谈定义域在高等数学解题中的一些作用

陈思漫

摘 要：函数作为重要的数学工具，在数学中的应用十分广泛，定义域是函数三要素，简单而言就是函数中因变量的取值范围。在高等数学中，定义域作为重要的教学内容，由于类型丰富，是学习中的难点，可见不断地探究定义域的在高等数学中的解题作用，具有很强的现实意义与必要性。定义域的应用十分广泛，对于学习函数，应用函数，以及对于相关问题的求解有着十分重要的作用。本文结合高等数学学习实践，对于定义域的在解题的过程中的作用，以及相应的解题要点进行分析，希望为高等数学的学习提升提供相应的依据。

关键词：定义域；解题；高等数学；作用

数学的学习能够有效地促进学生数学能力的养成，尤其是对于学生数学素养有着十分积极的养成作用，可见我们不断地展开对于数学的学习，积极提升自身的数学能力以及素养，对于自身发展有着积极而深远的意义。

一、函数值域的确定

函数定义域在高等数学解题过程中，首要的一个作用就是确定函数的值域，函数的定义域、值域以及对应关系的是函数的三大要素，在高等数学中，定义域与值域往往都是具体的区间，对应关系将变得复杂，即函数的表达形式十分复杂，定义域的主要的作用就是进行值域的确定，值域的确定是数学解题的基本思路所在，正是由于其具有基础性的作用，我们在学生的过程中应当更加注意。例如，在下述例题中，求解函数的值域。

此函数为分段函数，即定义域区间不连续，且在不同的定义域区间下函数有着不同的对应关系，根据定义域求解值域，依据上题目，应当计算不同区段函数的值域，然后进行值域的合并，实现值域的求解。上题中，第一段函数值域为，第二段函数值域为，总体而言函数值域为。总的来说，函数值域的求解有两个层面的要点需要注意，尤其是在高等数学复杂的函数表达形式下，更是十分关键的。其一，函数的单调性判断十分关键，如果函数是单调的，函数值域范围所对于的就是定义域的范围，如果函数不是单调的就首先进行单调性分析，再根据定义域求解值域[1]。其二，定义域区间的开闭十分关键，例如单单调函数在两侧均为开区间的情况，就不会出现最大值和最小值。更为重要的是，值域往往是问题结果的重要体现，带有很强规律性，因此不断地分析对应关系对于不同定义域区段的作用，十分必要。

二、函数单调性判定

定义域在高中数学解题中，还有一个重要的作用，就是对于函数的单调性进行相应的分析。函数的单调性简单而言，就是在定义域中函数函数值的变化，函数有单调函数与非单调函数之分，其中单调函数又有单调递增以及单调递减的情况。定义域在函数单调性的求解中十分关键[2]，主要在以下两个方面展开分析。首先，对于基本函数，我们往往可以根据函数的定义域，根据函数的性质进行求解。例如，幂函数，指数函数等基本函数可以实现函数单调性的直接分析。其次，在高等数学中，符合函数单调性的求解往往是十分复杂的，因此就需要运用导数的知识进行分析，定义域有着重要的作用。例如：

求解函数的单调性，定义域为

首先对于函数进行求导，即，然后通过判断导函数的取值范围进行相应函数的单调性求解。将定义域分为两个区段，与，上述两个区段的定义域下，导函数分别是大于0或者小于0，这就能够得出函数单调性，即导函数大于0，函数单调递增，反之，函数单调递减。函数单调性的确定，是函数问题求解的常见形式，而定义域是问题求解中的关键，应当不断地引起我们的重视。其一，函数单调性求解往往基于复杂的符合函数进行求解，因此重点分析定义域，对于函数单调性进行分析，十分关键。其次，在单调性求解的过程中，注意函数定义域在导函数中的适用性十分关键，即函数定义域可能在导函数中不适用，应当引起我们的重视。

三、具体问题讨论范围的限定

数学的本质总的来说就是解决问题，即不断地运用数学知识实现对于相关问题的求解，这也是数学学习的本质所在。函数是重要的数学工具，在解决实际问题中，函数能够对于相应的规律进行反映，对于问题解决十分关键。定义域在实际问题的解决过程中，最为重要的作用就是能够限定具体问题的讨论范围，这对于实际问题的解决十分关键。首先，实际参数作为因变量，与目标值建立了相应的对应关系，定义域能够限定范围，使得问题讨论求解不断地简化。例如，建立温度了与气体密度的函数，函数是十分复杂的，进行全面规律分析十分困难，但是根据实际情况，普通温度的变化仅仅在一个区间内，因此只有在相应区间进行问题的讨论分析十分关键。其次，实际问题中解决中，定义域层面的确定，不仅仅简化了问题的解决过程中，而且对于实际问题的解决有着很好的实际导向。使得问题的求解更加具有针对性。总的来说，定义域定义了函数关系的作用范围，不断地对于定义域进行分解，合并以及相应的划分，对于问题求解十分关键，使得问题求解更加具有针对性。

函数定义域是数学问题的中重要的基本概念，对于问题求解，对于整体层面数据能力的提升有着重要意义。在高等数学中，定义域对于函数问题的求解十分关键，尤其是在实际问题的求解中，積极应用定义域的特性，不断地结合对应关系，以及值域进行分析，十分必要。总的来说，在定义域内容层面的学习中，需要不断地学习基本概念，灵活运用，创新实践，将课程知识与生活实践相结合也是新教育理念发展层面的要求。

参考文献：

[1]周维.浅谈定义域在高等数学解题中的一些作用[J].大学数学， 1995（3）：256-258.