停车企业合作与竞争经营的停车定价模型

肖 玲，张小宁，王 华

（同济大学 经济与管理学院，上海 200092）

随着城市机动车保有量的快速增加，国内许多大城市甚至中小城市停车难的问题日益突出，严重影响居民的出行，阻碍了城市的发展。如何解决这一问题显得极为迫切。为缓解停车问题，各大城市纷纷推出治理策略。上海、南京、杭州等城市在城市外围区域修建换乘停车场，试图将部分出行向公共交通导流。与此同时，以广州、苏州为首的城市，也开始探索新的停车管理模式，通过推进停车市场化，放开停车位定价权，提升停车场利用率。这些举措给停车管理带来了新的挑战与机遇。在市场经济的背景下，换乘停车场与原有的中心停车场之间可能会催生合作或竞争的市场行为。

停车场的经营策略（定价策略或竞争合作策略），会影响出行者的方式选择、路径选择以及停车设施的选择行为，更直接决定了停车运营者的利润[1-3]。李志纯等[4]研究了公交最优定价模型，分析了垄断市场、寡头竞争和社会最优3类市场制度对公交票价结构的影响，并对其市场效率进行评价，结论指出市场制度对公交票价方案有显著影响。范文博等[5]建立了基于用户均衡条件下的路外停车、路内停车和停车换乘等3类设施的收费定价模型来模拟停车场运营商之间的竞争以及出行者的反馈行为，出行者的选择包括出行方式的选择、路径的选择以及停车设施的选择。在此基础上，范文博等[6]考虑了垄断市场、寡头最优和社会最优3类运营机制背景下，两类停车设施的定价问题。郑士源等[7]建立了规制经营和竞争经营两种管理模式下的停车费和规模优化模型，对信息不完全情况下公共停车场的费率和规模进行规划。卢晓珊等[8-9]考虑了从生活区与工作区的早晚高峰出行链，基于瓶颈理论，建立Logit模型，讨论了工作区停车场与换乘停车场并存时，在政府和公司经营构成的4种组合经营机制下地铁票价与停车收费策略。上述研究大多以弹性需求或固定需求为假设，并未考虑现实中的需求不确定性问题。

在现实生活中，交通网络具有不确定性，体现为出行时间、出行需求均具有一定的随机性。林徐勋等[11]考虑组合出行中的时间不确定性，建立了停车换乘方式下准动态形成时间可靠性模型。在出行需求的不确定性方面，Chen等[12]以均值方差模型框架和基于模拟的多目标遗传算法为基础，对BOT道路在不同运营条件下的容量选择和定价策略进行了分析。陆化普等[13-14]研究了OD 需求不确定的离散交通网络设计问题。交通网络的需求的不确定性特征将会影响交通管理策略。需求不确定时，决策者将面临一定的风险。因此，为了降低停车场定价对不确定性的敏感程度，需要研究需求特征对定价决策的影响机制。

本文研究了不确定需求时的停车场定价问题。考虑停车场的竞争或合作经营策略，建立了双层规划。针对出行者对出行方式、出行路径以及停车设施的选择行为，建立了随机交通分配模型，并将其转化为等价变分不等式，作为双层规划的下层规划。而上层为停车运营商竞争或合作下的收费水平决策。使用蒙特卡洛仿真来模拟需求的不确定性，并利用对角化算法来求解该模型。

1 模型建立

考虑全程自驾、停车换乘和轨道交通3种交通出行方式。出行者综合考虑3种出行方式的出行时间成本、地铁票价、停车费用和用车固定费用等，来选择相应的出行方式以及停车场。出行者的出行路径选择结果形成交通出行均衡。而停车场在出行者路径选择的基础上，从各自利润最大化的角度，制定定价决策。

显然，停车定价问题（见图1）可以被视为一个双层规划问题，在上层，停车运营商根据出行者对停车价格的反应而做出价格决策；而下层出行者根据运营商实际给出的停车价格作出相应的出行选择，上层运营商的策略与下层出行者的策略相互影响。

图1 停车定价问题框架

将出行网络表示为G=（N，L），N为所有出行节点集合，L为连接节点的弧集。G包含小汽车出行子网络Ga=（N a，La）和地铁子网络Gb=（N b，Lb），以及换乘路段和步行路段。R为出行的起始点集合，r∈R。S为目的地集合，s∈S。网络中有k个停车场，k∈K。停车场分为位于CBD 的中心停车场k1与位于轨道交通附近的换乘停车场k2两类，其集合分别用K1、K2表示，k1∈K1，k2∈K2。

出行者从起始点（家）出发到达目的地（工作地）有全程小汽车、全程地铁和停车换乘3种出行模式，分别为m∈M=｛a，b，c｝。全程小汽车的出行者在终点处停车，使用中心停车场，而停车换乘出行者将使用换乘停车场。为第m种出行方式出行的路径集合，为从r出发前往中心停车场k1的出行路径集合为从r出发前往换乘停车场k2的出行路径集合为场景j中出行OD（r，s）间以方式m出行的路径p的流量，Qrs为出行OD（r，s）间的需求。为处理不确定性需求，假定出行需求量服从一个给定的分布。采用蒙特卡罗方法模拟，生成需求样本J。j∈J，j为样本中的任意一个需求量，Pr j为每个随机样本点的概率。

1.1 3种交通方式的广义出行费用

通常，小汽车出行者在选择路线或交通方式时会权衡旅行时间，停车位与终点之间的距离，寻找泊位的时间，停车费等各项成本。全程小汽车出行者的广义出行费用为，表达式为

小汽车出行者在路径p上的旅行时间T rk，p为路径p上路段时间的总和，即

小汽车出行路段行驶时间表示为BPR 函数，即

根据文献[15]中的研究，寻找停车泊位时间，可用下式计算：

若出行者使用地铁出行，则其出行成本可概括为5个部分，从出发地r到地铁站以及从地铁站到终点的步行时间、地铁等待时间、地铁旅行时间以及地铁票价，表达式为

式中：f l为地铁发车频率；γ为一个与乘客到达分布和地铁车头时距相关的参数，通常取γ=0.5。

选择停车换乘的出行者，从起点驾驶小汽车到达换乘点停车后，在地铁车站换乘地铁，到目的地。因此其出行成本为

换乘成本为

1.2 下层多方式交通网络均衡模型

结合现实情况，出行者对路网中各路段的广义费用的估计不可能完全正确，因此，采用随机选择模型来描述这种方式选择和路径选择的随机性。令表示出行者在OD 对之间的第p条路径出行的理解出行成本，则

式中：假设ξ是独立同分布、均值为0的Gumbel变量；参数θ反映了乘客对于各个交通方式及各条路径的出行成本的了解程度。

根据Gumbel分布的性质，出行选择概率为

由于每一个需求场景j均满足出行路径选择条件，故针对每一个需求场景j构造与均衡条件（式（11）～（16））等价的变分不等式模型（M1）为：

其中，式（13）为交通需求总量守恒约束，式（14）为路径流量守恒约束，式（15）、（16）表示路径流量与路段流量的关系。

建立了多方式交通均衡的变分不等式模型后，可以通过研究变分不等式解的唯一性，来研究交通方式划分。根据文献[17]，显然，变分不等式模型与交通网络均衡条件等价，且有唯一解。

1.3 上层停车位定价模型

停车场的利润函数为π，其为收入与停车场的建设成本、运营成本之差。由于停车场的容量设为固定值，故其建设运营成本为固定值，其大小对于停车定价的影响为线性。不失一般性，假设停车场建设运营成本为0，则中心停车场与换乘停车场的期望利润函数及利润函数的标准差分别为：

在竞争经营模式下，对于每个停车场所有者而言，其目的在于设置停车价格使得自身利益最大化。每个停车场的定价决策都是基于对对方定价策略的反应，其结果构成Nash均衡。

为了获得最大利润，停车场可能会采取合作行为，此时停车场点经营者的目的是通过设置停车费使共同利益最大化，则其定价行为满足模型（M3）：

合作能够稳定的基础是，双方在合作时获得的利润均大于竞争时各自的利润。而在某些情况下，合作可能会使得一方利益受损。此时，获利的一方对利益受损的一方进行利润补贴，合作才能达成。

2 求解方法

上述竞争与合作情形下的定价模型均为双层规划模型，下层是一个SUE 交通分配模型，而上层是定价模型。考虑到该问题是一个非凸非线性的问题，难以运用全局优化算法求解。因此，采用如下对角化算法求解。

（3）对于每一个运营商k分别求解在已知对方价格策略时的最优价格。设置k=1。

①固定其他停车场运营商的决策变量τk-；

②对每个样本j，运用MSA 算法执行随机网络配流，获得均衡流量f n；

③计算E[πk（τk）]，D[πk（τk）]，计算目标函数hk（τk|τk-）；

⑤令k=k+1，如果k＜K，则返回①，对下一个运营商的最优票价进行计算；否则，进入（4）。

（5）收敛性判断。若收敛准则

则停止，获得均衡价格。其中∈为迭代精度；否则，n←n+1，转（3）。

3 算 例

图2 交通网络示意图

接下来用图2中的路网来验证模型，该模型包含4个节点，2个OD 对，6条路径。实线表示小汽车路网，虚线表示轨道出行与步行路网。其中，地铁行驶路径为路径1 与路径6，全程小汽车路径为2-＞4，3-＞4，换乘路径为2＞5，3-＞5。两个节点的总需求量为随机变量。假定OD 需求服从截尾正态分布，

其他参数中，权重系数为：α1=1.0，α2=0.4，α3=0.1，α4=1.8；β1=1.8，β2=2.0，β3=1.0，β4=1.8，β5=1.8；ρ1=1.0，ρ2=2.0，ρ3=1.0；κ1=0.7，κ2=0.1，κ3=0.9，κ4=0.9；μ=0.3。时间价值转换系数η=20。路段长度为：l1=22，l2=2，l3=5，l4=20，l5=20，l6=25；路 段2、3、4容量分别为600、600 和800。两个停车场容量为:=1 000，=1 000。停车场空闲时的寻找泊位时间为=0.1=0.05。换乘步行时间=0.05；地铁出行步行时间；地铁票和燃油费均价设为距离的函数，即=3+0.15l，τf=0.2l。

首先分析不同的样本容量对求解结果的影响。以竞争策略为例，采用逆变换法，生成服从截尾正态分布的10组随机需求样本集合，每个样本包含的随机需求数为J。由于蒙特卡罗方法满足大数定律，显然，各需求情景的发生概率Pr j=1/J。根据上述基本参数，对于每一组随机需求，计算停车场收费，停车场的车位占用量。图3（a）、（b）所示分别为停车场的最小、最大值占用量以及平均数随样本容量的变化趋势。由图3可以看出，当样本容量J≥100时，停车场P1的占用量的最大值趋近1 015，最小值趋近于465，均值趋近于788，停车场P2的占用量的最大值趋近于490，最小值趋近于178，均值趋近于346。

图4（a）、（b）分别为停车场的利润随样本容量变化的变化趋势。由图4可见，当样本容量J≥100时，两个停车场利润最大、最小值和平均值将会收敛。即在出行需求不确定的情况下，停车场做出最优的定价决策，只需要观测有限天数的出行需求。

图3 不同样本容量的蒙特卡洛仿真结果

图4 不同样本容量的蒙特卡洛仿真结果

为了研究需求的波动性对于停车场定价的影响，本文引入变异系数，υc=σ[Q（rs）]/E[Q（rs）]。变异系数反映的是需求的波动性。设定样本容量为1 000，φ=0.5，调整变异系数分别为0、0.1和0.5。变异系数为0时表示需求量为常数的情景。仿真结果如表1所示。显然，出行需求随机程度影响停车场定价，进而影响停车场利润。随着变异系数的增加，即随着需求波动性的增加，此时为了应对需求波动的风险，停车场的收费降低，小汽车出行比率略有降低，而停车换乘出行比率略有增加，两个停车场的平均利润降低。

表1 变异系数变化

以φ=0.5为例，对合作和竞争策略进行比较。可见，当两个停车场合作时，中心停车场与换乘停车场的定价为18.5元和14.6元，显然要高于竞争时的定价策略（17.02元～10.00元）。从停车场经营者的角度，合作之后，两个停车场的总利润增加了1.57%，即265 元，显然，合作可以创造共同利润。但是停车场P1的收益增加，而停车场P2的收益减少。此时，合作达成的条件在于停车场P1 需要给予停车场P2 一定的补贴。换一个视角，合作经营时的小汽车交通分担量由34.67%降低至33.42%，而地铁的交通分担量由50.07%上升至56.68%，停车换乘的分担量减少5.3%，换乘出行的功能削弱，更多的出行压力转移到了地铁上。此外，系统的总出行成本为15 498.4元，高于竞争时的总出行成本15 375.3元。从出行成本的角度，政府应该避免停车场的垄断行为。

为了研究均值方差权重系数φ的变化，对停车场定价的影响，设计如下算例。设定样本容量为1 000，变异系数为0.5，调整权重φ在[0，1]之间变化。当φ=1时，目标函数表示最大化期望利润；而当φ=0时，目标函数表示最小化利润的标准差。结果如图5所示。随着风险偏好的增加，停车定价增加。这一行为的直接结果就是地铁的出行量增加，而小汽车与停车换乘时的出行量减少，如图6所示。结果说明，决策者的风险偏好对停车场的定价策略具有显著影响，定价策略取决于均值-方差之间的权衡。同时，停车场合作时的定价策略均高于停车场竞争时的定价策略。此外，停车场之间是选择合作还是竞争，取决于停车场运营商的风险态度。由图7可以看出，当φ＜0.5时，合作的总利润高于竞争的总利润；而当φ≥0.5时，竞争获得的总利润更高。以φ=0.4为例，此时竞争的总利润为16 348.3元，而合作的总利润为17 113.9元。同时，可以看出，对于停车场P1所有者而言，合作的利润总是高于竞争的利润，其决策总是趋向于合作。而对于停车场P2所有者而言，当φ≥0.3时，竞争的利润总是高于合作的利润。即决策者的风险偏好会影响停车场的合作竞争决策。当φ＜0.3时，停车场P1与停车场P2决策趋向于合作。而0.3≤φ≤0.5时，停车场P1期望合作，而停车场P2期望竞争。因此，合作达成的条件在于停车场P1需要给予停车场P2 一定的补贴。当φ＞0.5时，两个停车场趋向于竞争。

图5 均值方差权重系数φ变化对停车费用的影响

图6 均值方差权重系数φ对利润的影响

图7 均值方差权重系数φ对交通方式分担比例的影响

4 结 语

本文提出了需求不确定情形下停车场票价优化模型，上层为停车场运营商的竞争或合作下的定价模型，下层为出行者对出行方式、出行路径和停车设施的选择模型。使用蒙特卡洛仿真来模拟需求的不确定性，并利用对角化算法和相继平均法对模型进行求解。通过算例发现：①研究了样本数变化对于停车场定价策略的影响。在出行需求不确定的情况下，停车场做出定价决策，只需要观测有限天数的出行需求。②研究了变异系数对停车定价策略的影响。指出出行需求的随机程度影响停车场定价，进而影响停车场利润。随着变异系数的增加，停车场的收费降低，两个停车场的利润降低。③研究了均值方差权重系数对停车定价策略及合作竞争经营策略的影响。随着风险偏好的增加，停车定价增加，且停车场合作时的定价策略均高于停车场竞争时的定价策略。并指出对停车场运营商而言，合作和竞争策略的利润大小关系取决于运营商的风险偏好。由于本文的模型中引入了随机变量，导致其收敛性证明比较困难，故并未在文中给予证明。但是通过大量的试算，发现该算法是收敛的。