超音速偏航流作用下功能梯度材料板的振动与屈曲*

吴 迪，王 熙，黄小林，张 伟

(桂林电子科技大学 建筑与交通工程学院，广西 桂林 541004)

0 引 言

功能梯度材料(简称FGM)问世以后，关于功能梯度材料板振动和屈曲特性的研究一直为人们所关注. 其中，文献[1]对热荷载作用下功能梯度板的后屈曲自由振动进行了研究，结果表明，当温度升高时，FGM板的自由振动在屈曲前后呈现出增加和减小两种不同的状态. 文献[2]根据汉密尔顿原理建立了热环境下FGM板的运动方程，分析了FGM板的振动和屈曲特性. 文献[3]基于一阶剪切变形理论研究了热环境下FGM板的非线性振动与屈曲，结果表明，外部荷载达到临界荷载时，FGM产生分叉屈曲. 文献[4]研究了边界条件、热环境和材料组分指数等因素对FGM梁非线性振动和后屈曲性的影响. 文献[5]通过对热环境下功能梯度材料板后屈曲振动分析后指出，随着温度的升高，板的自振频率在屈曲前逐渐减小，屈曲后逐渐增大.

迄今为止，讨论热荷载对板结构自由振动和屈曲影响的文献较多，而讨论航空航天工程中飞行器壁板受高速气流和热环境影响的文献较少，且大都集中于各向同性板和复合材料层合板[6-8]. 因此，本文基于复合材料薄板理论和考虑偏角影响的气动压力一阶活塞理论，建立热环境下超音速偏航飞行的FGM板的运动方程，用Galerkin积分法求解，并通过参数分析讨论气流马赫数、气流偏角、热环境温度等因素对功能梯度材料板自由振动和屈曲特性的影响.

1 基本方法及求解过程

设长为a，宽为b，厚度为h的FGM薄板受超音速气流作用. FGM板由金属和陶瓷两种材料组成，金属材料由底部至顶部逐渐减少，而陶瓷材料逐渐增加，其弹性模量E、热胀系数α，密度ρ和热传导系数κ等物性参数可以表示为[9]

式中： 下标(U,L)表示FGM板的上下表面；N为材料组分指数； 弹性模量和线膨胀系数随着环境温度的变化而变化[10].

P=P0(P-1T-1+1+P1T+P2T2+P3T3).

(2)

(3)

假定坐标原点位于中面角点，则W为z方向位移，引入应力函数F，且F与面内力的关系可以表示为

(4)

基于复合材料薄板理论，可导出功能梯度薄板在气动压力和热环境作用下的运动方程为

L11(W)+L12(F)-L13(NT)-L14(MT)+

(5)

L21(F)-L22(W)-L23(NT)=0,

(6)

式中： 变量顶部的圆点表示对时间的偏导，Lij()为高阶线性偏微分算子，具体见文献[11]. 与气动压力有关的三个参数定义为

(7)

根据文献[12]，式(5)和(6)中的热荷载可表示为

(8)

式中： ΔT=T(z)-T0本文取T0=300 K，T(z)为温度场沿板厚度方向的分布函数，考虑均匀温度场时，则T为常量.Ax,Ay,Axy的定义见文献[11,13].

设运动方程(5)～(6)的解由两部分叠加

(9)

(10)

L21(F*)-L22(W*)=0.

(11)

静力方程组的形式解可假设为

(12)

式中：Xm,Ym,Φm,ψm为梁振动本征函数，即

Xm(x)=coshαmx-cosαmx-

γm(sinhαmx-sinαmx),

(13a)

Yn(y)=coshαny-cosαny-

γn(sinhαny-sinαny),

(13b)

Φm(x)=Am(coshβmx-cosβmx)+

Bmsinhβmx+sinβmx,

(13c)

Ψn(x)=An(coshβny-cosβny)+

Bnsinhβny+sinβny,

(13d)

式中： 常系数Ai,Bi,βi,αj,γj由板的边界条件确定，具体数值可参见文献[14].

同时，将热弯矩也展开为

(14)

附加动挠度和应力函数应满足下列动力方程组

(15)

(16)

设运动方程组解的形式为

将(17a)和(17b)代入运动方程组(15)～(16)，在两个方程的两边分别同时乘Xi(x)Yj(y),Φi(x)Ψj(y)进行Galerkin积分，同时将系数fmn(t)用wmn(t)表达，可得到下面关于wmn(t)的二阶线性常

微分方程组

(18)

式中：M,C,K为板的广义质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵； {w(t)}=[w11(t),w12(t),…]T. 令{w(t)}={a}eωt，代入式(18)，因为{a}=[a11,a12,…]T不全为零，为使方程存在非零解，必有

det(ω2[M]+ω[C]+[K])=0.

(19)

由式(19)可求得各模态(m,n)的自振频率ωmn. 当最小自振频率ω11为零时，对应的温度和气流速度即为屈曲临界温度和屈曲气流速度.

2 比较算例

图 1 将本文计算的四边简支FGM板屈曲前后的固有频率与文献[1]中的有限元结果进行了对比，FGM板的材料自下而上由Ti-6Al-4V向Aluminum oxide逐步变化. Ti-6Al-4V和Aluminum oxide物性参数随温度变化的相关参数具体取值与文献[15]一致，如表 1 所示. 其中，板的边长与厚度分别为a=b=0.3 m，边厚比a/h=100; 分别取材料组分指数N=0 和2 000两种情况进行分析，结果表明，本文与文献[1]的结果比较接近.

图 1 各向同性薄板屈曲前后自振频率Ω*比较Fig.1 Comparisons of natural frequencies Ω* of the pre- and post-buckled isotropic thin plates表 1 Aluminum oxide和Ti-6Al-4V材料特性系数[15]Tab.1 Aluminum oxide and Ti-6Al-4V material characteristic coefficient

P0P-1P1P2P3Aluminum oxideE/Pa349.55×1090-3.853×10-44.027×10-7-1.673×10-10α/K-16.826 9×10-601.838×10-400Ti-6Al-4VE/Pa122.56×1090-4.586×10-400α/K-17.5788×10-606.638×10-4-3.147×10-60

3 参数分析

讨论由两组不同的金属/陶瓷材料复合而成的功能梯度材料薄板，一组记为ZrO2/Ti-6Al-4V，另一组记为Si3N4/SUS304. ZrO2, Ti-6Al-4V, Si3N4和 SUS304的密度分别为3 000, 4 429, 2 370 和8166 kg/m3. 泊松比v均取0.28，材料的弹性模量和线膨胀系数随温度变化的相关参数取值与文献[15]相同，具体如表 2 所示.

表 2 陶瓷和金属的材料特性系数[15]Tab.2 Material properties of ceramic and metals

图 2 马赫数对FGM板屈曲前后自振频率Ω的影响Fig.2 Effect of mach number on the natural vibration frequency before and after buckling of FGM plate

图 4 显示了表示偏航情况下气流偏角对FGM板临界屈曲温度影响.

在M∞=1.5时，由图 4 可以看到，当气流偏角从0°变化到90°时，屈曲临界温度的变化大约分为三个过程. 在0°～30°范围内，临界屈曲温度变化很较小，30°～70°范围内,临界屈曲温度升高较快，而在70°～90°时，临界屈曲温度变化又比较小.

图 5 边厚比对FGM薄板临界屈曲温度的影响Fig.5 Effect of side-to-thickness ratio on the critical buckling temperature for FGM thin plate

4 结 论

本文基于复合材料薄板理论及气动压力的一阶活塞理论建立了热环境下FGM板的气动弹性模型，研究了FGM板在气动压力与热荷载作用下的自由振动和屈曲问题，通过参数讨论了气流马赫数M∞、气流偏角θ、材料组分指数N、边厚比及边界条件等因素对振动频率和屈曲临界温度的影响. 结果表明，FGM板的临界屈曲温度Tcr和自振频率随气流马赫数的增大而增大，随材料组分指数N的增大而减小. 气流偏角θ对屈曲临界温度的影响不可忽视，当气流偏角在某一范围内变化时，板的临界屈曲温度Tcr会发生较大的变化.