外啮合齿轮泵随机内泄漏模型的研究

陈 科， 钱林峰， 於孝朋， 郑红梅， 方 旭

（合肥工业大学 机械工程学院，合肥230009）

1 引 言

齿轮泵具有结构简单、制造方便、抗污染能力强和自吸性能好等优点，在机床行业、航空工业及工程机械中应用十分广泛［1］。但长期以来，严重的高压泄漏问题使得中高压和高压齿轮泵难以得到广泛应用。国内外学者对齿轮泵的流量模型进行了大量研究。D pper等［2］设计出运用在精密仪器上的微型齿轮泵，可以定量输送粘性油液。Manring等［3］建立了异齿数外啮合齿轮泵的流量脉动模型，并为齿轮泵的小型化和降低流量脉动提供思路。Huang等［4］推导出精确的流量公式，并研究了外啮合直齿轮泵的流量特性。甘学辉等［5］对齿轮泵的性能进行了较详细的研究，推导出了齿轮泵的流量脉动表达式，并为降低齿轮泵流量脉动提出改善建议；同时推导出了齿轮泵的轴向及径向泄漏的计算表达式。罗骥等［6］对内啮合齿轮泵进行研究，建立了内啮合齿轮泵内泄漏模型，并进行了实验验证。赵虹辉［7］重点研究了微型外啮合齿轮泵的公差参数对流量的影响，综合运用了正交试验、计算机仿真以及遗传算法，对齿轮参数公差进行优化设计，并给出了较优的齿轮参数的加工公差，这对提高企业生产合格率具有重要指导意义。

上述关于齿轮泵的研究都是将参量作为确定值。但在齿轮泵生产制造过程中和实际工作时，由于齿轮泵设计、装配公差和轴套的浮动导致其轴向间隙和径向间隙不是确定值，液压油温度、工作压力和输入转速这些外部因素也不是确定值。齿轮泵的传统研究属于理想状态下的研究，得出的结论与工程实际有一定差距。采用随机不确定性理论建立的齿轮泵随机内泄漏模型可以更加接近工程实际。不确定性理论已经广泛运用于工程实际，但在齿轮泵领域的运用并不多见［8，9］。本文将运用随机不确定理论研究齿轮泵内泄漏模型。将齿轮泵输送液压油的过程视为随机过程，将齿轮泵的轴向间隙尺寸、径向间隙尺寸、液压油温度、工作压力和输入转速作为随机变量，运用随机因子法和代数综合法建立齿轮泵随机内泄漏模型，进而获得在不确定性下齿轮泵的容积效率。

2 齿轮泵随机内泄漏模型的建立

齿轮泵的容积损失主要由以下四个部分组成［10］：

（1）轴向间隙泄漏Δqs

齿轮泵轴向间隙的油液泄漏是二元缝隙流动［13］。其泄漏流量由文献［13］可得

式中

式中θh为高压腔包角，2θb为过渡区包角，s为轴向间隙，Δp为齿轮泵进出口压强差，Rz为齿轮轴半径，Ri为齿根圆半径，ρ为液压油密度，ω为齿轮角速度，μ为油液的动力粘度。

液压油的粘度μ随温度和压强的变化关系式为［11］

式中ρ为液压油密度，γ50为油液在50℃、1个大气压时的运动粘度，α为油液的粘压系数，λ为油液的粘温系数。

（2）径向间隙泄漏Δqδ

由于齿顶与壳体的径向间隙很小，这里油液的泄漏可看成层流流动。因此可采用两平行平板间隙流动理论来计算齿顶与壳体的泄漏［11］。

式中 B为齿宽，Δp为高低压腔压差，Se为齿顶厚，δ为齿顶与壳体的径向间隙，Z0为过渡区齿数，Ra为齿顶圆半径，n为齿轮转速。

（3）齿面啮合处泄漏Δqn

在齿轮传动过程中，有一部分油液从齿面接触处泄漏。一般泄漏量不大，约占总泄漏量的5%［14］。本文取Δqn＝5%。

（4）液体压缩时的弹性损失Δqe

齿轮泵在工作过程中，油液随齿槽从低压腔旋转到高压腔，油液在高压下会有弹性损失。低压齿轮泵一般可忽略不计，但对于高压齿轮泵，这部分损失不可忽视，由文献［11］可得

式中Eo为液体体积的弹性模量，Δp为高低压腔压差，Vj为齿间容积，Z为齿轮齿数，n为齿轮泵转速。

液压油体积弹性模量Eo模型为［11］

式中 A＝－6.076×10－19，B1＝6.034×10－10，C＝8.829×10－5，p为油压。

综上，齿轮泵的内泄漏模型Δq为

则齿轮泵的容积效率hv为

式中qt＝nqv／1000为理论流量qv为齿轮泵理论排量。

以上属于齿轮泵传统内泄漏模型，即把各参量视为确定量。但在工程实际中，各参量并不是确定值。所以，现将不确定性理论引入齿轮泵传统内泄漏模型中进行研究。

随机因子法指将函数表达式中随机参量表示为确定量与随机因子乘积形式［15］。随机因子的期望为1，变异系数为均方差除以期望值，即i＝σ／E。

现将齿轮泵的轴向间隙s、径向间隙δ、液压油温度t、工作压力p和输入转速n这些参量作为随机变量。由于以上变量产生的环境和机理不同，为了便于简化运算，各变量间可近似看作不相关［15］。运用随机因子法表达如下：

式中 上标－为未考虑随机不确定性时的量，上标～为随机因子，后面公式类似。

以上5个参量的期望和均方差为

代数综合法基本思想为，先将函数表达式中已知期望和均方差两个变量的数字特征运算结果作为新变量的期望和均方差，新变量与第三变量的数字特征运算结果做为又一个新变量的期望和均方差，以此类推，直至所有变量综合为一个变量，其期望和均方差就是函数的数字特征［16］。

根据随机因子法和代数综合法对齿轮泵传统内泄漏模型进行运算，可获得齿轮泵随机内泄漏模型。

令M1＝t－t0，则

令M2＝eλM1，对M2进行二阶泰勒展开求期望，一阶泰勒展开求均方差：

令M3＝p－p0，则

令M4＝eαM1×10－5，对M4进行二阶泰勒展开求期望，一阶泰勒展开求均方差：

液压油动力粘度μ的期望和均方差的求解：μ＝ργ50M4／M2

令E（Y1）＝E（）＝E（）3＋3E（）σ2（s）

令 M5＝（θh＋θb）s3／［12μln（Ri／Rz）］

令 Δqj1＝

令E（Y3）＝E（）＝E（）3＋3E（）σ2（）

由ω＝ （π／30）n可得

Δqj2＝M6ω3，则Δqj2的期望与方差为

由Δqs＝40000×（Δqj1＋Δqj2）可得端面间隙的总泄漏量Δqs的期望和均方差为

齿轮泵径向间隙泄漏Δqδ的期望和均方差推导过程如下，

令N1＝，则有

液体压缩时弹性损失Δqe的期望和均方差推导过程如下：

令L1＝105（1＋10－5p）＝105＋p，则有

令L2＝Ap2＋B1p＋C，L3＝Ap2令Eo＝L1／L2，则

令L4＝2pVjZ n，则

由Δqe＝1000×L4／Eo可得Δqe的期望和均方差为

综上，齿轮泵随机内泄漏模型为

进而获得在不确定性下齿轮泵的容积效率为

3 数值算例

3.1 数值计算参数

运用上文传统内泄漏模型和随机内泄漏模型分别对文献［11］的齿轮泵CBZb2050进行数值计算。

液压油 YB-N46参量数值为α＝1／432，λ＝1／23.4，!50＝27.51cst，ρ＝900kg／m3，t＝50℃。

齿轮泵CBZb2050的参量数值为

3.2 数值计算结果

文献［12］通过实验获得CBZb2050泵在额定工况下的容积效率，现对传统模型进行数值计算，其结果列入表1和表2。由表1和表2可知，CBZb2050齿轮泵在额定转速n＝2250r／min、额定压力P＝25MPa时，实验测得容积效率为95.1%，由齿轮泵传统内泄漏模型计算得到容积效率为96.7%。为了与这些结果进行比较，按第2节建立的随机内泄漏模型对容积效率进行数值计算，通过编制MATLAB程序求解容积效率的数字特征。

轴向间隙、径向间隙、液压油温度、工作压力和输入转速表达为含随机因子的形式，其变异系数与随机因子变异系数相同。

选取变异系数范围为0.01～0.4。在额定工况（n＝2250r／min，P＝25MPa），齿轮泵在不同变异系数下的容积效率期望E（hv）、均方差σ（hv）及变异系数ihv列入表3。变异系数ihv用来表征容积效率的分散性大小。由表3可以看出，

（1）由齿轮泵随机内泄漏模型获得容积效率的期望为93.0%～96.7%，与文献［12］获得的容积效率95.1%相比差异不大，表明所建立的随机内泄漏模型正确。

（2）随机变量的变异系数为0.28时，与文献［12］获得的容积效率吻合，表明在此实验条件下，随机变量的变异系数为0.28。

（3）齿轮泵容积效率期望E（hv）随参量变异系数增大而降低，均方差σ（hv）随参量变异系数增大而增大。

图1为齿轮泵容积效率变异系数随参量变异系数的变化规律。可以看出，齿轮泵容积效率变异系数随参量变异系数增大而增大。

在额定工况下（n＝2250r／min，P＝25MPa），齿轮泵在不同变异系数下，端面间隙的泄漏量Δqs的 期望E（Δqs）、径向间隙的泄漏量Δqδ的期望E（Δqδ）、液 体 压 缩 时 的 弹 性 损 失 Δqe的 期 望E（Δqe）以及容积效率的期望E（hv）列入表4。由表4可知，

表1 CBZb2050泵在额定转速下的容积效率实验测量值Tab.1 Test results of volumetric efficiency of CBZb2050pumps under rated speed

表2 CBZb2050泵在额定压力下的容积效率实验测量值Tab.2 Test results of volumetric efficiency of CBZb2050pumps under rated pressure

（1）当随机变量变异系数等于0.28时（即在此实验条件下），计算得到端面间隙泄漏量Δqs的期望E（Δqs）＝3.0274（L／min），径向间隙泄漏量Δqδ的期望E（Δqδ）＝1.8013（L／min），液体压缩弹性损失Δqe的期望E（Δqe）＝0.10068（L／min），分别占总泄漏量的58.5%，34.8%和1.9%。

（2）变异系数对端面泄漏量影响最大，对径向泄漏量影响次之，对液体压缩时的弹性损失影响最小。

表3 CBZb2050泵在不同变异系数下的容积效率数字特征Tab.3 Volume efficiency’s numeric characteristics of CBZb2050pump under different coefficient of variations

图1 齿轮泵容积效率变异系数随参量变异系数变化规律Fig.1 Variation about volumetric efficiency’s coefficient of variation of gear pump with parameters’coefficient of variation

（3）端面泄漏量最大，径向泄漏量次之，液体压缩时的弹性损失量最小。

在额定转速下（n＝2250r／min），齿轮泵在不同压力下的容积效率期望E（hv）、均方差σ（hv）及变异系数列入表5。由表5可知，

（1）工作压力对随机变量的变异系数有影响，即在不同工作压力下，随机变量的变异系数不同。

（2）相对于传统模型容积效率的计算结果hv，随机流量模型计算结果E（hv）更加逼近实验结果，即随机模型比传统模型更符合工程实际。

表4 在不同变异系数下各容积损失和容积效率的期望值Tab.4 Expectation of volume loss and volumetric efficiency under different coefficient of variations

表5 齿轮泵CBZb2050在额定转速下的变异系数和容积效率的期望和均方差Tab.5 Gear pump CBZb2050parameters’coefficient of variation and expectation，mean square deviation of volume efficiency under rated speed

在额定压力下（P＝25MPa），齿轮泵在不同转速下的容积效率期望E（hv）、均方差σ（hv）及变异系数列入表6。由表6可知，

（1）输入转速对随机变量的变异系数有影响，即在不同转速下，随机变量的变异系数不同。

（2）相对于传统模型容积效率的计算结果hv，随机流量模型计算结果E（hv）更逼近实验结果，即随机模型比传统模型更符合工程实际。

表6 齿轮泵CBZb2050在额定压力下的变异系数和容积效率的期望和均方差Tab.6 Gear pump CBZb2050parameters’coefficient of variation and expectation，mean square deviation of volume efficiency under rated pressure

4 结 论

（1）将不确定性理论引入齿轮泵传统内泄漏模型中进行研究，获得了齿轮泵随机内泄漏模型。计算得到容积效率的期望为93.0%～96.7%，与文献［12］容积效率95.1%相比差异不大，表明所建立的随机内泄漏模型的正确性；随机变量的变异系数为0.28时，与文献［12］实验获得的容积效率吻合，表明齿轮泵工作时随机变量的变异系数为0.28。

（2）与传统模型相比，随机内泄漏模型能够获得在不同变异系数下齿轮泵容积效率期望与均方差的变化规律；所得到的容积效率期望更符合实验数据，建立的随机内泄漏模型比传统模型更优越。

（3）变异系数对端面泄漏量影响最大，对径向泄漏量影响次之，对液体压缩时的弹性损失量影响最小。

（4）工作压力和输入转速对随机变量的变异系数有影响，且随机模型比传统模型更符合工程实际。