小学数学“图形认识”教学的目标立意与实施策略

[摘 要]“图形认识”是小学数学“图形与几何”领域的内容之一，是提升学生空间观念，促进儿童由形象认知向抽象认识的思维发展的重要载体。教学中立足对“形”的整体认识，以丰富素材感知，多维思路分析，聚类、分类抽象等策略，将有助于学生把握“形”的直观、要素及特征，形成认识与研究的一般方式，发展数学思维。

[关键词]图形认识;结构教学;聚类分析;分类甄别

“图形认识”属于“图形与几何”领域。从学生的认知过程及思维方式看，图形认识实质是一个概念形成的过程。学生通过对学习与生活场景中具体可感的实际物体的认识，聚焦本质属性，认知逐层上升与抽象，以达到对图形的整体、结构认识和把握，建立相关图形的概念模型。

一、“图形认识”的学科育人立意

图形认识的教学要关注学生“认”“辨”“识”“用”的过程，借助体验与认识过程，形成相应的观察、研究方法，发展空间观念，提升数学思维能力。所谓空间观念，是在空间知觉的基础上形成的，主要表现在：“指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的描述画出图形等。”图形的认识，学生不单单是“认识”，更是在认识的过程中经历“认”“辨”“识”“用”的过程，在对丰富的感性材料观察、分析与概括中，展开数学抽象，实现对图形的数学化理解，沟通不同图形间联系，发展学生的空间观念。

（一）丰富感知，形成结构整体

丰富的素材感知是沟通儿童认知与生活现实的桥梁与基础，孩子在对各种学习材料的观察、操作、研究分析中，借助多感观协同，有助于提升对简单几何体和平面图形的基本特征的结构认识。直接的空间感知经验，推动儿童由形象思维，逐级提升，向抽象思维过渡。纵观整个小学阶段，学生对图形的认知过程，经历了从直观认识到要素认识，再到特征认识的过程，形成了一个有机的结构整体。通过对“认识过程”的体验与理解，不仅认识了图形，更帮助学生形成对一类图形的认识视角、内容、研究方式的结构化认知，促进学生学会用整体、联系的认知方式，分析图形，形成自我认识结构。

（二）有序思维，促进能力发展

学生在整体认知的不断反复和推进中，同步伴随着思维的有序和递进过程，教师需要借助图形的认识过程，帮助学生在具体的情境中识别“图形”，建立类别意识，引导学生学会抽象图形的本质属性，识别特征要素，明确研究内容，进而在“认识”中提高思维品质。据此，具体的图形认识，将是一个螺旋上升，逐步内化与比较联系的过程，教师要借助生活经验及抽象认识过程，引领学生“辨”“识”中聚相同，比不同，聚焦本质属性，帮助学生内化“形认识”的形成过程，获得完整体验和经验，从而引导学生有意识地建立相关研究模型的思维方式，增强他们自主学习的探究能力。

（三）累积经验，发展应用意识

发展空间观念与思维能力，图形认识的教学，借助“认”的过程，将不断帮助与启发儿童形成自我认知的应用意识，即有意识利用图形概念解释生活中的現象与问题;认识到现实生活中存在大量的与图形有关的问题，可以用数学的方法解决。事实上，学生数学思维的发展，离不开“数学化”的过程，儿童认识图形的过程，将与其个性语言表达，思维内省建构关联，特别是将有效提升数学认识与研究的“经验”，形成对现实生活的数学认知思维方式，在“用”的过程中，实现语言与思维的协同发展。

二、图形认识的内容视角

空间观念是几何形体根据其形状、大小和互相之间的位置关系而在人们大脑中积累而成的一种表象，这种表象具有直觉性和概括性，它是将具体感知和抽象概念连接起来的阶梯和纽带。只有清晰地掌握各种几何图形的特征，才能正确地计算物体的面积、表面积和体积，这就是空间观念的初步建立。有了基础的空间观念，才能在此之上建立起点、线、面这样的几何概念，才能进一步沟通这些概念间的区别和联系。可见，必要的空间观念的积累，将逐步上升从而成为空间想象力，这是后续学习的基础。

基于学生的年龄特征和认知能力发展，对图形的认知应该经历一个从外部到内在、从直观到本质的过程。因此，我们将学生对图形的认识结构的目标递进设定为三个维度：图形直观认识、图形要素认识、图形特征认识。

直观认识主要是指学生在低年级阶段对图形的一个初步和整体的感知，如长长方方的是长方体，方方正正的是正方体，是形成的一种对图形最直观的外部特点的认识。

要素认识主要指对构成图形的边和角的认识，引导学生能从边和角的角度来认识和判断图形，并建立这些要素和图形整体之间的联系。

特征认识主要指从三年级开始的，对各种类型图形的本质特征的认识。其核心任务就是帮助学生从要素的角度以及位置关系的角度，观察和发现这些图形不同于其他图形的特殊性，从而掌握它们的本质特征，形成对图形内在关系的清晰认识。

[维度 年级 内容 递进目标 直观认识 一年级上册 长方体、正方体、圆柱

和球的直观认识 1.整体感知长方体、正方体、圆柱和球等各种立体图形的形状，能识别这些形体，形成初步表象

2. 初步感知平面形体和曲面形体的区别 一年级下册 长方形、正方形、圆、三角形和平行四边形的直观认识 1.能在长方体、正方体、圆柱这些立体图形上，找到长方形、正方形、圆、三角形等平面图形

2.对长方形、正方形、圆、三角形和平行四边形等平面图形进行整体感知，形成初步的表象

3.初步感知直边图形和曲边图形的区别 要素认识 二年级上册 平行四边形的认识及多边形的认识 1.初步认识平行四边形，逐步丰富对多边形认识，形成初步表象

2.体会多边形的边的条数和名称之间的联系

3.初步体验平面图形中边的要素的特征 二年级下册 角和直角的认识 1.初步直观认识角，知道角的各部分名称，建立角的表象

2.明确角有大小，掌握角的大小的比较方法

3.能区分直角、锐角和钝角，知道这三种角的基本特点

4.会用不同的符号来标注角和直角 特征认识 三年级上册 长方形和正方形的特征认识 1.在低年级直观认识的基础上，通过大量的材料感知，发现并了解长方形和正方形的本质特征，进一步认识长方形和正方形

2.沟通长方形和正方形之间的联系和区别 四年级上册 两直线位置关系

平行和相交 1.结合生活情境，了解同一平面上两条直线之间的位置存在平行和相交（包括垂直）两种关系

2.认识平行线和垂线，知道点到直线的距离

3. 能利用辅助工具画平行线和垂线，并确定和测量点到直线的距离 四年级下册 三角形、平行四边形和梯形的特征认识 1.在动手操作的过程中发现和了解三角形、平行四边形和梯形的本质特征，进一步认识三角形、平行四边形和梯形

2.认识三角形、平行四边形和梯形的高，能测量或绘制平行四边形和梯形的高 五年级下册 圆的特征认识 1.在大量感性材料的基础上感悟、认识圆的本质特征，理解圆心和半径的作用

2.掌握圆各部分的名称，会用字母表示圆心、半径

3.理解并掌握在同圆（或等圆）中半径的特点 六年级上册 长方体和正方体的特征认识 1. 通过观察、操作等活动，进一步认识长方体和正方体的本质特征，理解它们之间的关系

2.认识长方体和正方体的面、棱、顶点以及长、宽、高或棱长，理解它们的含义

3.通过展、折和想象，认识这些立体图形的展开图 六年级下册 圆柱和圆锥的特征认识 1.通过大量的材料感知正确地认识圆柱和圆锥，掌握圆柱和圆锥的本质特征

2.沟通圆柱和圆锥的联系和区别 ]

从直观认识到要素认识再深入到特征认识，体现的是一个图形外部向内部的认识过程;也是一个从上位的一般图形到下位的特殊图形的深化过程。学生在这个过程中经历了从实物体中抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体，初步获得表象，发展空间观念。

三、“图形认识”的教学策略

（一）丰富素材感知，从感性经验入手认识图形

低年级儿童的数学体验与它们的生活密切联系，因此，丰富的材料感知是“图形认识”的基础。从大量的直观素材入手，在课堂上应给予充足的时间和空间，让儿童进行有意义和有目标的观察和操作，将提升并丰富对图形的直观认识。比如一年级上学期立体图形的直观认识，可以让学生准备一些平时经常玩的各种形状的积木、魔方、乒乓球，家中到处可见的牙膏盒、纸巾盒、茶叶罐等实物。这些都是他们见惯了的东西，很亲切，很容易建立起生活和数学的联系。准备一个不透明的袋子，把大家带来的材料装进去，让学生先摸一摸，再猜一猜摸到的是什么。学生会根据摸到的物体的特征，来判断到底是哪种形体。“圆圆直直的是圆柱，方方正正的是正方体……”既充分抓住了学生的好奇心，又能使学生再一次利用素材回顾图形的特征，等到图形特征已经认识后，这些素材还可以进行二次运用。

又如在“认识角”时，我们有同样的感受：对于8岁的孩子来说，角是植物表面“坚硬的角”，是桌子上“圆圆的角”，而最难理解的就是数学定义的这个“抽象的角”。所以我们需要丰富对“角”的直观体验，安排以下几个阶段：①看一看，摸一摸，生活中的角都是什么样子的？②想一想，画一画，这角在你头脑里的样子。③最后形成“角”最简洁的概念：从一个顶点引出的两条边。由此，学生从具体可感出发，头脑中保留了概念本质，这也正是数学教学所追求的抽象思想。同时在教学中，通过看一看、摸一摸、比一比等具体活动，为学生提供“做数学”的机会，让学生体会“做数学”的乐趣，在“做”的过程中感受图形的特征，形成明晰的几何直观。

当然，素材的涵义也是非常丰富的，不仅仅是指生活中的积木、药盒这些实物，大量的各种形状的图片欣赏、简洁立体的模型再现、甚至让学生找找生活中的形体，举举例子都可以成为素材。面对现实的、有意义的、富有挑战性的材料，通过直观实物、模型、图片或举例子，学生获得丰富的感性认识，借助原有的生活经验和已有的知识，引导学生对图形特征進行归纳和概括，丰富感知，为概念模型的建立提供基础性支撑。

（二）指导概括与表达，提升语言直观与分析能力

学生辨析比较和抽象概括能力是逐步发展的，因此，低年级时容易就事论事地对物体和图形的特点进行表述，很难用准确全面的语言进行阐述。教师要注意引导他们，经历从素材到本质属性的抽象提炼过程，更要在过程中为学生的全面准确的语言表达，创设良好的环境和契机。让学生感知如何用准确的语言表达各类图形和物体的特点，不仅要会用自己的语言，说出每一类图形或物体有什么共同的特点，还要尽可能说得全面，并使用比较规范的语言。这个过程其实就是学生对自己认识和体验过程的完整表述，这种体验和表述，将成为学生对图形本质特征认识的重要支撑。

学生基于经验的数学语言表达不是一蹴而就的，它是一个不断反复、不断熟悉的过程。比如在一年级上册的长方体、正方体、圆柱和球的初步认识中，学生形成了对这些立体图形的直观认识后，会用方方正正来描述正方体，用长长方方来描述长方体，用长长圆圆来描述圆柱，用滚圆滚圆来描述球。在接下来的活动中，教师就要有意识地引导和促进学生，用数学的语言较为准确地描述各种形体的直观特征。如果学生在摸到长方体后，只会说出是长长的，那教师就要引一引，带一带：“只是长的吗？还有别的特征吗？”帮助他们形成和运用全面准确的用词，不仅体现语言上的进步，更要加强思维上的提升。

（三）多维度打开分析思路，学会数学认识与思维

学生在概念形成过程中所经历的操作活动，只是教学的手段和载体，旨在引导学生对不同素材进行辨析和对比，寻找其本质属性。但是，由于学生，尤其是低年段学生的年龄特点和心理特点相对易受外在干扰的影响，因此要特别注意他们是否过分关注素材的外在表象或操作活动本身，而使思维止步不前。这就需要教师在概念形成的过程中，及时关注学生的状态，不断引导、推进和打开，引导他们的思考由散点状态向结构状态提升。

比如在教学“三角形内角和”一课，首先，当所有同学通过一系列操作，成功得出三角形的内角和是180度后，教师提出质疑：“测量就会有误差，难道剪、撕、折等过程就没有误差了吗？”“全班同学研究了42个三角形，得出内角和都是180度，是不是所有三角形内角和都一定是180度”“怎么用数学的方法来认定这个结论呢？”追问引发的是对数学思维方式的启发，随后教师借助几何画板，通过变化其中一个顶点的位置，观察形成的不同三角形内角的变化情况，计算得出不同三角形内角和均为180度的直观经验。其次，介绍法国著名数学家帕斯卡小时候的证明推理过程，拓展孩子的思维视角。最后，教师引入一个研究场景：“地面上有一个三角形的花园，小明在起飞的飞机上发现，当离地面越高，三条路交叉形成的一块三角形绿地就会变成一个点。引导学生去思考并理解到：原来六个角的度数和是540度，现在∠1、∠3、∠5之和是360度，消失的三个内角和就是180度。这样的补充，让学生在直观操作的基础上，获得理性的思考启发。也是对小学阶段实验几何和经验几何的补充，也是初中逻辑推理证明的渗透和萌芽。

（四）相同材料聚类归纳，不同材料分类甄别

除了注重内容本身的学科逻辑与思想方法，教学中还需关注学生在学习知识中的思维路径，通过适合的方法引领，实现“怎样学”“如何研究”的个人数学研究经验的深化。

比如在“垂线和平行线”教学中，立足于学生的思维，有这样两个重要的逻辑：①两条直线相交成直角和两条直线相交成4个直角是什么关系？怎么理解？②从两条直线的垂直到两条线段的垂直是怎么过渡的？两个问题的思考，不是由教师“教”给学生，而应是学生在过程经历中自主“感悟”形成。

丰富展开学生的认识思维过程，将有助于学生逐步实现对概念的理解，归纳与演绎推理的相互融合，将帮助学生突破直观认识，实现认识的横向数学化联系发展与纵向数学化认识推进。

具体在分析中，需要特别重视在材料感知基础上，引导学生对相关材料进行分析和处理。这里可以分为两种形式的逻辑展开。

（1）聚类分析：即面对大量感性材料，将它们集中在一起仔细观察，寻找这些材料的共同点。尽管这些材料从表面上看都是不一样的，但去除他们的外部表象，可以发现他们存在着共同的本质属性，这就是聚焦的目标。如五年级下册的圆的特征认识，观察并呈现如下情境：“教师在黑板上画圆，学生在作业纸上画圆，观看体育老师在操场上画圆，教师用一端系物的绳子甩出一个圆”，等等。引导学生对以上所有出现的画出的圆及过程进行观察，并思考：“从黑板上的画圆到纸上的画圆，到操场上的画圆，再到空中的画圆，在不同的情境里画圆，有没有相同的地方？”学生通过观察和分析，透过这些大小不同、位置不同的圆的表象，去发现和归纳概括所有材料的内在联系，从而抽取出“定点，定长，旋转一周”这一圆的本质属性。这是一个思维经历从具象到抽象的提升过程，也是图形认识教学中最有价值的所在。

（2）分类甄别：有时课堂中罗列的材料在类型方面会有很大差别，这样的材料就不适合进行聚类分析。这时，教师要引导学生在充分感知的基础上对材料进行分类甄别。将不同类别的材料区分开来，相关的有内在联系的材料分为一类。当然，学生在分类过程中会出现不相同的情况，教师就要引导学生对材料进行辨析，沟通材料和材料间的联系和差别，同样抽取出图形的本质属性。通过这样分类甄别的过程，突出本质，明确特征，更利于图形“类”的认识。有些材料还可以进行二级甚至三级分类，直至甄别抽取出本质属性，达到这一阶段逻辑展开的目的。比如一年级下册长方形、正方形、圆、三角形和平行四边形的初步认识，学生从立体图形上画下各种平面图形后进行分類，圆、三角形这两类一般不会出现状况，但长方形和正方形就极有可能出现错误。这时，教师可以引导学生观察所有的长方形和正方形，辨一辨，议一议，到底是完全相同的还是有差别的。通过辨析，让学生明确，一类是长长方方的，一类是正正方方的，从而达到二级分类甄别出本质属性的目的。

我们可以将这两种展开逻辑的流程合并如下图所示：

实际教学中，教师首先要精准了解学生的认知经验与生活基础，随之提供适切的相关活动素材，帮助学生在自主活动中丰富对图形的直观认识，引导学生形成图形认识一般路径与方法，学会从不同角度分析、比较，不断推进学生对图形的数学抽象及认识。

“图形认识”作为“图形与几何”领域的重要内容，不局限于认识层面，需要老师着眼于学生数学认知及思维方式的转换，从数学理解与应用层面，提升“认识”过程的育人价值，还给学生“认识”的空间，用数学的眼光观察，用数学的思维思考，用数学的语言表达，将不断促进学生对空间与图形的理性认知，发展空间观念。

[参 考 文 献]

[1]国家教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]袁平平.“图形的认识”的育人价值与教学策略——基于整体结构化的教材解读[J].教育研究与评论（小学教育教学），2016（6）.

[3]蒋敏杰.聚类研究，突出本质——五年级下册〈圆的认识〉教学探索[J].教育研究与评论（小学教育教学），2016（6）.

[4]周志华.小学数学整体综合设计的实践探索[M].南京：江苏人民出版社，2012.

（责任编辑：李雪虹）