题型各异 秉性相通——关于一次函数性质的考题类型及解答策略

徐 怡

一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）是初中阶段的第一个函数知识。一次函数的性质是研究其他函数性质的一个参照，也是中考数学的一个重要考点。中考考查一次函数的题型各异，但归根结底都要依靠一次函数的性质来解决。

题型一：由图像位置确定k、b的符号

例1 若一次函数y=ax+b的图像经过第一、二、四象限，则下列不等式一定成立的是（ ）。

A.a+b＜0 B.a-b＞0

【解析】由于一次函数y=ax+b的图像经过第二、四象限，可以确定a＜0；又由于图像经过第一象限，∴b＞0。根据a＜0、b＞0一一判断各选项即可。

∵a+b不一定小于0，a-b＜0，ab＜0， ＜0，只有D正确。

故选D。

【点评】本题考查一次函数的图像与系数的关系，解题的关键是利用函数图像的位置，确定a、b的符号，属于中考常见题型。

题型二：由k、b的符号确定图像位置

例2 在同一平面直角坐标系中，直线y=4x+1与直线y=-x+b的交点不可能在（ ）。

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【解析】由直线y=4x+1，得k=4＞0，b=1＞0，根据一次函数的性质可以确定该直线经过第一、二、三象限，即一定不过第四象限。而直线y=-x+b中，k=-1＜0。当b＞0时，直线y=-x+b过第一、二、四象限，两直线交点可能在第一或第二象限。当b＜0时，直线y=-x+b过第二、三、四象限，两直线交点可能在第二或第三象限。所以交点不可能在第四象限。

故选D。

【点评】从问题“确定两条直线交点所在的象限”出发，探究解题思路：分别确定两条直线各自所经过的象限，从而得解。

题型三：一次函数的增减性与k的关系

例3 一次函数y=kx-1的图像经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为（ ）。

A（.-5，3）B（.1，-3）

C（.2，2）D（.5，-1）

【解析】由于y的值随x值的增大而增大，根据一次函数图像的性质得k＞0。分别把4个坐标值代入y=kx-1中，求出相应的k值，再根据k值的符号做出判断。

（5，-1）时，k=0。选项C符合题意。

故选C。

【点评】熟练掌握一次函数增减性与k的符号的关系是正确解答本题的关键。

题型四：性质客串，相互掣肘

例4 在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m（m≠0），y=（m≠0）的图像可能是（ ）。

【解析】在4个选项中，可先利用反比例函数图像位置确定m的符号，再根据m的符号对一次函数的图像位置进行判定，选出正确选项。

选项A中，反比例函数的图像在第二、四象限，∴m＜0，一次函数的图像应过第二、三、四象限，显然选项A错误。类似地可以判断选项B、C也是错误的。只有选项D正确。

故选D。

【点评】本题也可以根据每个选项中两个函数图像的位置判断各个m的符号是否一致。若一致，则该选项正确。

题型五：性质活用，绕开陷阱

例5 已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图像中，能正确反映y与x之间函数关系的图像是（ ）。

【解析】先由三角形的周长公式求出函数关系式。再考虑到三角形的三边关系，求出x的取值范围。由x的取值范围，联想到函数的图像应该是x取值范围内的一条线段。

由题意得2x+y=10，∴y=-2x+10，由三角形的三边关系得：

∴正确反映y与x之间函数关系的图像是D。

【点评】本题考查了“一次函数的图像是一条直线”这一基本性质。同学们解答时容易忽略x的取值范围（2.5＜x＜5）这一隐含条件而错选A。用一次函数的图像表达实际问题时往往会存在这样的陷阱，同学们要注意绕开哦。