一种弯曲主导型热膨胀点阵超材料的带隙特性研究

刘成龙,许卫锴,吕树辰,祁武超

(沈阳航空航天大学，辽宁省飞行器复合材料结构分析与仿真重点实验室，沈阳 110136)

0 引 言

声子晶体(phononic crystal, PnCs)[1-3]是一种具有周期结构的人工材料，由于其所具有的特殊色散特性，能对带隙频率范围内的声波/弹性波产生抑制或调控作用，从而在波导、频率滤波器、声学隐身和振动控制装置等实际装置的设计中具有潜在的应用前景[4-8]。声子晶体带隙产生方式有Bragg散射机理[9]和局域共振机理[10]两种，无论哪种机理基本都是通过合理的构建周期性微结构以实现其带隙特性。相比于自然材料，人工超材料能够通过合理的微结构设计以满足不同的设计需求[11-12]，因此成为各个领域研究的热点。

当前科技的发展对材料的设计提出了更严苛的要求。对于带隙材料来说，主要体现在带隙的可调谐性和多功能性。一方面，当声子晶体的微结构确定后，其带隙频率也随之确定，无法适应振动环境的改变。目前的研究主要集中于通过外加电、磁、热等物理场使材料的参数或形状发生改变以实现带隙性能的调控[13]。另一方面，材料的工作环境往往存在光、电、磁、热、力等多场耦合的情况，因此对材料的不同属性提出了新的要求。例如，声光子晶体(Phoxonic crystal, PxC)可以同时实现声带隙和光带隙[14]。

在航空航天等领域中，结构与材料在服役过程中往往需要应对多种物理场的耦合作用，如微电机系统、高超声速热防护系统，结构与材料既需要应对温度的变化，又需要在一定程度上应对振动和噪声的挑战。因此，在设计具有特定热膨胀功能的结构时，考虑其是否具有带隙特性逐渐成为一个重要的科学问题。目前对特定热膨胀系数材料的实现已经得到了广泛的关注[15-17]。考虑到实际工程承载需求，Lehman和Lakes等采用三角形超材料单胞(Lehman-Lakes单胞)实现高刚度的设计[15,17-18]。然而，Lehman-Lakes单胞的连接方式为铰接，不易制备，Zhang等[19-20]将其改进为固定连接(JTCLM单胞)并通过合理的材料/尺寸设计提高了结构的刚度特性。王炳达等[21]进一步揭示了JTCLM单胞的许用温变设计。

迄今为止，研究人员在热膨胀材料的设计领域取得了丰硕的成果，但仍缺乏对热膨胀材料的带隙分析研究。可以看出，不论是Lehman-Lakes单胞还是JTCLM单胞，其拓扑构型都与三角形蜂窝材料类似，即有可能会存在带隙特性。另一方面，单胞参数的改变将有可能会改变带隙的频率范围。因此，对考虑热膨胀系数设计的JTCLM单胞进行带隙研究，并讨论相关尺寸对膨胀系数的变化和带隙的影响成为必须要考虑的关键问题。

本文通过有限元方法分析了JTCLM单胞的带隙特性，并讨论了单胞的可设计几何参数对能带的影响。研究表明，肋条的弯曲是JTCLM单胞产生带隙的重要因素，通过调整单胞的几何参数，可以实现点阵材料的带隙特征调控。

1 模型与方法

1.1 JTCLM单胞拓扑构型

本文选取文献[19]中的JTCLM单胞作为研究对象，如图1所示。其中材料1是因瓦，一种低热膨胀系数的合金材料；材料2是钢，一种热膨胀系数较高的材料。其参数如表1所示。其中L=50 mm，L0=30 mm；θ和r分别为弯曲角度和弯曲半径，代表了肋条双材料部分的弯曲程度。

表1 复合材料中组分材料的参数

1.2 能带结构计算

弹性波在线弹性、各向同性的无源介质中的控制方程为[22]

ρ(r)-1{▽[μ(r)▽×u(r)]-▽[(λ(r)+2μ(r))(▽·u(r))]}=ω2u(r)

(1)

式中：ω为角频率；r(x,y,z)为位移矢量；u(r)为位移向量；▽=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)为微分算子；λ(r)和μ(r)分别为介质的拉梅常数；ρ(r)为介质密度。这三个材料参数和周期结构具有相同的周期性。

根据布洛赫定理，有

(2)

式中：k=(kx,ky)为第一布里渊区内的波矢；G为正格矢任一倒格矢。由于平移周期性，一个晶胞的空间内场分布与整个晶格结构的周期性是相同的。在晶体学中，倒格点阵中从某一格点出发,做与相邻格点的垂直平分面,所围成的空间就是第一布里渊区，将第一布里渊区对称后得到的区域称为不可约布里渊区。对于由JTCLM单胞组成的点阵超材料，其Wigner-Seitz原胞可取为图2(a)所示六边形，其不可约布里渊区如图2(b)阴影部分所示。对于带隙分析，只需要使波矢k历遍不可约布里渊区的边界，即可得到该声子晶体的带隙。

2 结果与讨论

对于图1所示的JTCLM单胞，其等效热膨胀系数可由q，m，n，α1、α2，θ六个参数确定。一旦材料被选定后，则热膨胀系数α1、α2，模量比n也将确定，此时单胞的带隙特性主要受其形状影响。因此，本文将重点讨论几何参数对JTCLM单胞带隙的影响。由于JTCLM单胞组成的热膨胀点阵材料只在x-y平面内体现零膨胀特性，因此本文只考虑二维带隙即x-y平面内带隙。

2.1 弯曲曲率的影响

JTCLM单胞的弯曲部分是圆弧。当弯曲曲率不同时，其曲率半径和圆心位置也将改变，不易对双材料弯曲部分进行直观表述和操作。因此可沿肋条方向定义起点M，终点N。点Q是曲线过两端点的切线的交点，将其称为控制点。利用点Q纵坐标的变化可以更加直观的表述θ的变化，如图3所示。由几何关系可知

(3)

可以看出，y的值越大，弯曲角度θ也越大。

图4显示了点Q纵坐标y=12 mm，m=1，q=0.6时的前16阶带隙图。可以看出，在5.35～7.74 kHz、10.42～14.39 kHz和17.93～20.96 kHz出现了3条较宽的带隙。为了进一步描述不同的弯曲曲率对带隙的影响，通过计算不同点纵坐标的带隙进行规律对比。对比图如图5所示。

由图5可以看出，y=0 mm时，与常规的三角点阵结构一样，并未出现完全带隙[23]。此时肋条部分可以等效为一直杆。当肋条开始变弯后，意味着结构的对称性降低，更易于产生带隙[24]，因此在1.8 kHz、3.5 kHz、7.2 kHz、13.6 kHz、21 kHz附近开始出现带隙，但带宽较窄。随着点Q纵坐标y的增加，6～10 kHz频段内的带隙宽度先变宽，在5 mm处达到最大宽度，随后带隙宽度变窄，带隙频率范围整体有下降的趋势；当y增大到7 mm后，10～14 kHz频段和21 kHz频率附近的带隙宽度明显变宽，且带隙频率范围整体有下降的趋势，尤其是带隙的下限下降明显。3.5 kHz以下的带隙频率范围没有明显变化。这是由于q保持不变时，弯曲程度的改变相当于振子(弯曲部分)等效质量的改变，y值越大，振子的等效质量就越大，从而出现禁带频域整体下移的趋势。

2.2 厚度比的影响

图6显示了y=12 mm且q=0.6时带隙结构随厚度比的变化规律。由于m表示的是两种材料的厚度比，为了更好的描述材料在整体厚度的占比，用无量纲参数m/(m+1)表示厚度比值的变化。这里分别计算了厚度比从0.2到0.9的带隙情况。可以看出，随着厚度比的增大，带隙频段出现了整体上移的趋势。这是由于m/(m+1)代表的是材料1的厚度占比，其值越大表示结构的刚度越大而振子(材料2)质量越小，因此出现禁带频域单边上升的趋势。

2.3 长度比的影响

图7显示了固定y=12 mm且m=1时带隙结构随q值的变化情况。严格地讲，q值的变化所引起的单胞构型差异化相较前两节的曲率或厚度要大得多。当L0改变时，双层材料部分的弯曲程度也会受到影响，因此，更复杂的单胞构型差别使得它们的带隙特征没有出现明显规律，如图7所示。根据Zhang等[19-20]的研究，考虑结构的刚度设计时q不应过小，因此在进行材料设计时q的取值范围为0.6～0.9。

3 结 论

JTCLM单胞点阵复合材料在满足特定热膨胀系数设计的同时，也具有声子晶体的带隙特性。本文对该单胞的带隙特性进行了研究，讨论了不同几何参数对带隙特征的影响，并得到以下结论。

(1) JTCLM单胞点阵复合材料属于弯曲主导型的热膨胀材料，当肋条存在弯曲曲率时会产生带隙，且带隙特性受形状影响较大。

(2)针对不同曲率、不同厚度比和不同长度比的单胞带隙分析，给出带隙随几何参数改变的分布规律图，为实现热膨胀/带隙双目标的超材料设计提供了理论依据。

(3)通过合理的选材和形状设计，有望实现特定膨胀性质和带隙设计的双目标共赢，使材料具有更好的可调谐性和多功能性。