浅谈核心素养导向下“曲边梯形的面积”的教学

甄荣

随着课程改革的不断深入，学生核心素养的培育越来越为人们所关注。提升学生的数学核心素养是高中数学教学活动的发展去向。提升数学核心素养是一个长期的、动态的、循序渐进的过程，不是一蹴而就的。作为高中一线教师，我们必须认真思考如何基于核心素养来设计和实施数学课程，深化学生的数学思维以及学生“用数学”的自觉性。本文以《曲边梯形的面积》为例，从提升学生分析力、增强学生创造力、提升学生思考力、增强学生实践力等方面阐述了对核心素养视角下高中数学教学的一些思考。

创设问题情境，提升学生的分析能力

一个好的问题情境可以开启学生对新问题的研究，促使其用数学眼光观察情境、用数学思维分析问题。《曲边梯形的面积》一课可以设计如下问题情境：小方块状的瓷砖为什么能贴出拱形建筑？让学生直观感受“曲”与“直”的矛盾，感悟数学具有现实的性质，促使学生思考，为后续教学中“以直代曲”思想的形成做好铺垫。

注重数学历史，增强学生的创造能力

陈玉婵在《如何让数学文化在中学课堂中绽放魅力》一文中提到“科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧”，让学生了解知识的产生、发展历程，可以拓宽学生的视野。在此基础上学生可以进行合理的借鉴和创新，建构新知，增强学生的创造能力。

《曲边梯形的面积》一课中设计了这样的数学史内容：一是，刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。

二是，古希腊数学家阿基米德通过计算边数倍增的圆外切和内接正多边形的周长来求圆周率的近似值，阿基米德用到了迭代算法和两侧数值逼近的概念，称得上是“计算数学”的鼻祖。

讲割圆术，让学生初步体会“以直代曲”和“逼近”的思想。介绍圆内接和外切正多边形逼近圆的过程，为后面提出“不足近似”和“过剩近似”埋下伏笔。

立足学生思维，提升学生的思考能力

教师要站在高观点下进行数学教学设计，关注学生思维发展的特征，激发学生认知上的不平衡，把数学知识的建构活动不断引向深入，引导学生用数学的方法和视角分析问题，解决问题，切实提高其思考能力。

《曲边梯形的面积》一课为了帮助学生建立解决曲边梯形面积问题的基本经验，先考虑一个特殊的问题：如何求由抛物线，直线，所围成的平面图形的面积？

针对这个特例，设计了以下几个问题：

问题1 ：你打算怎样计算这个曲边图形的面积？具体怎样操作？（分割）

问题2 ：每个小曲边梯形的面积如何计算，能用什么图形代替？（以直代曲、近似代替）

问题3 ：如何得到整个曲边三角形面积的近似值？（求和）

问题4 ：直边图形的面积怎样才能越来越接近曲边三角形面积的准确值？能否得到准确值？（取极限）

问题5： 用每个小区间的右端点的函数值作为近似值计算曲边三角形的面积，结果是否一样？（“不足近似”和“过剩近似”）

问题6 ：用每个小区间的左、右端点的函数值作为近似值计算曲边三角形面积得到的结果相同，如果用每个小区间任意一点处的函数值作近似代替，是否也可以求出曲边三角形的面积，结果是否一样？（“左右夹逼”，合情推理与演绎推理）

问题7 ：回顾求这个曲边三角形面积的整个过程，你能概括出求这个曲边三角形面积的方法吗？（分割→近似代替→求和→取极限）

问题8 ：以上过程都是基于等分区间的，如果不等分区间行吗？保证什么就可以？（更深层次地理解这一算法，体会其数学本质）

问题9 ：对于一般的由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积你会求了吗？（通过从特殊到一般的推广，再一次强化求曲边梯形面积的方法和步骤。同时 的出现为后续定积分的教学做了铺垫。）

问题10： 任意曲线所围成的曲边图形的面积怎么计算？（再次经历一般化的过程）

通过对问题由浅入深的层层递进，学生的思维一直处于积极的思考状态。学生在分析问题、解决问题的过程中提升了思考能力，理解了数学本质。课堂中充分向学生渗透观察、分析、猜想、抽象、概括、歸纳、类比等各种数学思想方法，从特殊到一般，让学生的思维空间更为广阔，学生逐步自主完成数学学习过程，使得学生能够在数学活动中进行“再创造”，这都符合数学思维的建立。

关注探究活动，增强学生的实践能力

《曲边梯形的面积》一课还设计了这样两个课外探究活动：

活动1 ：尝试用“分割→近似代替→求和→取极限”的四部曲，验证球体的体积公式。

活动2 ：由抛物线，直线，所围成的平面图形的面积为，尝试编写算法求的近似值，画出程序框图，并写出相应语句。

这节课让学生经历了知识的孕育、形成、发展、运用与拓展等完整过程，让学生尝试用数学眼光观察世界、用数学思维分析世界、用数学语言表达世界。

基金项目：甘肃省教育科学“十二五”规划2015年度 “陇原名师”专项课题“基于合作的高中数学单元教学设计的实践研究”的研究成果（项目编号：GSGB[2015]MSZX139）