基于自适应阈值参数的改进各向异性扩散模型*

陈文斌，王燕玲，王 娜，刘 祎，张 权，邵燕灵

(1. 中北大学 生物医学成像与影像大数据山西省重点实验室，山西 太原 030051；2. 中北大学，理学院，山西 太原 030051)

0 引 言

数字图像在采集、传输和储存等过程中不可避免地引入了噪声，而在众多应用领域都需要清晰的图像，因此图像复原具有重要的研究意义. 目前，常用的图像去噪算法有： 小波滤波法，均值滤波法、高斯滤波法、中值滤波法、非局部均值滤波法、以及基于偏微分方程的图像滤波法等. 在这些去噪算法中，基于偏微分方程(PDE)的图像去噪算法是最具代表性的一类方法，如Koenderink[1]提出的热扩散方程和Perona和Malik[2]提出的各向异性扩散PM模型等. 热扩散方程是一个各向同性扩散方程，去噪的同时会引起图像边缘的模糊. 为了克服这个缺点，1990年Perona和Malik提出了各向异性扩散PM模型，其利用图像的局部特征(梯度模)来决定扩散系数，去噪的同时很好地保持了边缘. 但由于PM模型的解是不稳定的，会产生阶梯效应，所以许多正则化技术被应用于PM模型中. 如Catte等[3]提出了一个正则化PM模型，其解是连续依赖原始图像的，它用高斯平滑后的图像梯度模来决定扩散系数，去噪效果明显优于原始PM模型. 但PM模型以及它的正则化模型都只受图像梯度模的控制，然而图像梯度模不能代表全部的图像局部特征，所以Weickert[4]又引入了扩散张量，求解加入扩散张量的模型是一个适定问题. Gliboa等[5]提出了前向后向自适应扩散模型，可以在平滑噪声的同时加强图像的细节特征； 后来，他们又提出了保持斜坡的复扩散模型[6]. 文献[7]提出了一个加权曲率保持PDE模型，其权重由扩散张量决定，该方法能有效地保持边缘和曲率几何结构. 文献[8]中的扩散系数含有残余局部方差和梯度模，使得对图像去噪时不仅有效地保持了边缘结构还保持了纹理和细节信息. PM模型的扩散效果主要依赖于四个参数： 迭代次数、时间步长、边缘阈值参数以及扩散系数函数，文献[9-11]等做了很多优化这些参数的工作.

二阶PM模型在去噪时会产生阶梯效应. 为了消除阶梯效应，很多学者提出了高阶PDE去噪技术[12-16]. 例如You-Kaveh[13]提出了Y-K模型，该模型在边缘切线方向和梯度方向进行不同程度的扩散，在梯度方向的扩散系数比在边缘切线方向的扩散系数小. YK的改进模型[17]中，用差分曲率和片相似模构造了新的扩散系数，去噪时不仅有效地减轻了斑点效应和阶梯效应，还很好地保持了边缘和细节信息. 另外一个经典的四阶模型是Lundervold和Tai[14]提出的LLT模型. 四阶模型去除高频噪声的速率比二阶的快，这意味着四阶模型会过度平滑阶跃性边缘，除此之外，还会在结果图像中产生斑点噪声. 为了让PM模型在去噪的同时能够保持图像的边缘等细节信息，许多技术被运用于PM模型中，如梯度矢量流(GVF)[18]、改进的梯度矢量流(IGVF)[19].

鉴于在去噪的同时，原始PM模型虽然能较好地保持图像边缘，但不能保持细节信息，还产生阶梯效应等问题，本文构造了一个结合局部方差[20]和梯度模的新扩散系数，梯度模将边缘和平坦区域以及细节区域区分，局部方差又将细节区域与平坦区域区分. 另外，本文所提模型用自适应的边缘阈值参数代替了PM模型中的常数边缘阈值参数[21]，对图像的不同区域进行不同强度的扩散. 在边缘区域，差分曲率[22]大，边缘阈值参数小，扩散强度小，有利于保持边缘； 在独立噪声点和平坦区域，差分曲率小，边缘阈值参数大，扩散强度大，有利于去噪.

1 各向异性扩散PM模型及其改进模型

1.1 热扩散方程

传统的热扩散方程是图像去噪的有效工具，去噪后的结果图像相当于原始噪声图像和高斯核做卷积，扩散强度在图像的每个方向是一样的，没有考虑图像的局部特征. 热扩散方程为

(1)

式中：I0是原始噪声图像，div是散度算子，是梯度算子，c(常数)是扩散系数.

热扩散方程有一些缺陷：

1)图像的边缘会模糊；

2)图像的边缘总是移动，偏离“自然”位置.

1.2 各向异性扩散PM模型及其改进模型

由于热扩散方程对边缘和非边缘区域进行同样强度的平滑，不利于边缘的保持. 在1990年，Perona和Malik提出了各向异性扩散PM模型，PM算法为

(2)

式中： 扩散系数c(|I|)是关于|I|的单调递减非负函数. Perona和Malik给定了两种常用的扩散系数为

c(|I|)

(3)

c(|I|)

(4)

式中：k是边缘阈值参数，控制扩散的程度.

PM模型中的扩散系数c是自适应的，在边缘处，梯度模|I|大，c比较小，有利于保持边缘； 在非边缘区域处，梯度模|I|小，c比较大，有利于去除噪声.

虽然PM模型在去噪的同时能保持边缘信息，但是由于PM模型是病态的，扩散过程不稳定，会产生阶梯效应.

为了消除PM模型的病态性质，Catte提出了PM模型的正则化模型[3]，即在每一次迭代开始前先用一个高斯波器处理噪声图像. Catte模型为

(5)

式中：Gσ*I表示用一个标准差为σ的高斯核和图像I做卷积. 这个方法可以有效地去除噪声，但是选择合适的σ比较困难.

后来，Chao和Tsai提出了一个可以保持细节的改进各向异性扩散模型，记为CTPM模型. 该模型的扩散系数结合了局部方差和梯度模，可以在去噪的同时较好地保持边缘和细节信息. CTPM模型为

(6)

(7)

2 本文改进的各向异性扩散模型

2.1 差分曲率

文献[21]提出的差分曲率可以较好地区分边缘、平坦区域以及独立噪声，其表达式为

D=‖Iηη|-|Iξξ‖,

(8)

式中：Iηη和Iξξ分别表示图像在梯度方向和边缘切线方向的二阶导数. 梯度和边缘切线方向的方向向量分别为

(9)

从而

Iη=I·η=

(10)

(11)

同理可得

(12)

其中

Ix=I(x+1,y)-I(x,y),

Iy=I(x,y+1)-I(x,y),

Ixx=I(x+1,y)+I(x-1,y)-2·I(x,y),

Iyy=I(x,y+1)+I(x,y-1)-2·I(x,y),

在边缘处，|Iηη|较大，|Iξξ|较小，所以差分曲率D较大； 在平坦区域处，|Iηη|和|Iξξ|都较小，所以差分曲率D较小； 在独立噪声点处，|Iηη|和|Iξξ|都较大，但是几乎相等，所以差分曲率D较小. 因此根据差分曲率可以很好地在噪声和平坦区域中将边缘提取出来.

2.2 自适应阈值函数k′

传统的PM算法，在迭代过程中使用的边缘阈值参数k是同一个常数(一般是直接给定，或者通过噪声估计，如Canny算子). 我们知道参数k决定了结果图像的平滑程度，当k过小会导致降噪不充分，结果图像中仍有未去除的噪声； 当k较大会造成图像的过平滑，边缘以及细节信息得不到保护，事实上根据经验很难选取一个合适的k使算法对图像降噪的同时充分保护边缘以及细节等信息. 所以，在扩散系数中设置一个自适应的k是很有必要的. 在对图像滤波过程中，我们的目的是在去噪的同时能保持边缘和细节信息，也就是在平坦区域扩散系数能自动地增大，在边缘和细节区域扩散系数能自动地减小.

差分曲率可以较好地判断像素点是在平坦区域、边缘区域还是孤立噪声点，所以可以用差分曲率来自适应地控制k，从而对不同区域的像素点采用不同的边缘阈值参数k′，实行不同强度的扩散，本文提出的自适应边缘阈值参数k′的表达式为

(13)

式中：k0是给定的常数，大于传统PM模型中的k，D是归一化差分曲率. 具体分析如下：

在第一次迭代开始之前，给定k0，在扩散过程中根据图像的局部特征，k′会自适应地调整，在平坦区域和独立噪声点处，边缘阈值参数k′较传统PM模型的边缘阈值参数k大，增大了扩散强度，从而可以更好地去除噪声； 在边缘区域，边缘阈值参数k′较传统PM模型的边缘阈值参数小，降低了扩散强度，从而可以更好地保持边缘等细节.

2.3 新扩散系数

传统的PM模型利用梯度模来区分边缘区域和平坦区域以及细节区域，但是梯度模却不能有效地区分细节区域和平坦区域，去噪时丢失了一部分细节信息，本文中引用文献[19]中的局部方差来有效地区分细节区域和平坦区域，使得在去噪的同时，不仅可以保持图像的边缘信息而且可以保持图像的细节信息.

为了简单起见，把改进的PM模型简记为IPM模型. IPM模型为

(14)

首先，定义一个大小为3×3的模板，则It(x,y)的局部方差为

(15)

归一化局部方差为

(16)

下面通过实验验证IPM模型的效果.

3 实验结果与分析

为了验证本文提出的IPM算法的有效性和可行性，以大小为512×512添加高斯噪声的Lena图像和barbara图像为例，进行实验，并将IPM算法与PM算法和CTPM算法进行对比分析.图1(a) 为Lena原图像，图1(b)为barbara原图像.

图 1 原图图像Fig.1 Original image

图2(a)和图2(b)为含噪标准差为10的Lena和barbara图像，图2(c)和图2(d)为含噪标准差为15的Lena和barbara图像. 本文及对比算法均在Windows 7旗舰版32位操作系统，Intel® Pentium® CPU G2020 @ 2.90 GHz，内存为4.00 GB的电脑上进行，编程使用的工具为MATLABR2012a.

图 2 噪声图像Fig.2 Noise image

图 3 为PM算法、CTPM算法和本文IPM算法处理含噪标准差为10的Lena图像和barbara图像的对比结果，其中图3(a)～图3(c)为三种算法对Lena图像的处理结果图，图3(d)～图3(f)为三种算法对barbara图像的处理结果图.

图 3 噪声标准差为10的各去噪算法对比图Fig.3 Comparison of denoising algorithms for Lena image and barbara image (σ=10)

图 4 对应图3中各子图的放大图Fig.4 Correspond to the enlargement of each subgraph in Fig.3

图 4 表示图3中各算法对应的局部区域放大图像，由图4(a)可知，PM算法在降噪的时候会保持边缘不被破坏，但帽檐位置的褶皱(细节信息)会变模糊； 由图4(b) 可知，CTPM算法在扩散系数中加入了梯度模和局部方差，实验证明CTPM算法性能优于PM算法，保持边缘的同时能够有效地保持细节信息，帽檐位置处的褶皱比较明显，但仍残留部分噪声. 从图4(c)可知，IPM算法相比PM算法和CTPM算法不仅能够有效地去除图像中含有的噪声，还可以很好地保持图像边缘以及帽檐等细节信息.

图 5 为PM算法、CTPM算法和本文IPM算法处理含噪标准差为15的Lena图像和barbara图像的对比结果.

图 5 噪声标准差为15的各去噪算法对比图Fig.5 Comparison of denoising algorithms for Lena image and barbara image at σ=15

其中图5(a)～图5(c)为三种算法对Lena图像的处理结果图，图5(d)～图5(f)为三种算法对barbara图像的处理结果图；图6表示图5中各算法对应的局部区域放大图像. 从图6(d)可明显看到，PM算法在去噪时会产生阶梯效应，形成虚假的边缘，视觉效果不佳. 从图6(e)中看到，CTPM算法相比PM算法而言，虽然适当地减轻了阶梯效应，也保持了边缘，但是去噪效果不彻底，仍有部分噪声残留. 从图6(c)中看到，IPM算法不仅没有产生明显的阶梯效应，在很好地滤掉噪声的同时，不仅保持了图像的边缘，还保持了细节信息. 因此，IPM算法相比PM算法和CTPM算法在噪声去除、减轻阶梯效应和保持边缘、细节信息方面等都有了较大的提升.

图 6 对应图5中各子图的放大图Fig.6 Correspond to the enlargement of each subgraph in Fig.5

从上述分析可以看出，本文提出算法的去噪效果，即噪声去除能力与边缘、细节保持能力都明显优于其他两种去噪算法，为了对算法进行客观、定量的评价，本文采用较常用的信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)、峰值信噪比(Peak Signal-to-Noise Ratio, PSNR)和平均结构相似度(Mean Structural Similarity Index，MSSIM)对各去噪算法进行定量的描述. 这些参数的定义为

1) 信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)

式中：I是结果图像；Id是原始无噪图像.

SNR越高，结果图像的质量越好，噪声越少.2) 峰值信噪比(Peak Signal-to-Noise Ratio, PSNR)

PSNR在一定程度上反映了图像处理前后数据变化情况的统计平均，其值越大，图像失真越少.

3) 平均结构相似度(Mean Structural Similarity Index，MSSIM)

SSIM(x,y)=

由表 1 分析可知，IPM去噪算法的信噪比(SNR)、峰值信噪比(PSNR)都高于其他对比算法，所以本文算法去噪效果较好，由于其平均结构相似度(MSSIM)也高于其他对比算法，可知本文算法处理后的结果图更接近真实图像，有利于边缘和细节等的保持. 通过主观视觉观察和质量评价参数的定量评估，都验证了本文算法的可行性和优越性.

表 1 各降噪算法的客观评价Tab.1 Objective assessment of various denoising algorithms

4 结束语

传统PM算法的扩散系数仅依赖于图像的梯度模，但梯度模不能很好地区分细节区域和平坦区域，在去噪的过程中会丢失细节信息，所以本文在传统PM算法中加入了局部方差来区分细节区域和平坦区域，在去噪的过程中不仅能保持边缘信息还能保持细节信息. 传统PM模型中，整个扩散过程的边缘阈值参数是同一个固定常数，即对整个图像进行的是同等程度的扩散，这显然不太合理，人们希望，在平坦区域选择比较大的，扩散强度大一些，有利于去噪，在边缘细节区域，扩散强度比较小一些，有利于保持边缘和细节. 因此本文提出了一种自适应边缘阈值参数，通过差分曲率来自适应地调节边缘阈值参数，在边缘处，差分曲率大，边缘阈值参数小，扩散强度小，有利于保持边缘，在平坦区域和独立噪声点处，差分曲率小，边缘阈值参数大，扩散强度大，有利于去噪. 实验结果表明，本文的改进IPM模型在去噪的同时，消除了阶梯效应，能很好地保持边缘和细节等信息，无论在主观视觉效果还是定量评价参数方面都是可行的.