对一道教材习题的探究

陈建海

福建省莆田第九中学 (351100)

教材中的例习题是经过专家精心设计、反复推敲后选定的，大多蕴含着深刻的背景，正如前苏联数学家奥加涅相所说：“很多例习题潜在着进一步扩展其教学功能、发展功能和教育功能的可行性.”教材是高考复习之本，也是高考、竞赛命题之源.许多高考、竞赛试题都具有“源于教材，而高于教材；题在书外，但根在书中”的特点.教学中，在学生完成例习题基础上，教师要有意识地引导学生对一些典型例习题进行深入的探究，揭示在题目条件的表象下隐藏的某种数学规律及深刻内涵，深化对数学的理解，感悟数学的本质，实现知识的“再创造”.

人教A版选修4—4第15页习题1.3题6是：

一、进一步探究习题的结论

在原题的条件下，还可以得出什么有用的性质？

(2)若OA⊥OB，由(1)得m=

由此可得椭圆对中心张直角的弦的另三个性质：

二、由椭圆到双曲线、抛物线的探究

著名数学教育家G·波利亚说过：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地成长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近有好几个.”以上性质揭示了椭圆对中心张直角的弦的另三个性质，那么，双曲线、抛物线是否具有类似性质？

只要把上述探究过程中的“b2”换为“-b2”，可得双曲线的类似性质：

性质1、2,揭示了椭圆、双曲线对中心即张直角的弦的性质，对于抛物线y2=2px(p>0),由于它是无心曲线，我们可以探究其对原点O张直角的弦是否具有类似性质？

设直线l：x=my+n(n≠0)，代入抛物线方程y2=2px(p>0),得y2=2p(my+n),即y2-2pmy-2pn=0..设A(x1,y1),B(x2,y2)，据韦达定理，得y1+y2=2pm,y1y2=-2pn. 则x1x2=(my1+n)(my2+n)=m2y1y2+mn(y1+y2)+n2=m2(-2pn)+mn·2pm+n2=n2.于是

(1)OA⊥OB⟺x1x2+y1y2=0⟺n2-2pn=0⟺n=2p(注意到n≠0).

(3)若OA⊥OB，由(1)得n=2p，则x1+x2=my1+n+my2+n=m(y1+y2)+2n=m·2pm+2·2p=2pm2+2·2p,弦AB的中点M的坐标为(pm2+2p,pm).进而得|AB|=2|OM|=

由此可得抛物线y2=2px(p>0)对原点O张直角弦的性质：

三、探究结论的应用

以上所得性质对解决一类高考及竞赛试题具有独特功效，可以引导学生利用这些性质解决有关问题.

(2)设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P(x0,y0)(x0y0≠0)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A,B，证明∠AOB的大小为定值.

例3 (2004年全国高考重庆卷试题)设p>0是一个常数，过点Q(2p,0)的直线与抛物线y2=2px(p>0)交于两点A,B，以线段AB为直径的圆H(H为圆心)，试证明抛物线的顶点在圆H的圆周上；并求圆H面积最小时，直线AB的方程.

例4 (2015年全国高中数学联赛广东赛区预赛试题)设抛物线y2=2px(p>0)上有两个动点A(x1,y1),B(x2,y2)(y2<0).(1)略；(2)若OA⊥OB，求线段AB中点M的轨迹方程.

以上通过对一道教材习题的结论的探究、引申，得到了椭圆、双曲线和抛物线的一类性质，并应用之解决有关问题，使学生经历了在教师引导下的“问题---探究—引申—应用”的“再创造”过程.引导学生对一些典型例习题开展自主探究，发现和提出有意义的数学问题，探究合理的数学结论，有助于培养学生发现、提出、解决问题的能力；有利于提高学生学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力；有利于学生树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养.