几何画板在初中数学教学的应用案例

阳岳红

摘要：现代教育是以现代社会信息化和步入知识经济时代为背景，以实现人的全面发展为宗旨的教育。教育发展过程中已出现教育个性化、教育终身化、教育大众化、教育一体化四大趋势。根据国家教育工作会议的要求，课堂内以多元的教育手段，并入更好的科学技术，有效，生动的进行，开启加快教育现代化的新征程。而几何画板作为一款占内存小，动画功能强，操作简单且有广泛兼容性的软件来说，在数学教学中用起来就更应该广泛化，平常化。本文主要从教学案例出发，浅述几何画板在教学中的应用和优越性。

关键词：几何画板;初中数学;应用

中图分类号：G633.6           文献标识码：A文章编号：1992-7711（2019）18-068-2

一、数学证明前的猜想，验证

从古至今，数学问题的研究，通常是分为发现问题—提出猜想—证明结论这三步，也有多少的定理，性质是通过这三步研究出来的。在数学课堂上，就可以借助几何画板，来帮助学生发现数学性质，再加以证明。

1.从大量例子，引导思考

上课时先根据概念，在几何画板上画出圆周角，圆心角，并指出它们所对的弧。分别度量出角度，并在改变圆周角位置时，让同学们发现只要所对的弧不变时，圆周角度数是不变的，由此引发同学们的思考：圆周角，圆心角的度数与所对的弧有关。

2.直接测量，引导学生大胆提出猜想

那既然圆周角，圆心角与所对的弧相等，他们之间有什么关系呢？（引导学生发现问题）再请同学上来，画一组同弧所对的圆周角和圆心角（此处有同学有不同画法，都请上来演示），度量出这组角，让学生从角度值去猜测他们的关系。同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半。

3.不同情况下的大量数据，验证学生的猜想

改变圆的大小，（相当于改变所对应的弧，意味着大量举例）让学生从角度值去发现，经过大量举例，上面的猜测都成立。

4.归纳成上述例子，进行数学证明，证明猜想

本性质需要把同弧所对的圆心角，圆周角分为三种位置情况，最后一一进行证明。

同样，勾股定理，中垂线定理，角平分线定理……之类的几何定理，性质的推导课中，均可借助几何画板大量举证，引导学生体会发现问题—提出猜想—举例论证—数学证明结论这样的数学研究方法。

二、数学图形变换问题

在初中数学教学中，图形变换主要是“平移”，“折叠”“旋转”这几类，但总的来说“旋转”问题是学生最难理解和想象的，而几何画板提供了旋转，平移，缩放，反射等变换功能，可以借助几何画板来培养学生对图形变换的想象力。（几何画板示例如右）

例：如圖，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD

边上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF.

在这个问题时，主干条件只有一个，就是∠EAF=45°，是∠DAB的一半，但最终无论EF处在什么位置，都要满足结论，说明了要证明的结论的一般性，也就是无论EF在任何位置都满足，此时可以通过几何画板，改变E点的位置，同时控制∠EAF的度数，通过度量，来验证该题，并在位置变换的过程中，发现图形规律。

本题方法多样，法1：过A坐AG⊥EF于G，截长的方法，把EF分成EG和GF，再证明两组三角形全等，进而证明该两段分别等于BE和DF，证明结论。

法2：将△ADF顺时针旋转90°至△ABF，利用补短的方法，把BE补成EF，再证明△AEF与△AEF全等，证明结论。

其实面对半角问题，都可以尝试旋转，几何画板的图形变换就有了优越性，同样对于学生头疼的动点问题的研究，几何画板的动画功能，培养学生对运动状态的想象，都是极具有意义的。

三、函数的性质研究

函数在数学学习中也是一大难点，难点在于学生难把代数（数组）跟坐标系中的点联系起来，对于变量的含义也理解较难，系数对函数的影响也不方便直观体现，画太多的图课堂时间也不够，意义也不大，此时借助几何画板可以很好地解决这个问题。以二次函数为例，不妨先定义3个参数，a=1，b=1，c=1，画出函数y=ax2+bx+c，研究a对函数的影响时，b，c不变，取多组a的值，观察a对图像的影响，研究b，c时，也用同样的方法。这样用大量的实力，更直观，更有说服力，也更有效率。

四、最值问题

在初中数学的问题中，最值问题经常难到许多学生，但其实几何类的最值问题，也都可以用几何画板来帮助学生直观的找到最值的点，培养学生思考。

例：如右图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点.

（1）求该抛物线的解析式;

（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标;若不存在，请说明理由;

（3）如图2，在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若没有，请说明理由.

这一题（2）问通用的讲解方法就是任取一点Q，把△QAC的周长先表示出来，发现CA是定长，所以周长最小值就是QA+QC的最小值，由此联想到将军饮马，最后求出Q点坐标。但是将军饮马问题对初中的学生理解起来依旧是难点，所以这里可以在找QA+QC的最小值时，用几何画板演示，让学生先感知QA+QC的变化规律。再把C关于对称轴的对应点做出来，重新把动点Q再运动到刚刚周长取最小值的位置，会发现此时C，Q，A在同一直线上。这样就加深了对将军饮马问题的理解。

第三问同样，在找△PBC的面积最大值时，可以先用几何画板把PBC的面积度量出来，在P运动的过程中，观察面积的变化情况，也培养对动点运动的想象能力，再通过思考出面积的表达式，计算面积最值。

总的来说，图形的研究和学习，（需要大量实例作为基础的）定理的推导，图形的变换，函数的学习和运动过程的，都很适合以几何画板来呈现，即能提高学生对于几何图形的认知，又能提高课堂的容量和效率，还可以提升对动点的感知和思考。

[参考文献]

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