夯实建模过程 提升思维品质

顾丽英

[摘 要]在数学学习过程中，如何夯实建模过程，真正落实学生思维的深刻性、广阔性、敏捷性、灵活性、批判性和独创性等的培养尤为重要。教师可通过剖析本质、拓展领域、大胆猜测、反思质疑、个性创造、创设环境等方式，夯实建模全過程，以全面提升学生的思维品质。

[关键词]建模过程;思维品质;数学思维

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）02-0043-03

张奠宙教授指出：“模型是指研究事物的有关性质的一种模拟物，数学模型则是那些利用数学语言来模拟现实的模型。”模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。小学数学学习的过程就是数学建模的过程，在这个过程中，教师不仅要引导学生完整构建知识结构，还要培养学生的数学思维能力。思维品质是评价和衡量学生思维能力优劣的重要标志，因此在数学学习过程中，如何夯实建模过程，真正落实学生思维的深刻性、广阔性、敏捷性、灵活性、批判性和独创性等的培养尤为重要。

一、剖析内在本质，使思维走向深刻

数学思维的深刻性是指深入钻研和思考问题，善于从复杂的问题中把握它的本质，能够有效分析问题的主要特征，正确认识与揭示知识之间的联系与转化规律。教学中，教师如果能够引导学生剖析数学模型的内在本质，就能使学生的思维走向深刻。

例如，苏教版教材三年级下册“有趣的乘法计算”一课中，教师引导学生运用观察、比较的方法发现隐藏在“两位数乘11”计算中的规律并用自己的语言描述规律，即“积个位上的数与原来两位数个位上的数一样;积百位上的数，与原来两位数十位上的数一样;积十位上的数等于原来两位数个位和十位上的数的和”。这段话就是“两位数乘11”的规律模型，虽然学生的语言表述比较冗长，但是已经全部表述清楚规律。数学模型就是借助数学的语言讲述现实世界的故事。为了让学生有效理解这个规律模型，教师还可引导学生优化表述方式，即“两头一拉，中间一加，满十进一”。研究到此结束似乎也是可以的。不过，徐利治教授曾指出：“透视本质的能力是构成创造力的一个因素。”这里，思维的深刻性表现在能深入地钻研与思考问题，善于从复杂的事物或问题中把握它的本质。那么，两位数与11相乘为什么会有这样的规律呢？这个数学模型背后的本质是什么？教师可以“24乘11”为例，追问三个问题：

问题1：个位上的数怎么会和原来两位数个位上的数一样呢？

问题2：积百位上的数又怎么会和原来两位数十位上的数一样呢？

问题3：积十位上的数怎么会等于原来两位数个位和十位上数的和呢？

（引导学生结合图1中竖式说一说积中的4、6、2分别是怎么得来的）

在三个问题的引导下，学生触摸到了这个规律模型的内在本质，而在解答疑问的过程中，随着数学思维模型本质原因的显现，学生思维的深刻性也得到了很大的提升。

二、拓展应用领域，使思维走向广阔

思维的广阔性表现在能多方位、多角度地去思考问题，善于发现事物间的联系，从而找出多种解决问题的办法，并能把这些解法推广到类似问题的解决中去。要使学生的思维逐渐走向广阔，建模过程中教师可以适时拓展已有数学模型的相关领域，以使学生建立的数学模型领域不断延伸、完善。

例如，苏教版教材六年级下册“面积的变化”的教学中，当学生通过测量、计算得出“长方形按3[∶]1的比例放大，面积比是9[∶]1”后，教师适时质疑：“长方形放大后有这样的规律，那么正方形、三角形、圆放大后有没有这样的规律呢？”如此，将研究领域扩充到正方形、三角形、圆等平面图形。学生通过测量、计算、比较得出这些平面图形按照一定的比例放大后，面积比的后项都是1，面积比的前项是长度比的前项的平方。“是不是所有的平面图形都有这样的规律呢？”教师的第二次质疑，又将规律模型的研究领域延伸到了整个平面图形领域。经过两次质疑，学生的思维逐步走向广阔。在课尾，教师除了引导学生总结探究数学模型中的数学思维方法以外，还可来一次更高层次的拓展，如“长方体、正方体等按比例放大后，体积比和长度比会有什么关系？”这样的拓展，一下子使学生建立的规律模型的研究领域从二维走向了三维，课堂也成为开放的课堂。此时，学生的思维具备了无限的广阔性。

三、大胆猜测，使思维走向敏捷

直觉思维是以已有的知识、经验和技能为基础，通过观察、联想、类比、归纳、猜测之后对所研究的事物做出一种比较迅速的、直接的综合判断，它不受固定的逻辑约束，往往是一种潜意识的反应。建模过程中如果能恰当借助学生的直觉，鼓励学生大胆猜测，可使学生的思维更加敏捷，进而突破常规思路，建立、完善数学模型。

例如，苏教版教材五年级下册“和与积的奇偶性”的教学中，当学生举例“任意选两个不是0的自然数，求出它们的和”时，教师可选择学生的例子进行板书，具体如下：

45+5=50     36+25=61    251+134=385   2+6=8

76+22=98     85+4=89    16+31=47      151+67=218

在此基础上，引导学生根据和的奇偶性进行分类。（如图2）

[45+5=50

2+6=8

76+22=98

151+67=218][和是偶数][36+25=61

251+134=385

85+4=89

16+31=47][和是奇数]

学生对于数与算式是非常敏感的，教师可鼓励学生大胆猜测，得出：

奇数+偶数=奇数    偶数+偶数=偶数    奇数+奇数=偶数

接下来，就是对这一猜测的论证。通过论证，得出这些猜测完全正确，是正确的数学模型。有了这样的经历，学生对自己的直觉更加坚信。在接下来学习“积的奇偶性”时，学生就能自主地提出猜想：

“乘数都是奇数，积也是奇数。”

“乘数都是偶数，积也是偶数。”

“乘数中只要有一个是奇数，积就是奇数。”

不仅如此，学生还能自己运用前面和的奇偶性以及举例验证的方法，对自己的猜测进行论证。

学生的数学研究是需要猜测的。在这个过程中，我们可以看到学生的猜想欲望一旦被激发出来，是完全可以成为学习数学、建立数学模型的正能量的。这样的建模过程也为学生的思维走向敏捷奠定了坚实的基础。

四、鼓励反思质疑，使思维走向批判

思维的批判性来自学生对思维活动各环节、各方面的调整和校正，即自我意识。这种自我意识的“调整”“校正”又来自学生对问题本质的认识。只有深刻地认识、周密地思考，才能全面正确地做出判断。因此在建模过程中，我们要鼓励学生大胆质疑，而举反例是一个很有效的方法。

例如，苏教版教材五年级上册“钉子板上的多边形”的教学中，当学生经过实验、研究，得出“多边形内只有1枚钉子，它的面积与它边上的钉子数之间的关系是S=n÷2（S表示面积，n表示边上的钉子数）”时，教師追问：“是不是所有的多边形中都有这样的规律呢？”“你能举出反例吗？”在提问的基础上指导学生用举反例的方法来对已经建立的数学模型进行质疑，学生一下子有了思考方向。学生会举出如图3这样的反例。

这个四边形的面积是6平方厘米，四边形边上的钉子数是10，S=n÷2，10 ÷2=5，显然用我们找到的这个规律模型解决是不对的。引发学生对规律模型和“反例”的反思。经过争论，学生得出了结论：规律模型的运用是有前提的，即“多边形内部只有一个钉子”，而这个“反例”中多边形内部有两个钉子。显然这个反例不成立。虽然通过举反例得出原来的规律模型是正确的，但是，学生经历了质疑模型的过程后，能深刻地体会到发现的数学规律并不一定都是正确的，需要反复质疑与推敲，也就是学习数学需要有批判精神。在接下来的教学中，每探究出一个规律模型，教师都可以提醒学生找一找有没有反例。在这样一次次的探究、质疑中，学生不仅完整建立了钉子板上多边形的面积与边上的钉子数之间的规律模型，更重要的是培养了大胆质疑的精神，学生思维的批判性也得到了质的飞跃。

五、激发个性创造，使思维走向创新

思维的独创性是指思考、解决问题时，不仅善于求同，而且善于求异，更善于独立思考、勇于创新。数学教学中，教师要善于为学生创设构建数学模型的机会，在有计划的训练中，使学生的思维逐步走向创新。

例如，苏教版教材四年级上册“简单的周期”的教学中，学生通过排一排、画一画、圈一圈等发现了“按周期排列的物体总是一组一组地出现，而至少出现两组物体才能发现规律”，且列举了很多生活中周期排列的现象：彩旗、彩灯、护栏的排列;星期一、二、三、四、五、六、日;春夏秋冬……在此基础上，教师可以创设一个创造周期现象的环节，由此点燃学生的思维火花。在这样的氛围中，学生可以创造出很多类型的周期现象。如：

图形类：

△○□△○□△○□……

△△○□△△○□△△○□……

△△○□□△△○□□△△○□□……

声音类：

咯滴咯滴咯滴咯滴……

噜啦啦噜啦啦噜啦啦……

叮咚叮咚叮咚……

动作类：

举左手、举右手;举左手、举右手;举左手、举右手……

点头、转身、转身;点头、转身、转身;点头、转身、转身……

这样，学生在寻找到周期模型后，能够用各种方式创造出富有个性的周期现象，一方面说明学生对周期模型的构建方法已经完全掌握;另一方面说明学生思维的创新性也得到了有效发挥与提升。

六、创设应用环境，使思维走向灵活

客观事物是发展变化的，这就要求人们用变化、发展的观点去认识和解决问题。数学思维灵活性表现在善于发现新的因素，在思维受阻时能及时改变原定策略，及时修正思考路线，从而探索出解决问题的有效途径。数学教学中，教师要善于创设多种数学模型的应用环境，注重启发学生多角度思考问题，鼓励学生积极联想，寻求灵活的解决方法。

例如，苏教版教材三年级上册“间隔排列”的教学中，当学生运用圈一圈的方法以及“一一对应”的数学思想发现了间隔排列的规律模型后，教师可适时创设规律模型的应用情境，如将兔子数量提高到20只，当兔子与蘑菇一一间隔排列时，蘑菇会有几个？30只兔子呢？50只兔子呢？还可以将手帕的数量改变为20块、40块、100块……在变化的情境中，使学生对首尾不同、首尾相同的一一间隔排列的规律模型的理解更加深刻。接着，可以设计这样的数学模型的应用情境：如果把□和○一个隔着一个地排成一行，□有10个，○可能有几个？这里就需要学生从刚才发现的规律模型出发，多角度、全方位地去思考问题的解决方案。具体如下：

□○□○□○□○□○□○□○□○□○□○

○□○□○□○□○□○□○□○□○□○□

□○□○□○□○□○□○□○□○□○□

○□○□○□○□○□○□○□○□○□○□○

在这样的情境中，学生不得不灵活地去思考解决问题的方案：虽然都是10个□，但是由于每个方案中第一个图形可以是□，也可以是○，且每一个方案中的首尾图形可以都是□，也可以都是○。全面的思考，使学生很快地找到了完整的解决方案。在全面、灵活地利用规律模型解决问题的过程中，学生的思维走向了灵活。

总之，思维品质的提升，应该渗透在数学建模的全过程。教学中，教师要通过剖析本质、拓展领域、大胆猜测、反思质疑、个性创造、创设环境等方式，夯实建模全过程，从而全面提升学生的思维品质。

（责编 黄春香）