具Intraguild捕食的非自治三种群Lotka-Volterra模型的正周期解

陈柳娟

（福建教育学院，福建 福州 350025）

文［1］研究了一类关于资源竞争的Intraguild捕食的非自治三种群Lotka-Volterra模型（1.1）的持久生存，文章进一步研究模型（1.1）的正周期解。

1.引理

设X，Z是赋范向量空间，L:DomL⊂X→Z是一个线性映射，N:X→Z是一个连续映射。如果dimKerL=codim ImL＜+∞且ImL是Z中的闭子集，则称映射L是指标为零Fredholm映射。如果L是指标为零的Fredholm映射且存在连续投影P:X→X和Q:Z→Z使得ImP=KerL，ImL=KerQ=Im(I-Q)，则L|DomL∩KerP:(I-P)X→ImL可逆，记其逆映射为KP。设Ω为X中的有界开集，若有界且是紧的，则称映射N在上是L-紧的。由于ImQ与KerL同构，因而存在同构映射J:ImQ→KerL。

引理1［2］（重合度延拓定理）令L是指标为零的Fredholm映射且N在上是L-紧的。假设

为了方便，记 ，这里g是ω-周期连续函数。

2.主要结果

本节证明模型(1.1)正周期解的存在性，其中所有的参数关于时间t都是连续且是ω-周期的。

则

且ImL是Z中的闭集，因而L是指标为零的Fredholm映射。此外，P，Q是连续投影使得ImP=KerL，KerQ=ImL=Im(I-Q)，所以L的逆映射KP:ImL→DomL∩KerP存在且

显然，QN和KP(I-Q)N连续且对任一有界开集，有界。由Arzela-Ascoli定理易知是紧的。从而，对任一有界开集，L在上是L-紧的。相应的算子方程，有

从而有

即

和

由(2.4)和(2.7)可得

由(H2)易知

由(2.5)、(2.8)和 (2.10)可得

由(H3)易知

类似地，由(2.6)、(2.9)、(2.10)和 (2.11)可得

若(H4)成立，显然有，从而，由(H1)和(H4)可得

再由(2.10)、(2.11)和(2.12)可得

显然，Ri(i=1,2,3)与λ无关。考虑下列的代数方程：

这里μ∈(0,1)是一个参数，(μ1,μ2,μ3)∈R3。如前面类似的讨论可得当μ∈(0,1)时，系统（2.14）的任意一个解满足。

另一方面，考虑同伦

这里