定理1也可得到上述结论，并且证明过程与方法更加简便。

2 定理1的证明

本节主要证明定理1.首先证明下面的引理1和引理2.

证明由于其证明过程类似于文献[12]中的引理5，我们只对它进行一个简单的叙述。

|f(x,t)|≤c1(1+|t|p-1)，(x,t)∈Ω×R.

根据Hölder不等式和Sobolev嵌入定理可得：

(5)

类似地，有

(6)

众所周知，

故由(5)和(6)得：

(7)

以下结论可参考文献[13].为了读者方便，在此给出其证明。

引理2 假设(a1,a2)∉∑p，则存在C>0，使得

(8)

(9)

(10)

在(10)中对所有n取w=vn-v0，则有

从而有

又(a1,a2)∉∑p，从而v0=0.这与‖v0‖p=1矛盾。

下面，利用引理1和引理2，我们给出定理1的证明。

由(H)知，对任意的ε>0充分小，存在常数Cε>0，使得

|g(x,t)|≤ε|t|p-1+Cε,(x,t)∈Ω×R.

(11)

由引理2，J'(un)→0及式(11)知，对所有n有

(12)

3 定理2的证明

本节利用定理1，分两部分来证明定理2，即下列引理3和引理4.

引理3 假设(H0)和(H1)成立，若l0>λ1且l∞<μ1，则方程(1)有一个正解。

证明由(H0)、(H1)及l∞<μ1知，对ε∈(0,μ1-l∞)，存在Cε>0，使得

f(x,t)≤(μ1-ε)tp-1+Cε,(x,t)∈Ω×R+.

(13)

则由(3)和(13)得:

因此J下有界。

另一方面，由(H0)及l0>λ1可知，对ε∈(0,l0-λ1)，存在δ>0，使得

(14)

取定φ1≥0且‖φ1‖2=1是λ1所对应的特征函数。则对s>0充分小，由(14)可得

从而J有负的下确界。

引理4 假设(H0)和(H1)成立，若l0<λ1且l∞>μ1，则方程(1)有一个正解。

(15)

由(H0)、(H1)及l∞>μ1，存在ε∈(0,l∞-μ1)和Cε>0,使得

(16)

取定φ1≥0且‖φ1‖p=1为μ1所对应的特征函数，则由(3)和(16)得:

定理2的证明结合引理3和引理4即证。