侧重能力与素养考查的数学压轴题分析

宋其云 张留杰

北京市陈经纶中学 (100020)

北京理科高考压轴题经常与集合、函数、数列、数论基础、简单组合数学等知识综合.抽象性强，思维量大，对数学抽象、逻辑推理、数据处理和数学建模等核心素养要求较高，试题大多蕴含着深刻的学科本质或现实生活背景.试题设问从特殊到一般逐层递进，考查学生抽象概括、分析问题和解决问题的能力，凸显转化化归、分类讨论等数学思想的应用，有助于发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养．本文以朝阳区期中考试压轴题为例谈谈这类创新题的解题策略，与大家共勉．

题目(2018-2019学年度北京市朝阳区高三期中考试第20题)设m,n为正整数，一个正整数数列a1,a2,…,an满足m=a1≥a2≥…≥an≥1.对i=1,2,…,m，定义集合Bi={j∈{1,2,…,n}|aj≥i}．数列b1,b2,…,bm中的bi(i=1,2,…,m)是集合Bi中元素的个数．

(Ⅰ)若数列a1,a2,…,an为5,3,3,2,1,1，写出数列b1,b2,…,bm；

(Ⅲ)对j=1,2,…,n，定义集合Cj={i∈{1,2,…,m}|bi≥j}，令cj是集合Cj中元素的个数．求证：对j=1,2,…,n,均有aj=cj．

1.第(Ⅰ)问的分析与解答

分析：本小题以具体的数列为例，引导学生借助特殊数列理解集合Bi、数列bm以及n、m、j之间的关系，因此可以逐一“列举”得出数列{bm}的项，感知数列{bm}的构造过程和意义．

解：若数列a1,a2,…,an为5,3,3,2,1,1，此时n=6,m=5.

当i=1时，数列5,3,3,2,1,1中满足不等式aj≥1的j值为1,2,3,4,5,6，则集合B1中有6个元素，所以b1=6；

当i=2时，数列5,3,3,2满足不等式aj≥2，对应的j值为1,2,3,4，Bi={1,2,3,4}，所以b2=4；

当i=3时，数列5,3,3满足不等式aj≥3，对应的j值为1,2,3，Bi={1,2,3}，所以b3=3；

当i=4时，只有a1=5满足aj≥4，易得Bi={1}，所以b4=1；

当i=5时，只有a1=5满足aj≥5，易得Bi={1}，所以b5=1.

所以，数列b1,b2,…,bm是6,4,3,1,1．

评注：第(Ⅰ)问中涉及一个集合、两个数列，四个字母n、m、j、i，只要我们能把抽象的字母具体化，明确构造新集合的规则，用“写写看”的方法，不难突破审题关，顺利做好第(Ⅰ)问．

2.第(Ⅱ)问的分析与解答

分析：此小题是已知数列{bn}，求{an}的前n项和，属于“逆向问题”，应从数列{bn}的项的意义切入，探究数列{an}的特征．

计量资料利用SPSS19.0软件分析并经t检验(均数±标准差),计数资料经X2检验(率)。存在统计学意义评定标准:P<0.05。

解法一：由题意，知b1=n=2m,由于数列b1,b2,…,bm是一共m项的等比数列，因此数列b1,b2,…,bm为2m,2m-1,…,2，故满足不等式aj≥i的个数有2m+1-i个，所以满足不等式aj≥1的个数有2m个，满足不等式aj≥2的个数有2m-1个，又因为数列{an}是一个正整数数列，所以可知数列{an}中有2m-2m-1=2m-1个“1”．

解法二：(接解法一的分析过程)由数列{bn}和{an}的项的关系，可得a1+a2+…+an=(b1-b2)+2(b2-b3)+…+(m-1)(bm-1-bm)+mbm=b1+b2+b3+…+bm=2m+2m-1+…+2=2m+1-2．

3.第(Ⅲ)问的分析与解答

分析：此小题在原有基础上又增加了一个集合、一个数列，问题情境显得更加复杂，我们可以再次从题中集合的意义出发，列举得出cj的不同取值，然后探究一般规律解决问题．

解法二：由已知得a1,a2,…,an一共有n项,每一项都大于等于1,故b1=n．由于a1=m≥m,故bm≥1.所以a1≥a2≥…≥an≥1，故当i=1,2,…,m-1时，bi≥bi+1，即n=b1≥b2≥b3≥…≥bm≥1．

接下来证明对j=1,2,…,n，aj=cj.

设aj=k,则a1≥a2≥…≥aj≥k,即1,2,…,j∈Bi，从而bk≥j，故b1≥b2≥…≥bk≥j，又1,2,…,k∈Cj,故cj≥k,而k=aj,故有cj≥aj；设cj=t,即Cj={1,2,…,t},根据集合Cj的定义,有b1≥b2≥…≥bt≥j，由bt≥j知，1,2,…,j∈Bt,由Bt的定义可得a1≥a2≥…≥aj≥t，而又t=cj,故aj≥cj．因此，对j=1,2,…,n,aj=cj.

评注：欲证明两个数a，b相等，通常可以转化为证明a≥b且b≥a，解法二根据aj，bk，cj之间的内在联系及它们的意义，分别证明cj≥aj和aj≥cj，思路自然，过程简洁．

这类问题要求学生具有较强的数学阅读能力、敢于挑战的精神、善于转化和联想的意识，能够从特殊情形总结归纳出一般规律，不仅要大胆猜想，还要会用数学的语言进行谨慎证明，试题重点考查学生的综合运用所学知识解决问题的关键能力，以及促进数学思维发展的必备品格，作为压轴题，区分度高，有助于优生的培养和选拔．