题中有真味 乃需细品评*—以一道解析几何压轴题的评析为例

江苏省苏州市田家炳实验高级中学(215004) 王 耀

在高考解析几何复习时,笔者带领学生共同分析了一道题,后查到这是2017年3月份苏锡常镇四市高三二模的试题.这道椭圆压轴题构思精巧,命制新颖,解题入口广,可以很好地考查学生解题的基本素养;作为教师,笔者发现这道试题的结论可以从特殊到一般进行本质研究,也可以对解法进行推广应用,对帮助学生提高数学运用的能力很有价值.由此,笔者将自己的一些思考整理成文,与读者交流.

1.问题呈现

图1

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)已知直线l交椭圆C于A,B两点.若直线l经过椭圆C的左焦点F,交y轴于点P,且满足.求证：λ+µ为定值.

2.解法探究

这类以椭圆与直线位置关系为背景的试题,广大学生习惯于选择通性通法—联立方程组去解决,解法自然,过程如下：

2.1 通法展示

2.2 结论推广及多解展示

评注3与证法2相比较还能发现当直线过椭圆焦点时,选择参数方程和统一定义都能得到焦半径的大小,二者实质是一致的.若直线不经过焦点时,通过证法1的思路,还可以得到如下更加一般性的结论：

结论2已知椭圆,直线l交椭圆C于A,B两点.若直线l经过x轴上的点F(t,0),t∈(-a,a),交y轴于点P,且满足,则λ+µ为定值特别地,当t=±c时,.

3.解法推广及结论展示

下面应用证法1去解决一类椭圆中系数和相关问题.

图2

结论3椭圆b＞0)与直线y=kx交椭圆于A,B两点,过点F(t,0)(-a＜t＜a)的直线AF,BF分别交椭圆于另一点C,D,若,则λ+µ为定值;特别地当t=±c时,λ+µ为定值.

证明设,则,,代入椭圆方程后化简得,即.又,那么.同理,将代入后化简可知.所以,.

评注4若点F(t,0)在椭圆外时,同样有相似的结论：

图3

结论4椭圆1(a＞b＞0)与直线y=kx交椭圆于A,B两点,过点F(t,0)(t＜-a或t＞a)的直线AF,BF分别交椭圆于另一点C,D,若,则λ+µ为定值.

结论3和4中分析的是椭圆上两个中心对称的点和x轴上一点连线的系数比例之和问题;当然,也有一类问题是关于椭圆上任一点与x轴两个对称点之间的比例系数的关系,即如下两个结论：

图4

图5

图6

4.题后启示

(1)试题评讲讲什么—讲思路谈应用

笔者根据自己的教学风格,结合自己的解题经验积累,带领学生进行解题思维研究,无疑也是一种新的教学尝试.

很多学生解题习惯于“点到即止”,题目做完很少去深入思考和体会试题考查的意图和内涵.由此可知,面对问题,教师能够认真思考问题所考查的重难点,在关注学生思维的基础上剖析解题思维的切入点,把握解题的一般性思路,并探索发散性思维,追求简捷而高效的解题方法,并能提供一系列相关问题提供学生数学运用的能力,从而可以有针对性地设计讲解内容,提高讲解实效.

(2)试题讲评评什么—评联系探本原

试题讲解目标在于让学生理解和掌握问题解决的方法,而通过有效地试题评析,可以梳理和提炼数学思想方法,才能在试卷讲评课上,使学生在知识、方法、能力等方面得到全面的提高和升华,因此,有效地发挥试题“评”的功能.

讲评之前,教师要做的重要工作就是深入了解学生的思维过程,并在此基础上充分挖掘试题中的创新生长点,例如文中评注1去探寻x1,x2之间的相互联系,评注2中利用方程的观点去分析问题,这些内容在有些试题中常被考查,是学生思维的障碍,值得与学生进行深入探讨.也通过归类设计、变式开发等手段完善讲评策略,探究解法联系,还原问题本原,从而引导学生积极、主动地矫正思维问题,深人体会数学思想方法,拓宽思维的广度,发掘思维的深度,不断完善认知结构.