基于数学史的“方程”教学

黄桥森

摘要：方程作为学生首次接触代数思维的重要概念，历来是小学数学教与学的难点。由于学生在数学学习过程中的认知障碍与历史上数学家所遇到的困难具有历史相似性，研究首先梳理方程的发展历史，在此基础上设计基于数學史的“认识方程”教学，以期帮助学生理解学习方程的必要性。

关键词：方程 数学史 教学

方程作为学生首次接触代数思维的重要概念，历来是小学数学教与学的难点。[[]]在实际教学中，由于算术思维定势，学生往往难以理解方程的抽象性和必要性，产生了“明明可以算术解题，为何还要引入方程解题？”等疑惑，未能形成主动学习方程概念的心理缺口。研究表明，学生在数学学习过程中的认知障碍与历史上数学家所遇到的困难具有历史相似性。[[]]因此，本文将简单梳理方程的历史，在此基础上分析教材的编排体系，最终设计基于数学史的“认识方程”教学。

一、“方程”的相关历史

1.用文字表示方程与解法

方程最早诞生于古巴比伦时期， 是利用文字来表示一个代数问题及解法。

遗憾的是，文字描述的方式不具备现代方程的简洁性，只是单纯用作记录某种特定题目的简便方法，便于后人流传。

2.用缩写表示未知数

公元3世纪前后，古希腊数学家丢番图首次利用字母音节“ζ”表示未知数。“假设两数的和是100，差是40，较小数为ζ，则较大数是40+ζ，可得出2ζ+40=100，求得较小数ζ=30，较大数是70。”

这种缩写表示，极大地方便了书写，但这仅是指定词组字母代替题目中的特定未知数。如果未知数的量不同或读法不同，则列出的方程也不同，解法也相距甚远。

显然，缩写表示，并没有给解方程带来更大的便捷性，有待进一步的简化。

3.用字母表示“任意数”

16世纪初，法国数学家韦达认识到一般二次方程（我们今日的表示方法）所处理的是整个一类的表达式。他将表示为

从这开始，字母表示为任意数的符号。[[]]这既解决了缩写表示的局限性，给予二元一次方程更加简捷的解答，又为现代方程的小写字母表示方式打下基础。

概述方程的发展史，就是人们围绕便捷解题的核心要义，不断将方程符号化、程序化、简洁化的一个过程。

二、教材中的“方程”教学

以北师大版《认识方程》第三课时“方程”为例，教材以天平平衡关系为切入口，引导学生用字母表示等量关系，从而给出了方程的特征概念，强调的是学生思维的循序渐进。然而教无定法，从基于数学史的角度分析，教师能从以下两点对教材进行解读。

首先，这样的教学编排与历史事实不符。其次，教材内容未能较好体现学习方程的必要性。方程的价值是便捷解题，但第二学段的解决问题，大部分易于使用算术方法，只有少部分问题要求使用方程解题，可能会造成了学生对学习方程的不理解和不重视。

那该如何进行“方程”教学，突出方程的优越性和必要性呢？基于数学史的“方程”教学未尝不是一个好的设想，值得我们探究。

三、基于数学史的“方程”教学

数学教学应“淡化形式，注重实质”。[[]]方程，归根结底是人们解决问题的一种高效方法。因此，在实际教学中，我们可以以解决代数难题为核心，引导学生初步认识方程的定义与概念，感受方程的便捷性和优越性。

1.复习旧知

以练代讲，完成“用字母表示数和等量关系”复习题，为学生知识迁移做好铺垫的同时，渗透符号化思想。

2.初识方程

（1）探究丢番图问题，尝试语言表述方程与解法

问题1：已知两数的和是100，差是40，求这两个数是多少？

设计意图：采用“复制式”的教学方式，设置具有挑战性的算术难题，激发学生的探究欲望，体现引入方程的意义。

启发性提问：假设这两个未知数，一个叫较大数，另一个叫较小数，那题目中的等量关系如何表述？

设计意图：引导学生利用文字表示未知数，再译成“文字方程”，可降低学生的认知负荷，发展简单的代数思维。

（2）初步尝试，用符号表示等量关系

问题2：除了文字表述，我们还可以用什么表示未知数？试一试，用你喜欢的方式表示两个未知数，然后表述题目的等量关系。

设计意图：鼓励学生对数学问题进行大胆假设，经历探索发现的过程，培养学生的创新意识。

问题3：你能不能用学过的“字母表示数”方法呢？请用你喜欢的字母表示其中一个未知数，另一个未知数如何表示？

设计意图：进一步分解问题的难度，引导学生使用丢番图的方法，体验方程的便捷性与简洁性，数学化简为易的乐趣。

（3）设一个未知数，表示等量关系

问题4：现在，你能用这个你喜欢的未知数列出一个关于此问题的等式吗？

设计意图：大胆鼓励学生进行自主探索、解决问题，培养学生灵活运用知识解决问题的能力，再次感受方程表示问题的简洁性及优越性。

师生共同归纳得出：如果可以求解这个含有未知数的等式，就能更高效地求解此类问题。此时给出方程的定义：“像这种含有未知数的等式，可以更高效地求解一些数学问题，我们称之为方程。”这样，既可引起学生学习后续解方程的兴趣，又能解决学生对方程作用的疑惑。

四、小结

现行小学教材中，方程教学多以简单的等量关系为切入口，定义方程为“含有未知数的等式”，这种处理方式能帮助学生较好的降低认知负荷，是一种科学高效的编制方式。稍显遗憾的是，如此无法让学生更好的体会到方程的必要性和优越性。而基于数学史的“方程（认识方程）”教学，则是从方程产生的背景出发，以解决历史难题为导向，逐步引导学生对方程认知符号化、程序化。既可帮助学生充分体验方程的意义，又可明晰方程解题的优越性，夯实最基本的代数学基础。综上所述，基于数学史的“方程”教学模式不失为一种不同的教学尝试。