数学文化题编拟研究

李隽易

(苏州市田家炳实验高级中学 215004)

数学文化对数学教育的重要作用已经成为了普遍共识．随着各地高考和模考中渗透数学文化的试题日益增多，关于数学文化题的研究也逐渐兴起．然而目前的研究主要着眼于中、高考数学文化题的意义与分类，赏析与评价，对如何编拟数学文化题缺乏系统研究．本文致力于探讨编拟数学文化题的一般方法，为教师编写数学文化题提供参考.

1 数学文化题的含义

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出，数学文化是指“数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动”[1]．简而言之，数学文化主要包含数学精神、数学历史、数学应用、数学人文活动等方面．而数学文化题就是融入数学文化的题目，这种融入可以是显性的，也可以是隐性的.

2 数学文化题的分类

在目前的研究中，数学文化题的分类主要依据题目中数学文化的取材．并且这种分类还未达成共识. 在分析现有研究的基础上，本研究从题目编拟的需要出发，将数学文化题的取材分为两类(见图1)．一类是取材于数学名题，其中包括数学名著中的数学问题，例如“百鸡问题”、“米谷粒分”问题等；以及数学历史中的数学问题，例如角谷猜想、米勒问题等．另一类是取材于文化事物，其中包括文化符号(例如洛书、弦图、太极图)、文化物品(例如牟合方盖、鲁班锁、赵州桥)、文化事件(例如田忌赛马、“嫦娥一号”发射成功)等等．

图1 数学文化题取材分类

3 数学文化题的编拟

以下就从“源自数学名题”和“源自文化事物”两类数学文化题的编拟进行探讨.

3.1 源自数学名题的数学文化题的编拟

源自数学名题的数学文化题，最大的特征在于其具有数学问题的原型．因此，这类问题的编拟，应着眼于对原型问题的借鉴与改造．陈莎莎、汪晓勤[2]将基于数学史的数学提问策略分为七类，即再现式、情境式、条件式、结论式、对称式、链接式、自由式．整合这些提问策略，本文总结出了源自数学名题的数学文化题编拟的几种方法(见图2).

图2 源自数学名题的数学文化题编拟方法

3.1.1 再现数学名题

例1《张丘建算经》中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫，问织几何？”其意思为：“有位织女不善织布，每天织布量等额减少，工期不断推后．第一天织布5尺，最后一天织布1尺，如今花了30天全部织完，问一共织了多少尺布？”该问题的答案是 .

例2下面程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a,b分别为14, 18，则输出的a的值为 .

分析例1取自《张丘建算经》中的原题，仅仅只是对文言文进行了语言翻译，使学生能够感受“原汁原味”的数学名题．例2运用算法流程图表示“更相减损术”，将古代思想用现代数学语言进行表征，使其思想内涵得到了更为直观的体现．可见这类数学题，不论是直接使用原型问题，还是对原型问题的外部表征进行加工和改造，都再现了这些数学名题．这既有助于学生了解数学文化，又未对学生加设阅读理解障碍，不影响对学生数学知识运用的考查.

3.1.2 改编条件或目标

例3(1) 有位织女不善织布，第二天起每天织布比前一天减少0.1尺．第一天织布4尺，最后一天织布1尺，则一共织了 尺布.

(2) 有位织女不善织布，每天织布量等额减少．第一天织布5尺，最后一天织布1尺，如今花了30天全部织完，则第二天起每天织布比前一天减少 尺.

(3) 有位织女非常擅长织布，每天织布量等额增加．第一天织布5尺，如今30天总共织了9匹3丈．问最后一天织布 尺？(1匹=10丈，1丈=10尺)

(4) 有位织女每天织布量等额增加．现在只知道她第5天织布1丈3尺，第9天织布2丈1尺，总共织布4匹8丈，问一共织了 天？(1匹=10丈，1丈=10尺)

分析例3是对例1《张丘建算经》中“织女织布”问题的改编．可以看出，这类题目围绕所要考查的知识点，在原型问题的基础上对问题的已知条件或所求目标进行改编．有的仅改编题目条件，有的仅改编所求目标，有的互换(或轮换)题目的条件与目标，有的同时改编题目的条件与目标，等等.

3.1.3 结论或方法迁移

例4我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图3是一个形状不规则的封闭图形，图4是一个上底为1的梯形，且当实数t取[0,3]上的任意值时，直线y=t被图3和图4所截得的两线段长始终相等，则图3的面积为 .

图3 图4

分析例4考查对“祖暅原理”的迁移运用．可以看出，这类题目以原型问题的解决方法或者研究结论作为条件，引导学生从原型问题中提取所需的数学知识、方法，进而解决新问题，旨在考查学生的迁移能力．可以看出在前两种编拟题目的方法(即再现数学名题、改编条件或目标)中，数学文化的背景其实都不是必须的，删除了这些数学文化背景，学生可以照常做题，数学文化融入数学题的方式既可以是显性的也可以是隐性的．但是在这三种编题方法中，原型问题成为了学生不可或缺的重要借鉴对象，因此数学文化得以必然而又自然地以显性的方式融入了数学题中.

3.2 源自文化事物的数学文化题的编拟

源自文化事物的数学文化题，最大的特征在于其具有运用数学进行研究的对象．因此，这类问题的编拟应着眼于对研究对象的考察．学生将在问题解决的过程中，通过数学知识、数学方法、数学思想的运用，深刻了解所研究的对象.

以下将结合具体案例，分析源自文化事物的数学文化题.

3.2.1 源自文化符号的数学文化题的编拟

例52002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图5).

(1)如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ= .

(2) 若直角三角形中较小的锐角为30°，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是 .

(3) 若“弦图”中直角三角形的两直角边的长分别为a和b，在从图5变化到图6的过程中，可以提炼出的一个关系式为 ．(填序号)

①a>b；

②a+b>2；

③a2+b2≥2ab；

图5 图6

分析例5以“弦图”为研究对象，通过合理设问引导学生考察图形的静态性质与动态性质，并引导学生体会弦图所蕴含的数学思想．这其中涉及倍角公式、几何概型、基本不等式等多个领域的知识点.

3.2.2 源自文化物品的数学文化题的编拟

例6鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1.

(1) 现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为 ．(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)

(2) 已知单位面积油漆费用为10元，现要给鲁班锁上漆，则油漆费用为 元.

分析例6以“鲁班锁”为研究对象，通过设问引导学生运用所学几何知识考察鲁班锁这一新几何体的几何性质．这其中涉及几何体的对称性、球的表面积运算、棱柱的对角线、表面积运算等知识点.

3.2.3 源自文化事件的数学文化题的编拟

例7“嫦娥一号”卫星的运行轨道是以地球的中心F为左焦点的椭圆，测得近地点A距离地面m千米，远地点B距地面n千米，地球的半径为R千米，关于椭圆以下3种说法正确的是 ．(填序号)

①焦距为(n-m)千米；

例8如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

①a1+c1=a2+c2；

②a1-c1=a2-c2；

③c1a2>a1c2；

其中正确式子的序号是 .

分析例7和例8以“嫦娥一号”卫星发射事件为研究对象，考察不同情形中卫星运行轨道的数学性质，其中涉及椭圆焦距、轴长、离心率等知识点.

由上述分析可以看出，这类题目针对研究对象，从各个不同的知识点、不同的设问角度，提出研究问题．其目的是以文化事物为研究对象，考查学生联系所学数学知识、数学方法、数学思想研究问题的能力，也促使学生透过现象看本质，对该文化事物有着更深刻的理解．在这里文化要素必然地已显性的方式融入数学题中.

4 总结与展望

本文在整理现有“数学文化题”及分析现有“数学文化题研究”的基础上，提出了基于题目编拟的数学文化题分类方法，即分为“源自数学名题的数学文化题”以及“源自文化事物的数学文化题”．并在此基础上，给出了编拟数学文化题的几种方法．其中，针对“源自数学名题的数学文化题”的编拟，主要着眼于原型问题的借鉴与改编，主要方法有再现数学名题、改编条件或目标、结论或方法迁移；针对“源自文化事物的数学文化题”的编拟，主要着眼于对文化要素的数学考察，主要方法为针对研究对象从各个不同的知识点、不同的设问角度提出研究问题.

这些研究可为教师编写数学文化题提供借鉴，也可为教科书例习题的编写、高考题的命制提供参考.

尽管如此，数学文化题编拟的研究仍存在一些有待改进的地方.

(1) 数学文化题能否与数学开放题相结合？

我国数学开放题历经30多年的研究，有着丰富的研究成果．数学探究题在发展学生探究能力方面又有着独到的作用．那么能不能将其与数学文化题有机结合呢？在数学文化或人文要素的背景下进行数学探究，促使学生更好的体会数学人文精神和理性精神的和谐共存.

(2) 数学文化题将会对教与学产生什么影响

由上文可以看出，当数学文化以显性的方式融入数学题时会有很多冗余信息，这些冗余信息势必会对学生的学习产生影响．考察与之类似的数学应用题，研究表明，数学应用题的外部表征方式(装饰图、信息图、文字描述)将影响学生问题解决的水平[3]．其中，题目文字表述的语量、语境等指标将影响学生解决问题的时间与效果[4]．那么，与数学应用题一样，具有较多冗余信息的数学文化题，其外部表征方式是否会对学生解决数学问题的水平产生影响呢？教师的教学又需要做出哪些对应的调整呢？而这一系列的影响势必又会反过来促进数学文化题编拟的研究.