威布尔分布在滚动直线导轨副精度保持性分析中的应用

张 烁，舒启林

(沈阳理工大学 机械工程学院，辽宁 沈阳,110159)

数控加工技术是评价一个国家制造业现代化水平的重要标志，关系到生产力的发展[1].其中，数控机床技术更是现代化集成制造技术的代表.滚动直线导轨副因具有定位精度高、磨损小、承载能力强等优点，在数控机床中得到了广泛使用.滚动直线导轨副在数控加工机床应用中最主要的性能是其精度保持性.精度保持性是指滚动直线导轨副在规定条件下、规定时间内精度保持在某一范围而不丧失的能力[2].目前，我国对于滚动直线导轨副精度保持性的研究相对滞后，开展关于滚动直线导轨副精度保持性的寿命分析至关重要.

威布尔分布在产品的寿命分析中被广泛应用，尤其适用于分析机电类产品磨损累计失效的形式分布.它的主要优点是能提供较准确的失效分析和小数据样本的失效预测，在数据不充足的情况下也能进行恰当的失效分析.邹辉等基于滚动直线导轨副的主要失效形式为疲劳磨损，结合机械产品本身的试验和失效特性，证明威布尔分布可用于描述各种因素对机械零件疲劳寿命的影响[3].

本文通过滚动直线导轨副精度保持性试验，对数据进行分析处理，并采用标准二参数威布尔分布评估方法对试验进行整体评估，计算导轨副的精度指标值，为精度保持性试验的评估提供一种思路.

1 威布尔分布

1.1 威布尔分布的数学模型及其特性

威布尔分布是目前应用最为广泛的寿命分布之一.当其形状参数(威布尔分布数学模型中3个参数之一)不同时，威布尔分布可转化为指数分布或瑞利分布.由此可见，威布尔分布对各种产品的寿命分析都具有很强的适应性.威布尔分布是由最弱环节模型导出的.若一个整体的任何部分失效则整体失效，这就是最弱环节模型[4].作为精密滚动功能部件，滚动直线导轨副即是最弱环节模型.威布尔分布可以很好地表达产品寿命“浴盆曲线”的3个失效期，不仅能充分反映材料缺陷和应力集中源对材料疲劳寿命的影响，而且具有递增或递减的失效率，这符合实际中遇到的问题.因此，威布尔分布作为材料或机械产品的寿命分布模型是十分合适的[5].分析可知，滚动直线导轨副精度保持性的寿命分析基本上服从威布尔分布，故本文选取威布尔分布作为研究模型，对滚动直线导轨副的精度保持性试验进行评估.

威布尔分布的概率密度函数为：

(1)

式中：β为形状参数；θ为尺寸参数；δ为位置参数；

t为试验运行里程，km.

威布尔分布的累积分布函数为：

(2)

令位置参数δ为0，可将式(2)转化为二参数威布尔分布，即：

(3)

根据定义，尺寸参数代表试验产品的特征寿命；形状参数决定了分布曲线的形状，在可靠性评估中，产品的可靠寿命和特征寿命随着形状参数的增大而提高[6].根据形状参数，可分析机械产品的失效机理.

机理1:β<1.0,表示早期失效.

机理2:β=1.0,表示随机失效.

机理3:1.0<β<4.0,表示早期耗损.

机理4：β≥4.0,表示快速耗损.

在设计寿命之内,一方面，形状参数β较大，表示此时整个系统存在完全失效的风险；但另一方面,在威布尔分布的特征寿命大大超过设计寿命的情况下,大的β值是好的迹象.通常，具有陡峭的威布尔分布曲线的产品在失效发生前都有一个安全期,斜率β越大,失效前的变化就越小,结果也就越可被估计[7].

1.2 基于小子样的虚拟增广理论

在滚动直线导轨副的精度保持性研究中，综合考虑试验时间、人力、物力等因素，一般采取小样本抽样试验，而威布尔分布模型是基于大样本试验数据的理论.研究表明，在试验数据服从威布尔分布时,滚动功能部件可靠性统计分析中最少需要16个寿命数据[8].因此，小子样条件下需要对试验数据进行扩充.可基于虚拟增广理论，对试验数据进行虚拟增广，从而满足大样本的要求.为了保证增广样本的科学性,增广后大样本数据的寿命必须具备以下3个条件：①平均值与小子样的平均值相等；②标准差与小子样的标准差相等；③增广后寿命数据在威布尔概率纸图上大体沿一条直线分布[9].

1.3 二参数威布尔分布评估方法

在了解威布尔分布的特性后，实际应用中需将问题量化，根据原始试验数据得到威布尔分布参数的估计值，从而确定试件寿命与失效概率之间的关系.威布尔的参数估计方法很多，本文选用一种最常用的二参数威布尔分布评估方法——线性化最小二乘法.线性化最小二乘法计算简便直观，被广泛应用于工程实践中.它本质上属于一元线性回归问题，主要适用于完全样本试验数据的处理.

根据式(3)得到的可靠度函数为：

(4)

对等式两边取两次对数，将其线性化，有：

(5)

Y=aX+b+e

(6)

式中,e为随机误差.

上述过程称为威布尔变换.经过威布尔变换，x-y坐标系下的图形就是威布尔概率纸图.若产品寿命服从威布尔分布，则其在威布尔概率纸图上的分布应能大致拟合成一条直线[10].

(1) 将故障间隔时间或失效时间数据从小到大排列.

通过基因编辑改善农作物时，研究人员不仅仅删除已有的遗传密码，他们还探索在DNA断裂处添加新的遗传密码，并且还尝试在单一植物中编辑多个基因的方法。一部分科学家声称在几年内可以实现这一目标。一家初创公司Inari农业认为，有朝一日农场主可以根据自己农场的种植需要来定制农作物种子。

(2) 按中位秩公式法初步估算各失效时间对应的失效率F0(t)，即：

(7)

式中：i为失效排列顺序号；n为试件数量.

(3) 根据最小二乘原理估计回归系数a和b，即：

(8)

(9)

2 滚动直线导轨副精度保持性试验

2.1 试验条件

精度保持性试验台是以沈阳机床集团公司生产的VMC850E 立式加工中心为基础改造而成的.从试验要求及可行性出发，对该数控机床机械部分和测控部分进行改造，搭建试验平台.其整体结构主要包括以下部分：床身、工作台、工作台驱动机构、被测导轨载荷施加机构、导轨精度检测基准、实时温度检测系统和行程累积计数器等.图1所示为搭建的精度保持性试验台.

1-床身和滑鞍；2-工作台；3-数控系统；4-被测导轨载荷施加机构；5-数据采集系统图1 精度保持性试验台

试验选用南京工艺装备制造有限公司生产的GGB35BAMN2P12×1680-3型滚动直线导轨副.其额定动载荷为34.97 kN.对选取的3组导轨副分别进行编号，并采用恒定应力加速试验方法，在负载为450 kg，进给速度为8 000 mm/min的条件下，每跑合10 km测量一次精度指标，共跑合1 200 km.

2.2 试验结果与分析

判断滚动直线导轨副精度是否失效，主要依靠导轨副各精度指标值.试验所用导轨副为3级精度，其精度指标如表1所示.试验过程中若滚动直线导轨副精度超出误差允许范围，则判定导轨副精度失效.

试验共进行120 d，试验周期较长，完全样本的试验数据量较大.为提高效率，针对3组导轨副各精度指标值，每100 km进行一次记录，并对4种精度指标分别取平均值后描点连线，可得到精度值随时间的变化曲线，即滚动直线导轨副的精度值衰退曲线(图2).

从图2可以看出，各精度指标在400 km内小幅度变化，此时导轨副处于磨合阶段；在400～1 000 km内，导轨副精度指标趋于稳步上升状态；1 000 km后各精度指标迅速增大，此时导轨副已经进入损耗期；在1 100 km左右,误差超出了3级精度允许范围，精度失效.

表1 滚动直线导轨副的3级精度允差 μm

图2 滚动直线导轨副精度值衰退曲线

3 精度保持性参数估计

对滚动直线导轨副精度保持性试验的记录结果分析可知，3组导轨副精度保持性寿命分别为1 079 km，1 030 km，1 048 km.根据所得试验数据，对该型滚动直线导轨副精度保持性可进行如下参数估计：①算出的试验数据平均值为1 052.3 km，标准差为20.237 km；②根据虚拟增广理论，通过MATLAB软件编程，可生成一组容量为20，平均值为1 052.3 km，标准差为20.237 km的随机数据；③得到的增广样本数据为：1 063.2,1 089.4,1 006.6,1 069.7,1 058.8,1 025.8,1 043.5,1 059.2,1 124.7,1 108.3,1 025,1 113.7,1 067.0,1 051.0,1 066.8,1 048.2,1 049.8,1 082.4,1 080.0,1 081.0(这些数据的单位均为km).该组数据在威布尔概率纸图上的分布如图3所示.

图3 滚动直线导轨副增广样本数据的威布尔概率纸图

由图3可知，坐标系中的点可大致拟合成一条直线，因此认为滚动直线导轨副精度保持性服从威布尔分布.根据线性化最小二乘法计算步骤得到的回归系数如下：a=41.59，b=-290.48.由此得到的形状参数β=41.59，尺寸参数θ=1 074.90.因此可写出如下威布尔分布函数：

(10)

滚动直线导轨副精度保持性分析的威布尔分布概率密度函数为：

(11)

滚动直线导轨副精度保持性分析的威布尔分布概率密度函数曲线如图4所示.

图4 滚动直线导轨副精度保持性分析的威布尔分布概率密度函数曲线

滚动直线导轨副精度保持性分析的威布尔分布可靠度函数为：

(12)

滚动直线导轨副精度保持性分析的威布尔分布可靠度函数曲线如图5所示.

图5 滚动直线导轨副精度保持性分析的威布尔分布可靠度函数曲线

滚动直线导轨副精度保持性分析的威布尔分布失效率函数为：

(13)

确定威布尔分布的失效率函数后，就可以通过计算得到它的其他类型寿命指标.

滚动直线导轨副的可靠寿命为：

(14)

当可靠度R(t)=0.5时，t0.5称为中位寿命；R(t)=exp(-1)=0.368时，t0.368称为特征寿命；R(t)=0.9时，t0.9称为额定寿命.

滚动直线导轨副的平均寿命为：

(15)

式中，函数Γ的值可通过查表得到.

滚动直线导轨副的精度保持性指标与可靠度如表2所示.

表2 滚动直线导轨副的精度保持性指标与可靠度

从表2可以看出，在可靠度为0.9的情况下，滚动直线导轨副可在运行1 017.9 km内精度保持性不失效，与试验过程记录结果基本一致.

4 结束语

本文在进行滚动直线导轨副精度保持性试验的基础上，绘制了其精度衰退曲线，并应用二参数威布尔分布评估方法对试验进行了评估.针对滚动直线导轨副的精度保持性，讨论了威布尔分布的概率密度曲线和可靠度曲线.通过试验，验证了威布尔分布在滚动直线导轨副精度保持性分析中的适用性，估算了某型号滚动直线导轨副精度保持性的各类型寿命.