渐进均匀化理论在复合材料力学性能中的应用

蒋春霞，黄志成

(广东理工学院，广东 肇庆 526100)

0 前 言

复合材料是由两种或多种材料按一定的配合比经过特定的规则复合而成的新型材料，复合材料在物理和化学性能上比其他的组成材料都有无法比拟的优点，因而广泛应用于各个领域。为了更好地掌握复合材料的配合比，很多专家做了很多实验得出了如自洽法、代表体元法、有限元法、均匀化方法等多种方法。每一种方法有各自的优点和适用范围，自洽法一般用来分析结构较为简单的复合材料，代表体元法的结果比较粗略但其简单易行，均匀化方法是近代才开始提出的，在国内外很多专家都对它展开了比较多的研究。本文是利用有限元方法进行数学求解，从周期性分布的单胞出发，将宏、微观变量利用小参数进行耦合，对碳纤维增强木质复合材料的力学性能进行渐进均匀化方法应用研究。

1 复合材料制备

本次实验用的制备复合材料的原材料有短切碳纤维、木质纤维、脲醛胶粘剂、异氰酸树脂胶和固化剂等。用不会对原材料的性能产生影响的异氰酸树脂胶把搅拌均匀的原材料粘好，然后成型。将成型后的复合材料放入实验室设定的特定温度和湿度的环境中，待温度和材料质量达到恒定，记录实验数据，制图得出图1所示的宏观图。其中图1(a)为普通木纤维板，其他的为碳纤维增强木质复合材料板。

(a)普通木纤维(MDF)板

(b)SCFRW板(F/M=1∶10)

(d)SCFRW板(F/M=3∶10)

(e)SCFRW板(F/M=4∶10)

(f)SCFRW板(F/M=5∶10)

2 测试复合材料的性能

实验室采用万能力学实验机测定碳纤维增强木质复合材料板的弹性模量，实验数据如表1。 其中F 为碳纤维质量，M 为木纤维质量。弹性模量计算公式为：

式中，l为支座间的距离; b为试件宽度; h 为试件厚度; Δf 为内力增加量; Δs 为变形量。

表1 实验数据

3 利用渐进均匀化理论计算

渐进均匀化理论是利用渐进扩展和周期性假设来求解带有快速振荡参数的微分方程，一般情况下，复合材料在宏观结构上表现为均质性，在微观上呈现出非均质性。如图2。

图2 复合材料的微观图

与材料的宏观几何尺度(用x表示)相比，单胞尺度(用y 表示)是很小的量，结算时用小参数ε( 0<ε<1) 来代表单胞特征尺寸，小参数ε=x/y。把位移场量u 以ε 作渐进级数展开，得到关于宏观变量x和微观变量y的位移场函数,公式为：

u(x)=u(x,y)=u°(x,y)+εu1(x,y)+ε2u2(x,y)+O(ε3)

式中，u° ( x，y) 、u1( x，y ) 和u2( x，y) 分别为第一、二和三项基底函数; O 表示高阶无穷小，计算时趋近于0。

图3为周期性排列的微观结构及单胞。

图3 周期性排列的微观结构及单胞

周期结构单胞的等效弹性模量为：

解上面方程式的方法可以用有限元方法，可以先求解出单胞施加载荷与周期性边界条件，最后再计算特征位移。

4 仿真实验数据

周期性边界条件：利用周期性分布假设计算单胞内的节点位移场公式：

弹性模量：建立微观单胞模型对微观单胞上各节点的弹性模量进行求解。求解特征位移，如果是单胞，对其z方向的节点施加单位位移载荷，对其求解可得单位节点反力，再把周期性边界条件加进去，得到单位节点反力施加到单胞节点上的效果，经求解后即可得到特征位移，其等值线分布如图4所示。

图4 特征位移的等值线分布

最后可对单胞施加均匀应变时，观察到碳纤维的应力值大于基体应力值，且在这个变化过程中，碳纤维承受了复合材料形变中的主要应力。由此得出碳纤维的加入大大提高了复合材料的力学性能。

5 结 论

进行渐进均匀化理论计算必须有满足一定要求的数学理论基础，与其他的一般计算方法如工程经验法相比，在计算上虽然复杂了很多，但在精度等很多方面都有了很大的提高。本方法建立了微观单胞模型，可以利用计算机来简化复杂的计算过程。通过以上的实验可以得出以下几个观点：①仿真数据与实验数据基本一致，这说明了渐进均匀化理论计算方法可行；②为了计算的简化，采用了周期性假设在本实验中是可以的；③本文的实验数据和计算方法为复合材料的工业化设计和生产提供了一定的参考意义；④本文在实验数据处理过程中采用一定的假设和近似计算，也没有考虑内结合强度对材料力学性能的影响，所以其数据结果与实际数值还是有一点的误差。

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