具有风险预期的价格连续型局内物品采购竞争分析

马卫民，张 颖

（桂林理工大学1a.现代企业管理研究中心；1b.商学院，广西 桂林 541004；2.武汉铁路职业技术学院 经济管理学院，武汉 430200）

随着科学技术的发展，互联网的广泛应用，经济的全球化，采购的发展也加入了全球化的大潮中。采购管理也从以交易为基础的采购战术职能发展到以流程为导向的整个供应链的战略职能。采购已不再是传统意义上的花钱买东西这种简单交易。它已经发展成为一种对外部资源管理的职能，一种通过节约生产原料成本，增加企业利润，获得高品质服务来提高企业竞力的有效手段。如果采用更加有效的采购管理策略，可以极大地减少采购成本。由此可见，采购管理对于企业发展的重要性，因此，对采购管理的研究显得极为迫切，本文主要运用局内问题和竞争策略来研究采购管理问题。近年来，随着科学技术的进步和全球一体化的进一步加剧，企业面临的外部环境不断发生变化，采购管理中出现了越来越多的不确定性因素，如需求的不确定性、采购价格的不确定性以及时间的不确定性等。这些不确定性因素对采购管理的决策问题提出了新的挑战，产生了新的管理问题。对于不确定性环境下的采购管理问题解决策略一般分为两种：①将不确定因素随机化，寻求平均意义上的最优方案；②考虑不确定因素的最坏情形，寻求最坏情形下的最优方案[2]。这两种策略各有缺点，但是这两种策略都有主观性，得到的最优解可能与实际最优解相去甚远。因此，需要采用不同于传统方法的新的理论和工具来研究不确定环境下的采购管理问题。

局内问题是20世纪80年代后期兴起的一个热门研究方向，它是研究不完全信息下的决策问题[1]。因为在现实中，很多问题并不知道所需要的所有信息或部分信息，所以，在此情况下无法做出最优决策，而只能尽力给出最满意决策[4]。竞争算法就是这种策略，该策略使得不论以后发生什么情况，所得到的决策结果都在对应最优决策的一定范围内。由于局内算法的这种优越性，以及在各个方面的问题的不确定性环境的存在，越来越多的受到众多局内问题和竞争算法研究学者的广泛关注。任何企业都希望以最低的成本来采购物品。然而，企业在采购物品的过程中，采购价格是不确定的，每一天的价格都是在不断变化的，且未来信息不可预测。因此，在一个新的采购价格出现时，局内人必须决定是否采购，如果采购，则需采购多少物品。

在上述背景下，本文对不确定环境下的供应链采购管理问题展开研究。首先，根据决策者对未来的预期和所能承受的风险来确定一个在线策略集合；而后，根据预期成功后最小的约束竞争比来选择此模型下的最优在线策略集合；最后，根据预期成功后最新的约束竞争比来选择在此模型下的最优在线策略。本文在Al-Binali[3]研究的基础上，将该思想运用到局内采购管理问题中，针对石油、天然气等价格连续型物品，并考虑新的预期：一旦采购价格达到或低于h，则在余下的阶段价格一直不会高于h情况下的最优局内采购策略和约束竞争比。

1 竞争比分析与风险收益补偿模型

1.1 竞争比分析

局内问题是已知局部信息而需要对全局做出决策的一类问题，在局内问题中输入总是逐步获知的。局内问题和竞争研究始于Sleator等[2]的工作，马卫民等[6]对此问题做了全面总结；20年来，研究成果层出不穷，已经成为一个值得关注的新的研究方向。局内问题亦可称为联机问题或在线问题。局内问题就是依次接收输入，在未知将来的情况下，每个输入相应的产生输出，决策者置身事件的发生过程中，只知道局部情况，而对全局进行优化的问题。局内问题是对于局外问题而言的，在现实生活中局内问题的例子随处可见。

竞争比的概念是局内决策的核心理念。对于局内决策而言，一般有两种情形下的竞争比定义。首先，对于成本优化的局内不确定性决策问题T，以cost A（I）记策略A对于问题T中某一实例I的实现成本，则问题T中策略A的竞争比c定义为

其次，对于利润优化的局内不确定性决策问题T，以benefit（I）记策略A对于问题T中某一实例I的实现利润，则问题T中策略A的竞争比c定义为

在一般情形下需要在定义的不等式右边加一个常数，此常数不影响竞争比的求解。竞争分析理论中，竞争比就是衡量一个在线策略优劣的判断标准。它反映了一个局内策略所得到的解有可能偏离实际最优解的最大程度。与传统的概率分析方法可能给出偏离实际最优解相距甚远的方案不同，竞争分析方法采用竞争比来衡量一个在线策略的优劣，是一种具有鲁棒性的描述。即对于未来的不确定事件，一个局内竞争策略所给出的解总是被控制在由竞争比所描述的范围内，从而能够保证它不会偏离离线最优解太远。竞争分析方法的另一个优点在于不需要对决策问题中所涉及的不确定因素进行概率估计，而只需要知道很少的关于不确定事件的信息。在现实决策问题中，往往也很难对未知的不确定事件给出一个准确的概率分布。因此，在解决无法估计其概率分布的不确定性决策问题时，竞争分析理论提供了一种新的思路。

虽然竞争比分析局内问题得到了广泛应用，并取得了丰硕成果，但其本身存在一些缺陷。竞争比分析假定在线决策者对信息一无所知，但实际中决策者总是知道部分信息的，完全忽略这部分信息是不明智的，是一种极大的浪费，这也是竞争比结果比较差的原因。而且竞争比分析是最坏情形分析，所以得到的结果是确定性结果，不存在风险，因此，局内决策者是悲观保守的。但在许多问题中，如在线采购管理以及金融管理中，决策者更希望能够控制风险，为了更低的成本，更好的收益，有时他们愿意担负一定的风险。正是这些原因，Al-Binali[3]建立了风险-收益补偿模型，依据局内决策者的预期和所能承受的风险来决定一个局内策略集合，而后寻求最小约束竞争比。

1.2 竞争分析风险补偿模型

竞争分析的风险补偿模型是由Al-Binali[3]提出的。本文根据Al-Binali的原理对具有有限预期能力的不确定价格下的库存问题进行分析。

（1）风险。即为风险算法的竞争比和最优竞争比之间的比值。该比值反映了一个局内策略偏离最优竞争算法的机会损失，即c A/c*。

（2）风险容忍度。即局内决策者可以容忍（接受）的最大风险水平。这里用t表示一个局内决策者的风险容忍度。t值越大，表明在线决策者越偏好风险。当t=1时，局内决策者是风险中立的，即该决策者只考虑最优在线策略。风险算法集合It=。

（3）预期。即局内决策者对未来市场变化的一个预测。预期是在提供未来可能产生的一部分信息（例如预期在10 天内每单位采购价格会增长500元）的情况下，将所有可能输入的集合缩小到一个较原问题更小的子集。通过预期，决策者在进行决策时所面对的选择范围缩小，不确定性降低，因而他有可能做出更优的决策。但正如前所述，如果预期错误，他就会面临后果更差的风险。

（4）限定比率。一个局内策略的限定比率是相对于它所对应的限定条件而言的。这里是指在预期成功时该算法所具有的竞争比，即输入被限定在预期范围内，它是原问题中所有可能输入的一个子集。

（5）补偿。即最优竞争比与该策略的限定比率之间的比值。一个局内策略所得到的补偿可以用来衡量在预期成功时它相对于最优竞争策略所得到的在竞争比性能方面的改善。

（6）最优风险容忍策略。最优风险容忍策略是指满足风险忍受水平且获得最大补偿的局内策略，即在预期所限定的输入内，在风险不超过决策者的风险容忍度的情形下，所有局内策略中具有最大补偿的策略。

对于本文所讨论的采购问题，已知价格具有一个确定的上界M和下界m，及m≤x≤M。假设决策者对未来价格的预期F∈I，则相对于预期F，算法A的限定比率为

正如上式所示，在计算该算法的限定比率时，其采购价格的变化范围被限定在F。在下面的讨论中，限定比率c′A都是相对于预期F而言的，而竞争比c和最优竞争比c*则与前一章的讨论相同，是相对于F而言的。

得到算法A的限定比率后，就可以定义预期成功时的补偿收益，即。用It表示所有满足风险容忍度t的局内算法集合，即It中所有算法的风险都不会超过决策者的风险可接受水平t。因此，在采购问题中，给定输入集合I、预期F和风险忍受度t，最优风险容忍订货策略A*∈It满足

根据 对RA的分析不难有。

2 风险补偿模型下的局内物质采购策略分析

El-Yaniv等[4]建立了最初的外汇兑换模型，考虑已知汇率的最大值M和最小值m以及天数n的在线策略，文中主要分析了基于价格下降威胁的局内兑换策略，并证明了基于价格下降威胁策略是最优的局内兑换策略，分析了该策略的竞争比结果。Al-Binali[3]在此基础上进行了进一步研究。依据局内决策者的预期和风险承受能力来确定一个局内策略集合，并在预期成功后求解出最优约束竞争比，来选择在此模型下的最优局内策略。Ma等[14]在此基础上，将该原理运用到采购价格不确定的局内采购问题中，提出基于价格上升威胁策略，他们主要预期采购价格至少有一个不超过的价格出现。并求出了当预期成功后最小的约束竞争比，以此来选择此模型下的最优在线策略，将该策略称为TS1。

2.1 局内物质采购无风险策略

在连续模型中，决策者已知M和m。定义两个函数q（x）和υ（x），用q（x）表示指导价格x的总订货量，υ（x）表示指导价格x的总订货成本。由于局外最优策略和基于价格上升威胁策略只有在价格达到一个新的最低点时才决定订购商品，故假设价格连续下降。满足如下规则：

（1）只有当前价格为迄今为止最小时才考虑采购商品。

（2）在博弈的最后，确保累计订货量达到最大库存。

（3）每次采购商品时，只采购最少数量的商品，使得即使以后价格一直保持可能的最大值时也能保证竞争比c。

在M和m已知的价格连续型采购问题中，基于价格上升威胁策略是一个竞争策略，且最优竞争比满足

指导价格x的总订货量满足

证明首先，引入El-Yaniv等[4]关于q（x）和υ（x）的分析。

根据基于价格上升威胁策略，q（x）和υ（x）满足如下条件：

当x≥M/c时，

当x＜M/c时，

订购q′（x）的商品需要成本

式（1）表明，当价格x大于或等于M/c时，无法满足规则（3），故不进行任何交易，此时，q（x）=0，υ（x）=0。当x＜M/c时，由规则（3）可得式（2）。

对于x∈[m，M]，通过对式（2）两边求导，可得

的唯一解。

同理，

2.2 竞争比变化对订货量、订货成本影响分析

定理1若指导价格x的总订货量满足

则：①采购价格不变情形下，竞争比越大，指导价格x的总订货量越少；②采购价格不变情形下，竞争比越大，指导价格x的总订货成本越少；③指导价格x的总订货成本不变情形下，竞争比越大，总订货量越大。

证明注意到，

因为x＜M，所以＜0，故是关于x的单调递减函数，当x=m时取得最大值，且

因此，当x=m时，∂q/∂c是关于c的单调递增函数；因为1≤c＜M/m，所以

综上分析，因为∂q/∂c是关于x的单调递减函数，当x=m时取得最大值，且

故∂q/∂c＜0，所以，在采购价格不变情形下，竞争比越大，指导价格x的总订货量越少。

因此，∂υ/∂c是关于x的单调递减函数，当x=m时取得最大值，且

故当x=m时，∂υ/∂c是关于c的单调递增函数；因为1≤c＜M/m，所以

综上分析，因为∂υ/∂c是关于x的单调递减函数，当x=m时取得最大值，且

故∂υ/∂c＜0，所以，在采购价格不变情形下，竞争比越大，指导价格x的总订货成本越少。

由式（2）可得x=[υ（x）+M（1-q（x））]/c，代入q（x），得：

是关于x的单调递增函数，当x=M/c时取得最大值，即

因为x/（x-M）＜0，所以∂q（υ）/∂c＞0。因此，在指导价格x的总订货成本不变情形下，竞争比越大，总订货量越大。

2.3 新的预期下局内物质采购最优约束竞争比求解

考虑到实际市场中，在物品价格突破某一价位后，价格会有一段长时间的上涨或下跌。结合这一情况，本文考虑新的预期：一旦采购价格达到或低于h，则在余下的阶段采购价格一直不会高于h。即如果存在x≤h，则对于任意的后继价格x≤h。

根据新的预期，一旦出现x≤h，对于后续价格有x≤h。和TS1中不同的是，此时不必担心价格会上升到最大值M，因此，在每阶段的采购数量也会发生很大变化，参考文献[3，5，7-13]和TS1 策略，给出新的交易策略TS2。

（1）只有当前价格为迄今为止最小时才考虑采购商品。

（2）在博弈的最后，确保累计订货量达到最大库存。

（3）每次采购商品时，只采购最少数量的商品，使得即使以后价格一直保持可能的最大值时也能保证竞争比c。

（4）当无价格x≤h时，根据局内决策者的风险容忍度t进行采购，保证即使价格上升至M时也能保证竞争比，其中表示不存在预期最初问题的最优竞争比。

（5）当有价格x≤h时，即预期成功，根据问题假设，而后的价格都有x≤h，故此时不需担心价格上升到M。重新计算限定竞争比，开始新的交易。

实际上，TS2策略是一个两阶段采购策略，第1阶段，当无价格小于或等于h时，保证竞争比，从而保证更多的库存缺口；第2 阶段，当价格x≤h时，充分利用剩下的足够多的库存缺口在此更低的价格采购商品来保证竞争比，即使而后价格一直上升到h。这样TS2就能保证当预期失败时竞争比也不会大于，而一旦预期成功，相对TS1将有更多的库存缺口在更低的价格上进行采购，成本将低于TS1策略，于是，有。

定理2在新的预期下最优约束竞争比满足

证明第1阶段，当无价格x≤b0时，根据风险容忍度t进行决策，保证即使价格升至M时也能保证竞争比。该阶段采购商在预测不准确的威胁下采购，保证局外的结果与采购商的比较其竞争比至多为，但是剩下足够多的库存缺口用于预测成功时的采购。该阶段的采购总量函数

第2阶段。当预期成功时开始第2阶段。因为该阶段至少有一次价格不会高于b0，但与TS1策略不同的是，此时不必担心价格上升到M的威胁，因为以后的价格都不超过h，所以，该阶段的价格区间变为[m，h]，最优竞争比变为。

引理的解。

证明首先，引入El-Yaniv等[4]关于q（x）和υ（x）的分析。

假设第1阶段已经订购了q1，根据基于价格上升威胁策略，q（x）和υ（x）满足如下条件：

当x≥h/c时，

当x＜M/c时，

订购q′（x）的商品需要成本

式（5）表明，当价格x大于或等于h/c时，无法满足规则（3），故第2阶段不进行任何交易，此时，q（x）=0，υ（x）=0。当价格x＜h/c时，根据规则（3），可得式（6）。

对于x∈[m，h]，通过对式（6）两边求导，可得

显然，当且仅当

时，可得竞争比c，故最优竞争比是

的唯一解。

因此，第2阶段的采购量函数为

当有价格低于h时按第2阶段的采购分量函数继续采购剩余商品。同理，竞争比确定的采购总量函数为

因为已经订购了q1，花费了υ1，如果按确定的采购总量函数订购q1，假设对应的价格为b′，已经花费了υ2，则

由前面的证明已知，随着竞争比的增大，同样的订货量所花的成本在减少，即υ1＜υ2，得

当预测成功时，采购价格b1（＜h），订货量为库存容量时的总成本为

从而得到

注意到，采购价格b1越小，c2越大；若b1取最小值m，则

2.4 数值结果

为了清楚地说明风险容忍度、预期和约束竞争比之间的关系，本文给出了数值结果来探求当预期发生变化时约束竞争比的变化，重点对文献[14]TS1策略中的数值结果做了相应的对照分析，得出当预期发生变化时，在新的预期下的约束竞争比结果，如表1所示。

由表1并结合本研究，可得如下结论：

（1）因为竞争比的下限为1，所以竞争比的最大可改进范围是c2-1。因此，为了比较结果，这里以作为衡量约束竞争比改善的指标。由表1可以发现，加强一些预期，即运用本文提到的预期，相比文献[14]中TS1策略最优约束竞争比有很大改善，改善程度都在46.0%以上。

表1 新预期下的约束竞争比（m=100，M=200， =1.302）

表1 新预期下的约束竞争比（m=100，M=200， =1.302）

（2）各个参数变化对约束竞争比的影响。

①t和h不变，当第1阶段最后的采购价格b越小时，υ1-υ2越小，则越小，即如果预期成功，基于风险策略的局内订货成本与局外最优成本的差距越小；b越大，则越大。由表1可见，当t=1.01，h=120，当b从123变为121时，最优约束竞争比从1.121变为1.093，减少了约23.1%。若b取最大值，则υ1=0，υ2=0，此时有，风险补偿（此时TS1策略的风险补偿f==1），虽然风险补偿有所降低，但是这是在最坏输入情况下获得的。

说明：虽然采购量不变情形下，竞争比越大，购买成本越小，但是并不是竞争比越大越好，原因在于采购量不变的前提下，竞争比大的采购总量函数比竞争比小的采购总量函数要求的采购价格更低。如果采购价格没有小于竞争比大的采购总量函数要求的采购价格，则按竞争比大的采购总量函数就无法采购商品，必须等最后时刻购买，相应的采购成本反倒大于竞争比小的采购成本。

③采购商预测的价格h越小越大，即预期成功时基于风险策略的局内订货成本与局外最优成本的差距越大。由表1可见，当t=1.01，h从120变为123时，最优约束竞争比从1.121变为1.065，减少了约46.3%，发现h和b是影响约束竞争比的主要因素。

3 结 语

随着科学技术的发展，经济的全球化，采购的发展也加入全球化的大潮中。采购已不再是传统意义上的花钱买东西这种简单交易了。它已经发展成为一种对外部资源管理的职能，一种通过节约生产原料成本，增加企业利润，获得高品质服务来提高企业竞争力的有效手段。如何设计一个好的采购管理策略，降低企业的采购成本，是一个值得研究的问题。本文在El-Yaniv等[4]的局内兑换问题的基本模型和基于风险的兑换策略；Al-Binali[3]的风险补偿模型以及Ma等[14]的TS1策略基础上进行创新。针对石油、天然气等价格连续型商品，结合实际市场情况，本文考虑新的预期：一旦出现价格x≤h，对于后续价格有x≤h，给出了在此预期下的最优局内采购策略和最优约束竞争比结果，并分析了参数的不同变化对约束竞争比的影响。数值结果表明，在新的预期下约束竞争比结果有很大的改善，并且发现h和b是影响约束竞争比的主要因素。

对于本文的局内采购管理问题还有许多值得关注的问题和方向。为了简化库存模型，本文将交易费用和库存成本都设置为0。然而，在现实中，这些费用在企业管理中占据了很大一部分比例。因此，如果考虑采购费用和库存成本，则应该如何设计策略是需要解决的问题。另外，纯竞争分析并不考虑不确定事件的概率分布这些信息，其结果往往过于悲观和保守。一律的忽视价格的概率信息可能不再是一个明智的决定，因为从长期来看，价格可能满足一定的概率分布，所以，如果对于价格的概率分布有一个较为准确地认识，则概率分析对于长期成本的估计将是一种合理的分析方法。