研究函数必须坚持“定义域优先”原则

胡卫红

摘 要 函数的定义域是构成函数的三大要素之一，在研究函数问题时，如不加以注意，极易出错。因此在解函数题中，必须反复强调“定义域优先”原则，反复强调定义域对解题的作用与影响，这对提高学生的数学素养非常有帮助。

关键词 定义域;优先;原则;数学素养

中图分类号：A，U491.2+32，{DF711}                        文献标识码：A                                                  文章编号：1002-7661（2019）14-0151-01

函数作为高中数学的一条主线，贯穿于整个高中数学的学习，函数的定义域是构成函数的三大要素之一，函数的定义域通常由所研究问题的实际背景确定，不仅要给出函数解析式，更要理解它的定义域，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。在解函数题中，必须反复强调“定义域优先”原则，反复强调定义域对解题的作用与影响，这对提高学生的数学素养非常有帮助。

一、研究函数解析式必须优先考虑函数的定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须优先考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。

例1.将边长为的铁丝折成一条边长为矩形，求矩形的面积关于的函数关系式？

解：因为矩形的一边长为米，则另一边长为米，由题意得：，故函数关系式为：。

如果解题到此为止，则函数关系式还欠完整，缺少自变量的范圍。因为矩形的边长和面积不可能为负数，因此应补上自变量的范围：。

在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。

二、研究函数的最值必须优先考虑函数的定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大（小）值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。

例2.求函数的最值.

解：∵，∴当时，。

初看本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。

在函数定义域受到限制时，若能让学生注意定义域对函数最值的影响，便能提高学生的综合数学素养。

三、研究函数的值域必须优选考虑函数的定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值域也随之而定。因此在求函数值域时，必须优先注意函数定义域。如：

例3.求函数的值域。

错解：令

∴，

故所求的函数值域是。

分析：经换元后，应有，而函数在上是增函数，所以当时，。故所求的函数值域是。

注意，在用換元法求函数值域时，必须注意变量的范围和隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。

四、研究函数奇偶性必须优先考虑函数的定义域

例4.判断函数的奇偶性。

解：∵，∴定义域区间[-1，3]关于坐标原点不对称，∴函数是非奇非偶函数。

若学生没有注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：

∵

∴函数是奇函数。

五、小结

判断函数的奇偶性，必须先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，若定义域不关于坐标原点对称，则函数就不存在奇偶性。

综上所述，在求函数函数关系式、最值、值域、奇偶性等问题中，若能引导学生注意到函数定义域的变化对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的数学素养，进而提高学生思维的创造性。