用多种方法证明循环小数0.等于1

◎戴凡浩

自学了等比数列之后，循环小数皆可以使用无限多项的等比数列之和进行表示。例如：

等式（1）中，等比数列｛0．3，0．03，0．003，……｝的公比 q为0．1，首相a1为0．3，故此等比数列的无穷多项和S求和公式为：

通过上面的方法，可以将所有的循环小数变成分数。

一．循环小数0.的分数形式

等式（3）中，等比数列｛0．9，0．09，0．009，……｝的公比 q为0．1，首相a1为0．9，故此等比数列的无穷多项和S求和公式为：

二．证明方法2：

将分数1/3分解为循环小数为：

等式（5）两边都乘以3，等式左边1/3*3，为1；等式右边，为；即为：，证明完毕。

三．证明方法3：

将分数1/9分解为循环小数为：

等式（6）两边都乘以9，等式左边1/9*9，为1；等式右边，为；即为：，证明完毕。

四．证明方法4：

等式（7）两边都乘以10，则：

等式（8）减（7），得：

五．证明方法5：

等式（9）两边都乘以0．1，则：

等式（9）减（10），得：

从而证得0．9·＝1。

六．证明方法6：

将无限多个上面的等式累加，结果为：

证明完毕。

七．证明方法7：

将无限多个上面的等式累加，结果为：

等式左边只会留下1，其余0．1、0．01、0．001等小数会与随后的相反数 -0．1、-．01、-0．001所抵消，故等式左边简化为1；而等式右边可以简化为，代入等式（18），即为：

证明完毕。

八．证明方法8：

设

等式（19）两边都除以9，则

九．证明方法9：

十．结论：