椭圆的离心率教学随想

冯刚 张瑞

（江苏省奔牛高级中学，江苏 常州）

高中数学课标修订组给出了数学六大核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。发展学生的核心素养已经成为当下的热点，作为一线教师，笔者更关心的是如何将发展学生核心素养的理念落实到课堂？它与已有的教学理念是否矛盾？本文是笔者结合《椭圆的离心率》的教学随想。

一、课程实施流程设想

《普通高中数学课程标准》强调“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。”

结合范式教学理论，设置如下教学流程:

1.设置承上启下的引例，感受椭圆的实际背景

引例（课本例2），如图1，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心（简称“地心”）F2为一个焦点的椭圆。已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439km，远地点B（离地面最远的点）距地面2384km，AB是椭圆的长轴，地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程。

图1

分析：选择本例作为开堂引例，一可以回顾上一节课的知识；二是让学生进一步感受圆锥曲线的实际背景。激发学生的爱国热情和探究数学知识的欲望，认识到数学不是“纸上谈兵”。

2.动手操作，生成概念

发放课前准备好的硬纸板、图钉和细绳，每个小组一份，等学生完成之后上台展示作品，学生在对比中感受到不同的小组画出的椭圆大小、圆扁程度不一样。

问：我们如何从代数的角度来刻画椭圆的这种“圆扁程度”呢？

（1）动手操作，分析规律

探究（1）将细绳的两端点固定在焦点处，用铅笔笔尖拉紧绳子，在平面上画一个椭圆，然后调整绳子的长度（分别加长、缩短），观察椭圆的“扁”的程度的变化规律；探究（2）细绳的长度固定不变，将焦距分别增大和缩小，观察椭圆的“扁”的程度的变化规律。

两个探究活动由小组协作画图分析，汇报结果。培养学生的动手实践动能、探究分析能力、合作交流能力。

（2）展示成果，生成概念。通过探索，揭示刻画椭圆“圆扁程度”的数学概念离心率，“离心率”这个名词非常形象：离心率越大，焦点距离中心越远，椭圆就越扁。

3.精选例题，渗透数学思想

解法1 如图2，由题意得直线y=2x与椭圆的交点的坐标为A（c，2c），又 A 在椭圆上，∴1，分子、分母分别除以

图2

解法2 如图2，由题意得直线y=2x与椭圆的交点坐标为A（c，2c），∴AF1=2c，又 AF1+AF2=2a，F1F2=2c∴AF2=2a-2c，由 AF1⊥从而有2a-2c=

分析：本例揭示了求离心率的一般步骤：（1）找到a，b，c的关系式。（2）利用b2=a2-c2消去b。（3）化为关于e的式子并解答。这样的例题安排比直接给出a，b，c的关系式求离心率更有吸引力，可以渗透解析几何的数形结合思想、方程思想，同时还可以培养学生的计算能力，计算也是解析几何的一大难点，有点繁琐，但有技巧。

二、结语

对于椭圆的离心率这样的一个内容，很多时候被上成了单纯的习题课，教师的教学功利性太强，学生缺少探究知识的过程。核心素养不仅仅是知识技能，更重要的是情感、态度、知识、技能的综合表现。这一超越知识和技能的内涵，可以矫正过去重知识、轻能力、忽略情感态度价值观的教育偏失，更加完善和系统地反映教育目标和素质教育理念。由此我们启示，新理念与已有的理念并不是矛盾的，而应该在继承的基础上更加重视学生的情感态度的培养。