基于多凸优化的稀疏线性阵列综合方法

祁峥东，卢阳沂，孔 玥 ，刘 晨

(1. 中国船舶重工集团公司第七二四研究所，南京 211153；2. 南京大学电子科学与工程学院，南京 210046 )

0 引 言

阵列天线方向图综合的研究目标是使天线阵列结构简化，同时发挥波束易扫描、低副瓣电平及高方向性等性能优点，因此在声呐、卫星通信、雷达、超声成像等工程领域中有着广泛的应用。目前, 阵列天线综合技术已成为现代电子领域特别是雷达设计中一个十分重要的研究方向。[1-3]阵列综合属于非线性问题。在早期研究方法中，均匀间隔阵列由于加工简单便于实际实现、数学模型中变量少、易于计算等特点而得到了广泛的应用。但是，它存在以下明显缺点: (1)当阵元间距大于波长的一半时，扫描时波束栅瓣容易出现，而阵元间距排布小于半波长时会导致阵元间严重互耦现象; (2)若通过增加更多的阵元来提高角度分辨率， 则需要增大阵列孔径， 这会显著增加天线系统馈电网络的复杂度和成本，并且扩大尺寸需要预留更大的天线安装体积，不利于实际操作。

为了克服上述缺点，一般采用非等间距单元排布的稀疏阵 (Sparse array)，将天线阵列以较少的单元数进行稀疏布置。稀疏阵在实际应用中往往使得波束方向图的副瓣电平增高。因此，稀疏阵列综合的目的是在满足理想方向图辐射特性 (主瓣宽度、副瓣电平等) 的性能参数下求解获得阵列的最优激励权值向量以及阵列最大稀疏化的单元分布。然而，稀疏阵列综合属于多变量的非线性优化问题，处理过程中难度极大。传统的全局优化算法如模拟退火法(SA)[4]、蚁群优化算法(ACO)[5]、遗传算法(GA)[6]、粒子群算法(PSO)[7]等常应用于求解稀疏阵列的综合问题。这类算法的流程均是先设计约束目标函数使得方向图峰值旁瓣电平(Peak Sidelobe Level, PSL)最小化，然后对目标函数进行全局寻优处理，从而寻找满足辐射性能条件的激励权值和阵元分布。由于这些全局优化算法都是基于随机性的自然算法，当处理大型阵列综合目标时，优化过程中处理的问题复杂度急剧升高，导致此类算法的收敛速度慢甚至无法收敛，并容易陷入局部最优(全局次优)结果。

近年来，凸优化算法在方向图综合领域得到广泛应用。赋形方向图的综合通常是一个非凸优化问题，但在一些特殊情况下此方法可以将非凸问题转换成凸优化问题，如文献[8-10]。但是，此类应用存在固定缺陷，即天线布局必须满足阵元激励共轭对称分布以及辐射方向图必须对称，导致方向图无法任意赋形(如余割平方、精确的主瓣指向和零陷等)，极大限制了在实际中的应用。本文对经典凸优化方法进行改进，引入双变量的多凸优化方法，通过迭代的多凸模型来近似求解关于控制主瓣波纹宽度的非凸问题。该多凸优化方法可以实现控制主瓣宽度和副瓣中零陷位置以及深度的波束赋形。

最近，稀疏信号重构理论开始在阵列信号处理中得到了应用，为阵列综合提供了一种新的思路。由于稀疏阵列的阵元在空间上是离散和稀疏分布的，因此稀疏阵列综合在本质上等效于稀疏信号重构问题。文献[8]利用基于迭代加权L1范数最小化的稀疏信号重构方法来求解阵列的综合问题，在每次迭代中利用开源凸优化软件得出用于下次迭代的阵列加权向量，当满足迭代终止条件时由阵列加权向量的非零值确定阵列的阵元位置及其激励。此类方法利用稀疏阵列天线的稀疏物理特性，能以较少的迭代次数获得稀疏程度更高的天线阵列。

本文将多凸优化方法与基于L1范数最小化的稀疏线性阵列综合方法相结合，提高方向图辐射性能(Narrow Half-Power Beamwidth (HPBW)，3 dB波束宽度;最大副瓣值)的同时有效减少阵列中单元个数，从而简化实馈电网络。

1 算法介绍

假设所有2N个各向同性初始阵元都均匀分布在一条直线上， 各阵元等间距排布，间距为Δd， 则其远场方向图可以表示为

(1)

1.1 多凸优化方法

方向图综合的目的是寻找一组最优的单元激励从而提高方向图的辐射性能(例如较窄的主瓣宽度、较低的副瓣)。该优化问题可表示为

sup||w(u)a|2-d(u)|≤ε

(2a)

|w(u)a|≤ρ(u)，u∈SL

(2b)

方向图|F(u)|2的主瓣部分(SB)尽可能地接近理想波形d(u)，d(u)∈R+，使得|F(u)|2与d(u)之间的距离ε尽可能地缩小。副瓣部分(SB)电平的最大值低于ρ(u)。这里，本文将文献[8-10]中主瓣增益的最大化问题转化为尽可能接近期望方向图d(u)的逼近问题。式(2b)为凸优化问题，可以用凸优化工具包求得。式(2a)为控制主瓣宽度的非凸函数。本文对经典凸优化方法进行改进延伸，引入双变量的多凸优化方法，通过迭代的多凸模型来近似求解关于控制主瓣宽度的非凸问题，具体如下：

|(wal)Hwar-d|≤ε，al=ar

(3a)

|war|≤ρ

(3b)

|car-d|≤ε，al=ar

(4)

该迭代算法的初始值选择关系到是否陷入局部最优以及整个迭代过程的收敛速度，这里选择基于IFT[11]方法所得出的激励作为初始值。在使用IFT过程中，可将约束条件参数ε及ρ做适当放宽。

1.2 基于迭代加权L1范数的稀疏阵列综合

为了使阵列加权向量a尽可能稀疏,即a非零元素尽可能少, 在该假设条件下稀疏优化问题可以由下式来描述：

min||a||0

(5)

由于式(5)的L0范数属于NP问题，当问题规模中等的情况下便已经难以求解。针对此问题，提出了基于迭代加权L1范数的稀疏阵列综合方法，目标函数如下：

min||a||1

(6)

目标函数L1范数系最接近稀疏优化问题L0范数的凸函数。参考文献[8]中的应用，求解过程中可以在每一次的迭代中给出阵列激励的封闭解。基于迭代加权L1范数稀疏阵列综合方法，则所求激励向量在第k+1次迭代过程中的约束条件为

(7)

为防止迭代过程中式(7)为0, 参数μ取值大于0，则对方向图建立的凸优化问题可以表示为

(8)

与文献[8-10]相比，本文可以实现阵列天线的精确波束扫描和零陷控制。

2 算法应用

为了验证基于本文方法的优势，在本节仿真中设计了利用NUIFT以及NUIFT-SA方法和多凸优化方法进行平面阵列综合的对比实验。以下仿真实验均使用配置为 Intel®CoreTMi5-6500T处理器、主频为 3.4 GHz、内存为12 GB的计算机。下文中所有仿真中μ均取值为0.01。

例1仿真参数设置如下：平面阵列横向长度为 249.46λ，阵元间距dx=0.6949λ，综合前的阵元总数为 360, HPBW设为0.4°。 如图1所示，本文介绍的多凸优化算法得出最终的副瓣电平为-42.3 dB，比文献[12]降低了约7.35 dB。天线尺寸为194.6λ，Ne(天线单元个数)为265个。各单元激励如图2，相位值各单元相同，均为0。与文献[12]对比，本文中的天线尺寸以及单元个数方法分别减少了22%和44%。如图1中显示， 3 dB波束宽度为[-0.1828,0.1828]。与文献算例中的[-0.2,0.2]相比，本算例中的波束宽度更窄。利用文献[13]中的计算公式，本例中的方向性系数(Directivity)为27.72 dB，无论从方向图性能提高还是天线优化结果均可以表现本文算法的优势。

图1 低副瓣优化效果图

图2 阵列优化后的幅度分布图

实际应用中，单元随机损坏情况下，天线激励得出的方向图性能急剧下降[14]。该情况下，优化算法利用余下单元快速重新计算单元激励从而恢复方向图性能。本例中，随机假设265单元中的[3、6、9、15、27、32、35、37、39、44、46、48、49、76、123、125、165、171、187、208、224、226、228、236、261、264]损坏。损坏单元约占总数的10%。利用剩余单元原有激励值得出副瓣电平上升到-28.62 dB。本文算法利用剩余单元计算新的激励权值(用时16 s)，得出图3中的归一化方向图，HPBW满足0.4°，最终的副瓣电平为33.18 dB，与阵元损坏后的方向图副瓣相比降低了4.57 dB。

例2为扩展算法的应用背景，区别于文献[8-10], 本例中的仿真涉及不对称的零陷控制。初始平面阵列横向长度为 349.46λ，阵元间距dx=0.9761λ，

图3 低副瓣优化效果图

综合前的阵元总数为359, 主瓣宽度设为[-0.036，0.036]。利用本文介绍的多凸优化算法得出最终的副瓣电平为-34.99 dB，归一化方向图如图4所示。

图4 低副瓣优化效果图

与文献[12]对比，本例中副瓣电平降低了约2.76 dB。综合后的阵列位置、幅度的优化结果如图5所示，天线尺寸为266.49λ，Ne为169个，各单元激励如图5，相位值各单元相同，均为0。与文献[12]对比，本文中的天线尺寸以及单元个数方法分别减少了23.74%和31.58%。零陷控制为Null=-55.56 dB，位于[-76.7°,-74.4°]和[14.1°,15.9°]位置，比文献[12]中零陷降低3.57 dB。运算中，方向图均匀取样3 601个点。

例3本文算法应用于大型线性阵列天线，并与文献[15]中的仿真结果进行全面比较。初始阵列尺寸设置为190、220、 250、275、310和320λ，相对应的初始单元分别设为241、251、281、285、341 和 331。每个天线仿真中，单元距离均大于0.94λ，主瓣宽度设为[-0.36，0. 36]。表1给出了与文献[15]仿真结果的对比，最大副瓣电平降低了0.24～3.29 dB不等，天线尺寸及单元数量分别减少了2.1%～48.1%和66.6%～

图5 阵列优化后的幅度分布图

78.9%。图6为对应不同初始天线尺寸(单元个数)的收敛情况。在大型线性阵列的模拟仿真中，本文算法可以在11次迭代内收敛，具有很强的实时计算能力。

表1 本文算法与文献[15]中的NUIT的仿真结果对比

图6 算法在不同初始天线尺寸下的收敛情况

这里需强调，以上例1～3所有最终仿真结果相对应的单元最小间距均接近于1个波长，栅瓣未出现的同时相互耦合效应很小。

3 结束语

与传统优化算法相比，本文提出的基于多凸优化算法的稀疏线性阵列综合方法具有4个优点：(1)根据多凸算法仿真结果，阵列天线在满足相同的方向图

性能的同时具有更少的单元数；(2)与传统全局优化算法或NUIFT算法相比, 多凸算法无需控制变量，鲁棒性极强；(3)本文单元布局均为事先固定位置，有利于实际加工；(4)该算法收敛速度快，有利于实时处理方向图综合问题。本文提出的多凸优化方法还适用于扫描低副瓣笔形波束与和差波束综合等领域。