寻“前世今生”，觅“备考之道”

林生

从2010年至2018年的全国高考题来看：函数与导数这个是高考的“重头戏”，每年的分值都比较高，几乎年年都以“压轴题”的身份出现，给人很“高深”的感觉，让人“畏惧”. 其实对于函数与导数这个压轴题，我们只要多学会研究题目的“真谛”，找到解题的思路和突破口，那么我们便“无所畏惧”. 其实我们高考备考过程其实就是探索、不断完善的过程.在备考过程中，我们要学会通过认真分析研究以前的高考真题，通过对真题的纵横分析以及对其内在的研究，找出其共性的东西，找出其通性通法，找到命题的趋势，再加强训练，我们便可以实现“通一明百”，从而实现高效备考. 下面结合今年全国Ⅰ卷理科数学高考题的第21题来分析，通过对本题的研究与分析来寻找它的“前世今生”，找到其“源”与“流”，从而找到这类导数压轴题的常规解法，同时对此基本类型进行变式拓展，让考生从题中悟“道”，从而举一反三，开启思维，纵横联系、触类旁通，另外还对函数与中常规题型及常用到的一些解题方法和技巧来进行举例分析、变式和总结归纳，让考生真正掌握处理函数与导数问题的实质，熟练运用其技巧，从而掌握这一类题型的基本方法和技巧，最终得出2019年高考函数与导数发展的趋势，探窥出函数与导数优效备考的策略.

一、真题回放

（2018年全国卷新课标Ⅰ卷（即广东高考）理科数学第21题）已知函数f（x）=-x+alnx.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：

【分析】本题第一问考查函数的单调区间，看起来熟悉常规，有利于思维的展开，但该题把数学思想方法（函数与方程、等价转化、分类讨论）和素养作为考查的重点，抓住了广东考生的“软肋”（字母运算和分类讨论），直击其“要害”，将字母运算、分类讨论等融为一体，是一道简约而不简单、深刻而不深奥的试题，让考生在平平淡淡中考能力、平平实实中考思维、稳扎稳打中见真功，这十分符合新课标的命题理念.加上该试题第（2）问和不等式结合在一起，很多考生由于“畏惧”的心理，加上由于时间的限制，很多考生在这里如果没有保持“清醒”的头脑的话，就会陷入“卡壳”，因此命题者把它作为压轴题也就不足为奇了.综合来看：其实本题只要认真分析，找住问题的本质，特别是本题的第（1）问，应该有“抢分”的意识，该问主要是考查考生分类讨论的思想，只要抓住问题的关键，求导后分子是二次函数，即 f ′（x）=--1+=，但在这里考生很容易出错的是：①会忽略函数f（x）的定义域是（0，+∞），这会使学生容易出错；②求导容易求错，会出现f ′（x）=lnx-1+或f ′（x）=-1+=的错误；以上两种都是由于粗心或者不小心导致出错.但只要我们注意定义域和求导不求错，对求导后的分类讨论标准（分类讨论的思想方法：就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出第一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答，其实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”.在分类讨论时，要注意：①分类对象确定，标准统一；②不重复，不遗漏；③分层次，不越级讨论.）把握到位，第（1）问就可以“迎难而解”，即求导f ′（x）=--1+=可知不用再讨论分母，只需判断分子的情况即可，而分子是-x2+ax-1，是典型的二次函数，因此可设g（x）=-x2+ax-1，只需判断g（x）=-x2+ax-1在（0，+∞）上的根的情况即可.而对于函数g（x）=-x2+ax-1的圖像开口向下，又恒过定点（0，-1），所以这时问题变得很简单了，只需判断？驻=a2-4的情况.即只需研究？驻=a2-4≤0和？驻=a2-4>0两种情况，懂得这样分类讨论的话，一切问题都变得简单很多了.而对于第（2）问涉及到证明不等式的问题，其实常规的方法无非是两种处理方法：①构造一个新的函数来处理；②将问题进行转化，转化为可以用我们所学的知识来处理.但不管用上面的哪种方法来处理，都少不了将条件“函数f（x）存在两个极值点x1，x2”具体化，并且要学会找出隐含在里面的条件“x1x2=1”，只有懂得把这些隐含条件找出来，才可以更好地出来该类题型. 这样的命题有效地避免了题海战术，真正地考查了考生应用知识的能力.

解析： （1）f（x）的定义域为（0，+∞），f ′（x）=--1+=.设g（x）=-x2+ax-1，而函数g（x）=-x2+ax-1的图像开口向下，恒过定点（0，-1），？驻=a2-4.

（i）当？驻=a2-4≤0时，即-2≤a≤2时，g（x）=-x2+ax-1≤0在（0，+∞）上恒成立，所以f ′（x）≤0在（0，+∞）恒成立，所以f（x）在（0，+∞）单调递减.

（ii）当？驻=a2-4>0时，即a>2或a<-2时，由g（x）=-x2+ax-1=0，即f ′（x）=0解得x1=，x2=，由g（x）=-x2+ax-1=0可知：x1+x2=a，x1x2=1，当a<-2时，x1<0，x2<0，因此可得f ′（x）<0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）单调递减. 当a>2时，由x1+x2=a，x1x2=1可得x1>0，x2>0，因此可得当x∈（0，）∪（，+∞）时， f ′（x）<0；当x∈（，）时， f ′（x）>0. 所以f（x）在（0，），（，+∞）单调递减，在（，）单调递增.

综上所述，当a≤2时，f（x）在（0，+∞）单调递减； 当a>2时，f（x）在（0，）和（，+∞）上单调递减，在（，）单调递增.

（2）解析1：当f（x）存在两个极值点x1，x2时，由（1）可知当a>2时，f（x）存在两个极值点x1，x2，要证明（a-2）（x1-x2）成立，即证明f（x1）-（a-2）x1>f（x2）-（a-2）x2，其中x1，x2是方程g（x）=-x2+ax-1=0的两个根，设函数h（t）=f（t）-（a-2）t，则满足-t2+at-1=0，即可t+=a，h′（t）=f ′（t）-（a-2）=--1+a·-（a-2）=--1+（t+）·-（t+-2）=2-（t+），由（1）可知当a>2时，f（x）存在两个极值点x1，x2，所以t+=a>2，所以h′（t）=2-（t+）<0，h（t）=f（t）-（a-2）t在（0，+∞）单调递减，又因为x2>x1>0，所以h（x2）f（x2）-（a-2）x2，因此可得

解析2：当f（x）存在两个极值点x1，x2时，由（1）可知当a>2时，f（x）存在两个极值点x1，x2，要证明（a-2）（x1-x2）成立，由x1x2=1可得x2=，即只需证明f（x1）-f（）>（a-2）（x1-），

即证-x1+alnx1-（x1-+aln）>（a-2）（x1-），化简可得2alnx1+a（-x1）>0，再由a>2，因此只需证2lnx1+（-x1）>0成立即可，设函数h（t）=2lnt+（-t），由（1）可知0h（1）=0，所以得2lnx1+（-x1）>0在（0，1）上恒成立，

即f（x1）-f（x2）>（a-2）（x1-x2），因此可得

解析3：由（1）可知只有當a>2时，f（x）才有两个极值点x1，x2，（不妨设01，因此有==a·-2，要证明x1-x2，所以只需证明lnx12>x1-成立，即证明2lnx1-x1+>0成立，下面构造函数和以下一样，过程略）令h（t）=2lnt-t+（t>1），h′（t）=-1-=-<0，故h（t）在（1，+∞）递减，从而h（t）

解析4：由（1）可知只有当a>2时， f（x）才有两个极值点x1，x2，（不妨设01，因此有==a·-2，而根据对数平均不等式得<，下面证明对数平均不等式成立，设01，即证lnt2<成立，即证lnt2-t+<0成立，构造函数h（t）=2lnt+（-t）（t>1），所以g′（t）= -<0，h（t）在（1，+∞）递减，所以h（t）

【点评】本题的第（1）问其实质就是导数的分类讨论的问题，对于导数的分类讨论，要把握其分类的标准. 因为在平时的备考中要树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”往往分类讨论主要是有以下类型：①参数引起的分类讨论；②判别式引起的分类讨论；③二次函数对称轴与给定区间引起的分类讨论；④二项系数引起的分类讨论.但平时在考题中求导后多与二次函数有关，因此我们对参数进行讨论时，要注意判断求导后是否为二次函数（若二次函数系数为参数，需对二次函数系数分正、负、零等讨论），若为二次函数，则需要判断是否能因式分解，若能因式分解，则还要判断根的大小以及根是否在定义域内；若不能因式分解，则要判断开口方向、？驻、对称轴以及是否过定点和根的大小以及根是否在定义域内等，要把握住其中的关键点，这样分类讨论标准才可以把握到位、不重复、不遗漏.第（2）问中要证明不等式，其实就是懂得构造函数或者利用不等式放缩等方法来处理，而在解法1中和解法2的不同之处就是构造函数的不同，解法1是转化后直接构造，解法2是变形后构造，但都“殊途同归”，都是为了达到证明不等式的效果.而解法3和解法4时化简后利用放缩，然后证明不等式成立，不过都要用到一种常用的方法：构造函数.可见对于处理导数压轴题来说，构造一个新的函数来处理问题是常规的手法，但是构造函数一定要结合题目的特征来构造，常用的有直接构造法，等价转化构造法、消元或消参构造等，总之，是通过构造实现处理函数的问题.综合上面来看，对于函数与导数的综合题型，最为关键的是要学会求函数的单调区间，通过单调区间来解决一系列问题，因此在备考期间要注意落实求单调区间问题才是“上上之策”.

二、寻“前世今生”

于今年这道导数压轴题，其实是我们“常见”的题型，第（1）问求单调区间，是考查分类讨论的思想；第（2）问证明不等式，考查就是等价转化的思想.因此今年的这道压轴题的类型在往年压轴题和模拟试题都经常出现，特别是和2011年湖南高考文科数学第22题“高度吻合”.其实我们高考命题是从题库里面抽取出来命题的，因此我们很多题目都可以找到它的“前世今生”，今年这道高考题也不例外.下面分析对比这两道题目的“异同”. （2011年湖南高考文科数学第22题）设函数f（x）=x--alnx（a∈R），（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.仔细分析可知：这两道题可以说是“一模一样”的：①题目给出的函数几乎一样，仅相差了一个符号而已；②第（1）问都是讨论函数的单调性，问法一样；③ 第（2）问研究的问题完全一样，只不过换一种说法而已.在2011年这道高考题中，设问用了探索的方式，问是否存在a，使得k=2-a，而今年的高考题是要求证明：2-a，从而不存在常数a，使得k=2-a.从中可发现：对于这些类型其实处理方法本质一样，只不过稍微“改头换面”，因此我们在备考的过程中要学会不断反思，要认真研究题目的“来龙去脉”，寻找它的“前世今生”，这样备考才可以更好的有的放矢.

例1. 已知函数f（x）=x2-ax+（a-1）lnx，a>1.

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）证明：若a<5，则对任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有>-1.

【分析】本题主要考查分类讨论的思想和不等式证明，要解决该类题型和上面的手法“如出一辙”，只要把握分类讨论和构造函数的常规方法，就很容易找到解题的“突破口”.

解析：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）.

f ′（x）=x-a+==，（i）若a-1=1即a=2，则f ′（x）=，故f（x）在（0，+∞）单调增加.（ii）若a-1<1，而a>1，故10. 故f（x）在（a-1，1）单调递减，在（0，a-1），（1，+∞）单调递增.（iii）若a-1>1，即a>2，同理可得f（x）在（1，a-1）单调递减，在（0，1），（a-1，+∞）单调递增.

（2）设函数g（x）=f（x）+x=x2-ax+（a-1）lnx+x.則g′（x）=x-（a-1）+≥2-（a-1）=1-（-1）2. 由于10，即g（x）在（0，+∞）单调增加，从而当x1>x2>0时有g（x1）-g（x2）>0，即f（x1）-f（x2）+x1-x2>0，故>-1，当0-1成立.

变式. 设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1，x2，且x1

（1）求a的取值范围；

（2）证明：f（x2）>.

【分析】这类问题的处理手法和上面稍有不同，直接处理会发现“此路不通”，因此要把题目的条件转化，转化后便可以处理.

解析：（1）由题设知，函数f（x）的定义域是（-1，+∞），f ′（x）=2x+=，且f ′（x）=0有两个不同的根x1、x2，所以2x2+2x+a=0的判别式？驻=4-8a>0，即a<，且x1=，x2=，又x1>-1故a>0.因此a的取值范围是（0，）. 结合图像可知，f（x）在区间（-1，x1）和（x2，+∞）是增函数，在区间（x1，x2）是减函数，所以函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1，x2. 所以a的取值范围是（0，）.

（2）由题设和（1）可知：x1+x2=-2，x1x2=a，-0，故g（t）在区间[-，0）是增函数，于是，当t∈（-，0）时，g（t）>g（-）=，因此f（x2）=g（x2）>.

【点评】本题及变式涉及到的是导数中常见的问题，主要是分类讨论和等价转化的问题，在这个过程中，只要把握分类讨论的标准和构造函数的基本类型，那么一切的问题便“迎难而解”.

拓展：已知函数f（x）=lnx-ax2+bx（a>0），且f ′（1）=0，

（1）试用含有a的式子表示b，并求f（x）的单调区间；

（2）函数图像上的任意两点A（x1，y1）B（x2，y2）（x1

【分析】第（1）问求单调区间是比较容易的，直接根据条件得出来；第（2）问属于“新定义”题型，根据“相依切线”定义得其本质：利用A，B两点间的斜率与x0∈（x1，x2）时导数值f ′（x0）相等，建立关于x0的方程，探究方程是否有根问题（即在x0∈（x1，x2）时，kAB=f ′（x0）是否有根）；而“中值相依切线”的解决途径则是先假设存在A，B两点使得它存在“中值相依切线”，建立关于x1，x2的方程kAB=f ′（x0），其中x0=，探究方程是否有根.通过题意可知：上述问题实际都是通过A，B的割线斜率等于切线斜率实现，但方向不同，“相依切线”是已知曲线上点A、B去寻求M（x0，y0）是否存在，而“中值相依切线”是已知点M（x0，y0）去寻求点点A、B是否存在.由此可以得到解法.

解析：（1）f ′（x）=-ax+b，由f ′（1）=0可得b=a-1.

（2）假设函数f（x）的图像上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1

使得AB存在“中值相依切线”，则kAB==-+a-1，f ′（）=-+a-1又kAB=f ′（）得=，所以ln==，由x2>x1得>1，设=t（t>1），则lnt=2-（t>1），则此式表示有大于1的实数根.令h（t）=lnt+-2（t>1），则h′（t）=>0，所以h（t）在（1，+∞）上是增函数.因此h（t）>h（1）=0与lnt=2-（t>1）有大于1的实数根相矛盾，所以函数f（x）的图像上不存在两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1

【点评】本题和今年的高考处理方法也比较类似，只不过本题是以高等数学背景——拉格朗日中值定理“亮剑出击”，以导数的几何意义为切入点，有一定的深度，也充分考查了考生的能力.其实本题我们只要根据本题的定义，用导数的几何意义求出直线的斜率，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，它的定义实际上是拉格朗日中值定理的变形（作为考生，我们也应了解一些以高等数学的背景且与高考息息相关的著名定理，为了更好让考生了解一下拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理：若函数f（x）满足如下条件（1）在闭区间[a，b]上连续，（2）在开区间（a，b）内可导；则在（a，b）内至少存在一点？孜，使得f ′（？孜）=.下面在通过一个小题让考生更深入了解该定理，在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意x1，x2（x1≠x2），| f（x1）-f（x2）|< |x1-x2|恒成立的”只有（ ）A. f（x）=，B. f（x）=|x|，C. f（x）=2x，D. f（x）=x2. 参考答案：直接利用上面的定理可得A）通过拉格朗日中f（x）=lnx-ax2+bx值定理我们可以得到题中满足（1）在闭区间[x1，x2]上连续，（2）在开区间（x1，x2）内可导；则在（x1，x2）内至少存在一点x0，使得f ′（x0）=，即f（x）=lnx-ax2+bx图像上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）必存在“相依切线”.

三、觅“备考之道”

根据往年全国卷的分析及考试说明可知：考纲中明确提出掌握导数在函数中的应用，特别是单调性、最值等方面，因此这部分题型一般围绕着单调性而展开，主要是考查分类讨论、转化与化归、函数与方程等思想.因此我们在2019年备考时要突出对单调性的把握，同时还要对构造函数、高等数学等方面进行恰当的研究和分析，因此我们要在备考时要做好以下几个方面：

（1）明确命题规律，用整体的观念整体把握知识体系

根据高考题型的研究和分析，其实在高考中主要有以下几类题型：①利用导数研究函数的单调性、单调区间以及已知函数的单调性，确定函数中的参变量变化范围等问题；②求函数极值（点）、最值或已知极值（点）、最值求参数的取值范围；③证明不等式恒成立或已知不等式恒成立求参数的取值范围；④另外，利用导数研究三次函数，分式函数，指对函数的其它性质问题，方程根与函数零点问题，利用导数的几何意义处理曲线的切线问题；利用导数解决实际问题中的最优化问题，这些也是高考经常涉及的地方.那么，对于这些常规题型我们要让学生学会用整体的观点要将有关知识有机地串联起来，形成知识之间的有机联系，用结构性的观念整体把握，充分地利用导数这个“工具”来解决问题，让考生在学习中真正地理解和运用.

（2）用选择的方法以及思想提升灵活运用的能力

对于函数与导数的压轴类型，无论是求函数最值、极值，还是证明不等式、求参数的取值范围，往往都要用到函数的单调性，因此我们在备考的过程中要学会用选择的方法转化为函数单调性问题来处理，不管题目怎么“改头换面”，这类问题的解决以构造函数、分离参数等为途径，求导选择核心函数为突破口，准确求解核心函数（特别是二次函数）为落脚点，因此只有灵活运用和转化，才可以真正地破解这类难题.

（3）加强“抢分”意识，重视规范解答，强化数学思想

在函数与导数大题中，它具有较强的渗透力，它可和其它数学知识综合起来，比如：含参函数与方程及与不等式结合问题，与不等式结合，证明函数不等式（均构造两个函数或由函数不等式恒成立求参数的范围，函数方程结合考查讨论根的个数，由根的分布求参数范围（构造新函数），极值点偏移问题，中值定理及凸凹性所暗含的双变量不等式证明问题，导数符号判断、导数零点存在性处理、缩小变量研究范围、借助重要函数不等式放缩函数等等.

但这些都凸显考查数学的思想方法，因此我们不能惧怕这些类型，还要加强“抢分”意识，求导，求单调区间，注重它们的规范解答，这样才可以容易拿多点分数.另外在平时复习备考中要强化思想方法的运用，如分类讨论、转化化归思想、函数与方程思想、数形结合等思想常蕴含于这些题目中，我们在平时解题中注重方法和思路的分析，不断地在解题中渗透强化，长期不懈地加强数学思想方法的训练，这样才可以在高考中运筹帷幄于决胜之颠”，真正地达到运用自如的境界.

总之，我们要突破函数与导数这些题型，必须加强理解把握，就算题目是以“崭新”面貌出现，只不过是在其外表上面赋予一层神秘“面纱”，它们本质上只不过是源于高等数学，命题者通过初等化的处理与巧妙设计，潜移默化地在题目中渗透高等数学的一些观点与方法，比如把一些高等数学中的有关概念、运算或一些性质、定理及公式等“摇身一变”就了命题的“新题”.因此作为考生的我们根本无须害怕这些类型，因为解决它也无须掌握很多的高等数学知识，只要我们在心理上首先克服对这一类题型的“恐惧”，善于将其转化并充分利用好导数这个“工具”——单调性问题，那么我们便真正地识别转化的“玄机”，在训练的过程中多注意以上类型，分析思考时从基本方法和技巧出发，领悟解题的“本质”——构造已知条件和要求条件的关系，多角度、多方位分析和优化问题，必能一题破万题，这样才可以达到“八方联系、浑然一体，漫江碧透、魚翔浅底”的境界，从而高效地备考，最终笑傲2019年的高考.

责任编辑 徐国坚