分数在教科书中的不同意义（上）

◇林碧珍

分数与小数、百分率、比等概念关系密切。对于分数，在大陆和台湾两岸教科书中有各自的发展脉络。

在大陆教科书中，分数首次出现是在三年级，学习分数的初步认识； 四年级教科书中没有编入分数内容，一直到了五年级，才出现分数的意义和性质，内容包括分数的定义、分数与除法的关系、真分数、假分数、分数的四则运算等。不同版本的教科书几乎都将分数集中编入三个学期。

台湾教科书将分数分布于三至六年级共八个学期中。三年级时学习分数的初步认识、同分母分数的大小比较与加减；四年级时学习假分数与带分数、分数的整数倍、等值分数的认识、分数与小数互化；五年级时学习异分母分数的比较与加减、找出等值分数、分数乘法；六年级时学习最简分数、分数除法及分数的四则混合运算。不同年级在复杂度与难度上有不同的安排，如：在分数类型方面，从低年级的单位分数（大陆教科书中以分数单位称之)、真分数，到中年级的假分数及带分数；在分数的四则运算方面，从中年级的同分母分数的加减法到高年级的乘数（除数）为分数的乘法（除法）。不同年级的教科书也从学理上考虑分数的多种不同意义，每种意义都有其各自的角色、功能及发展脉络。

然而，教师在解读或使用教科书时，往往仅关注分数的类型或四则运算，而难以察觉分数的不同意义。例如，分布于不同年级教科书中的三种分数学习活动的题目A、B、C，如下。教师在解读时可能仅关注可用乘法解决这些问题，而忽略了三个问题中代表的不同意义。

若教师没有厘清分数的不同意义，疏于处理这些不同的意义在不同年级教科书中的地位，会导致学生学习分数时感觉困难。因此，借由2018年11月份在温州大学举办的“第二届两岸‘温清’小学数学教学与研究暨中澳比较教育论坛”这个交流机会，探讨台湾教科书中分数不同意义的发展脉络。

一、在课堂中学生提出的疑问

学生在小学阶段第一次经历数系扩展：从整数到分数的扩展。分数是要解决整数无法解决的问题，例如，1 个月饼平均分成4 块，每块月饼的大小无法用正整数表示，需要扩充到分数，用分数表示1 块月饼的大小。 分数比正整数复杂许多，学习难度也较高，正整数的性质不一定可以直接推广到分数。学生可能会将整数的性质类推到分数上，以致产生错误或迷思概念。许多研究也证实分数是小学阶段学生感到最难学的内容。在课堂中，学生常见的疑问如下：

1.1 盒蜡笔 12 支，妹妹用了 3 支，用了几盒蜡笔？ 请画图表示。

图1

图2

3.老师准备了12 瓶汽水，1 瓶汽水正好倒满10 杯，老师喝了3 杯，老师喝了多少瓶？

4.将1 个蛋糕平均分成8 块，弟弟吃了2 块后，妹妹再吃剩下的6 块中的3 块，妹妹吃了多少个蛋糕？

5.1 盒饼干12 块， 平均分给第一组的6 人和第二组的6 人，每人拿到几块饼干？每人拿到几盒饼干？

6.老师买了4 条面包，每一条都平均切成8片，第一组吃了10 片，第一组吃了几条面包？请画图表示吃掉的面包。

学生说：“如图3，为什么答案不是10 16 条？”

图3

图4

9.2 条巧克力平均分给5 人，每人吃了多少条巧克力？1 条巧克力平均分给5 人，2 人共吃了多少条巧克力？

12.3 的 4 倍是 12，12 是 3 的倍数， 哥哥的钱数是全部的倍，哥哥的钱数是弟弟的倍。

学生说：“不都是倍数吗？有什么不一样？”

这13 个疑问中，疑问1～8 都与分数的部分-整体关系有关，学生理解困难的根源是没有掌握整体单位量“1”（即大陆所说的单位“1”）的概念。学生提出疑问13，主要是因为没有理解运算法则背后的意义， 而只熟背运算法则或公式。学生提出疑问9～12 的主要根源是没有厘清分数的不同意义。由此可见，学生学习困难的部分原因是没有厘清分数的不同意义。

二、分数在教科书中的不同意义

造成学生学习分数困难的原因分为三类：知识本质的成因、心理的成因、教育的成因。心理的成因包含学生的学习特质、学生的用功程度等，教育的成因包含教学法、教材的安排等。下面将从知识本质的观点分析小学阶段分数六种意义的发展脉络。

（一）部分-整体关系。

分数意义的建立是从部分-整体的关系引入的。将一个整体量分割成几等份，其中部分量的大小用整体量来描述，分数表示部分量和整体量的关系。例如，将1 个月饼分成4 等份，其中3份的大小就是个月饼。“个”涵盖三个子概念：（1）个，是整体单位量的单位，表示什么东西被分（1 个月饼被分）；（2）分母“4”，表示怎么分（分成4 等份）；（3）分子“3”，表示取多少（取 3 份）。

台湾早期的教科书在处理分数中要求算出部分量大小的问题时，在题干中以没有单位量词的“全部的几分之几”或“占全部的多少”来提问（当前大陆的教科书就是这样处理的——编者注），如：把1 个蛋糕平均分成 4 份，其中 1 份是它的几分之一？把1 个蛋糕平均分成4 份，其中1 份占全部蛋糕的多少？若以“1 份是1 个月饼的描述，则是部分和整体的相对关系，而非包含关系，容易导致学生在指认整体单位量方面出现困难。

自1997年以后， 台湾教科书为了帮助学生掌握整体单位量“1”，在设计上做了一项重大的改变， 就是对于要求算出部分量大小的题目，在题干中改为用含有单位量词的句子来提问， 如：把1 个蛋糕平均分成4 份，其中的1 份是多少个蛋糕？其答案为“1 份是个蛋糕”，1 份蛋糕的大小是一种绝对量。

2.连续量与离散量。

台湾教科书强调在具体情境中帮助学生建立分数概念。 具体情境中的量分为连续量及离散量两种。在连续量情境中，整体量强调要等分或平均分，也就是大小一样，但形状不一定相同。如图5，阴影区域是张纸，每等份的形状不需要相同。

图5

在生活中，处处存在离散量。对于离散量，在乎的是它的个数而不是其他属性（如大小、形状等）。例如，上面提及的疑问1，蜡笔使用后每支的长短不一样，是很自然的事情。生活中的离散量大小不一定都一样，例如，每个人的身高或体重不一定都一样，或每个苹果的大小或质量不一定都相等。

图4（a）的错误是忽视整体单位量18 颗。图4（b）的错误是其表示的是包而非包。图4（c）和图 4（d）中都将 18 颗再重新分成 9 等份，但图4（c）的错误是没有厘清4 份和4 颗的不同；图 4（d）是没有厘清单位应该是“包”而非“颗”。虽然有关离散量的分数问题比有关连续量的分数问题复杂许多，尤其是单位分数的内容物为多个物时，但它是后续建立等值分数概念及理解分数乘法意义的重要基础，所以非常重要。近年来，张奠宙教授已提出大陆教科书忽视了分数的包含除问题，而分数的包含除问题是离散量单位分数的内容物为多个物的一种类型［1］。

（二）单位分量的累加。（测量）

部分-整体关系无法建立分子比分母大的假分数概念。为了建立假分数的概念，需要将分数的意义从部分-整体关系扩展到单位分量的累加。部分-整体关系是将解释为4 等份中的3 份，而单位分量的累加是将解释为 3 个。真分数不仅可以用部分-整体关系解读，也可以用单位分量的累加解读，但假分数无法用部分-整体关系解读，仅能用单位分量的累加解读。

将分数意义扩张为单位分量的累加，仍需与旧经验部分-整体意义联系起来，如3 个条巧克力=条巧克力，如图6；也需要通过单位分量的累加重新建立分数的数词序列，如单位分量的累加建立的分数和部分-整体关系建立的分数一样，是带单位的。

图6

单位分量的累加能帮助学生厘清在分数加减乘除运算中所犯的错误或出现的迷思概念。例如，疑问8 源于对整体单位量不理解，厘清这种疑惑的教学策略有：（1）利用部分-整体关系可解释为1 盒巧克力有6 颗盒有 2 颗，盒有3 颗，2 颗巧克力和3 颗巧克力合起来是5 颗，是盒；（2）利用单位分量的累加，将解读为 2 个和 3 个合起来， 是 5 个

单位分量的累加能帮助学生理解同分母分数除法的意义，如：一条缎带长米，每米做1 朵花，共可做几朵花？÷（2 个此处的结果 2 是 2 朵花或 2 个米，但不是 2 个米。回到原问题情境，可以用来厘清学生提出的疑问13。