浅谈“截取法”解决周期性电磁场的多解问题

2018-11-06 12:54张树国

物理通报 2018年11期

张树国

(无锡市玉祁高级中学江苏无锡 214183)

带电粒子在周期性电磁场运动的多解性问题，学生困难在于难以画出粒子的轨迹图，不能形成运动情境，从而写不出正确的规律方程．笔者在教学中尝试用“截取法”来解决此类问题，取得了良好的教学效果，下面举例说明．

【例1】如图1(a)所示，长为L，间距为d的两金属板A，B水平放置，ab为两板的中心线，一个带电粒子以速度v0从a点水平射入，沿直线从b点射出，若将两金属板接到如图1(b)所示的交变电压上，欲使该粒子仍能从b点以速度v0射出，求：交变电压的周期T应满足什么条件？

图1 例1题图

在教学中，先引导学生在不考虑极板的长度和宽度的情况下，画出粒子从a点出发在对应的周期性电压下(周期性电场下)的多时间的轨迹图(图2).

图2 粒子多时间的轨迹图

易发现这样的时间起点不可能沿着直线从b点射出，再引导从0.25T开始画图，便可以实现粒子从b点射出，如图3所示．

图3 从0.25 T开始画图，粒子从b点射出

笔者提示，我们现在是没有任何的空间条件的制约，此题在这样的周期电压下的粒子轨迹图不该仅局限于图3吧？会有很多个这样的情况啊，便有了图4的出现．

图4 没有任何空间条件下粒子轨迹图

在教学中，让学生在现有的轨迹图中把极板的长度和宽度“补”到轨迹图4中使其满足题意要求．学生非常容易上手，也比较顺利地写出空间制约条件下对应的方程式．如下

L=nv0T(n=1,2,3，…)

学生开始虽然知道粒子做类平抛，但画图受到现有图形空间限制，很难作出符合题意的粒子运动轨迹，笔者在多次教学中尝试，先不考虑空间约束去画粒子在无穷大空间中运动轨迹，看什么样的轨迹符合题意的要求，再在现有的正确的轨迹图中(图5)去“截取”其中符合题意的图形，这样就容易写出相应的方程．笔者把这种做法称之为“截取法”．

图5 截取正确的轨迹图

【例2】如图6(a)所示，MN为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O和O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图6(b)所示.有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场.已知正离子质量为m，带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力.求：

(1)磁感应强度B0的大小；

(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值.

设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向.

图6 例2题图

应用“截取法”，先把边界条件去掉，大胆地根据力和运动的关系，作出多周期下的轨迹图，再把空间制约条件补上去(定性而已)，便能很好地突破此题的难点．

步骤1：先不考虑MN之间的空间制约，作出带电粒子在如图6(b)所示的磁场中运动的轨迹(多周期)，如图7所示.

图7 带电粒子在如图6(b)所示的磁场中运动的轨迹

步骤2：将MN两平板边界“补”上去，只需注意能满足题意要求的．不难发现有很多种可截取的情况，便出现了多解．

步骤3：学生结合轨迹图像(图8)，写出相应的关系等式．

图8 学生结合轨迹图像，写出相应的关系式

设偏转圆半径为r

d=n·4r(n=1,2,3,…)

【例3】(2014年高考江苏卷第14题)某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图9所示．装置的长为L，上下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B,方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d．装置右端有一收集板，M，N，P为板上的3点，M位于轴线OO′上，N，P分别位于下方磁场的上、下边界上．在纸面内，质量为m，电荷量为-q的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达P点．改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置．不计粒子的重力．

(1)求磁场区域的宽度h；

(2)欲使粒子到达收集板的位置从P点移到N点，求粒子入射速度的最小变化量Δv；

(3)欲使粒子到达M点，求粒子入射速度大小的可能值．

试题分析：此题的难点依旧是学生难以作出满足题目要求的轨迹图，也就难以书写出正确的几何关系方程式．

答题策略：学生可以先不考虑磁场空间的限制，根据力和运动的规律作出带电粒子在无场区和磁场区的往复性运动的轨迹图,如图10所示.