数学归纳法在高中数学中的应用

江苏省海门实验学校 黄 敏

高中教育阶段的数学知识变得更加复杂、抽象，特别是证明类题目深奥难懂，证明过程也是复杂多变，可应用数学归纳法来辅助证明。数学归纳法属于证明方法的一种，一般用来证明某一给定命题在局部或整个自然数范围内成立。在高中数学中应用数学归纳法，可以把抽象、复杂的证明题变得具体与简单，帮助学生快速证明，让他们学会多角度看待问题。

一、几何命题应用数学归纳法，切实提高学生解题能力

在高中数学课堂教学中，解题是学生巩固理解和深化掌握数学知识的主要方式，他们往往会遇到一些难度系数较高的几何类问题，常规方法很难解决，这就需应用特殊至一般的解题方法来处理。对此，高中数学教师可指导学生应用数学归纳法分析和解决几何命题，先鼓励他们大胆提出猜想得出一般性结论，之后再把一般性结论应用至假设条件上，实现从特殊值内容上的论证，并检验特殊性结论是否成立，切实提高学生的解题能力。

例如：有n个半圆的圆心在同一条直线m上，其中这些半圆两两相交，而且都位于直线m的同一侧，那么这些交点能够将半圆划分成多少段圆弧？解析：假设这些交点能够把半圆最多相互划分成f（n）段圆弧，采用从特殊至一般的解题模式，逐步深入进行解析。第一种情况：如果n=2，那么两个半圆有一个交点，可以把圆弧分成4段，即为f（2）=4=22。第二种情况：如果n=4，那么一共有4个半圆，它们有6个交点，能够把圆弧划分成16段，即为f（4）=16=42。以此为基础，大胆猜想n个半圆能够将圆弧划分成f（n）=n2段。通过以上猜想和论证，学生能够清晰发现：当满足题目条件时的n个半圆，会被这些两两相交半圆的交点划分成n2段圆弧。

上述案例，在解决该类问题时找出几何元素十分关键，明确几何数量所增加的内容，从数据处理和几何图形两个方面切入，探究其中包含的规律，应用数学归纳法解决问题。将归纳法与几何图形相结合，让学生在几何图形阅读与审视的过程中，学会筛选有效信息，并把信息与思想相对接，达成思想与模型的融合，真正在训练中感受归纳思想的应用与特点。

二、证明问题运用数学归纳法，着重指导学生解题方法

不等式属于高中数学知识体系的重要部分，在证明有关不等式问题时，教师可引导学生运用数学归纳法辅助证明，借此优化整个证明过程，真正提升他们的解题速度与准确性。高中生在证明不等式问题时，假如进行直接证明，他们往往面临较大的证明难度。要想提高学生的解题效率，高中数学教师需要从数学归纳法切入，灵活利用不等式中的可加性和传递性，假设各类特征或关系，着重指导他们的解题方法，使其快速证明问题。

比如：已知n是正整数，当n个整数a1，a2，a3……an的乘积为1，尝试证明a1+a2+a3+……+an≥n。解析：如果n=1，能够得出a1=1，那么命题成立。假设：n的值是k时命题仍然成立，假如k个正数的相乘结果是1，那么a1+a2+……+ak≥k。当n的值是k+1时，根据题意如果k+1个正数相同，那么它们都是1，和是k+1，能够证明命题成立。假如k+1个正数不完全相等，其中一定有小于1或大于1的数，这与a1×a2×a3×……×ak+1=1相矛盾。能够假设a1＞1，a2＜1，把a1×a2的积当成一个数，利用数学归纳法中的结论，得出a1+a2+……+ak+ak+1-1≥k，推理得到：a1+a2+……+ak+ak+1≥k+1，即为当n=k+1时，假设成立。

如此，在处理证明类问题时，学生应当具备开放性的视野，不能局限于纯粹的计算内容上，要结合数学概念，从假设出发推至目标，最终借助数学归纳法的优势顺利解题。思想与方法是有限的，但是题目却是无限的，在解答的过程中，我们要引领学生融会贯通、举一反三，巧妙灵活地应用思想来诊断题目中的问题，提升审视高度。

三、论证问题采用数学归纳法，帮助学生梳理解题思路

在学习高中数学知识过程中，论证类题目主要考查学生的逻辑思维能力，教师在指导学生对题目进行论证时，可以引领他们采用数学归纳法，使其梳理出清晰的解题思路。在处理论证类问题过程中，数学归纳法主要体现在解题步骤分析方面，以此确保数学归纳法的合理应用。在高中数学试题中，论证类问题一般有两种，其一是能够运用数学归纳法先假设后证明，其二是无法使用数学归纳法，教师需有目的性地进行科学引导。

例如：在数列{an}中各项都不是0，其中前n项的和是Sn，a1=1，且Sn=×an×an+1，那么数列{an}的通项公式是什么？解析：根据题目中的条件，能够轻松推理出a2=2，a3=3，a4=4……an=n的结论。当n=1时，a1=1成立。此时，能够假设n的值是m，a1=1与Sm=m（m+1）成立，即为当m的值是n+1时，Sm=×am×am+1成立，amannN进一步推断出m+1=2+1。因此，n=在 ∈ ＊的情况下均能够判定成立。此外，在论证该类题目过程中，假如题目中给出的已知条件不够多，教师需先帮助学生确定整体解题思路，明确题目中的数列是等比数列还是等差数列，让他们在前提不变的情况下梳理出清晰的解题思路，从而求出正确答案。

在上述案例中，教师在指导学生解析论证类问题过程中，采用数学归纳法，能够帮助学生整理出正确的解题思路，避免错误解题思路的出现，引领他们分析和探索问题的本质。

在高中数学教学活动中应用数学归纳法，教师需坚持开放性的教学原则，从实际知识特点和内容切入，结合学生的逻辑推理能力和学习意识，全面优化教学策略，引导他们恰当采用数学归纳法解决几何问题、证明问题和论证问题等。而教师在课前更要全面而深入地研究高考题目，精选、精练、精讲每道题目，并启发学生进行归纳和总结，最终达成授之以渔的效果。