对一次失败比赛的反思——在教学中如何诠释数学的本质

■福建省漳州市第七中学 郑喜红

这次比赛我讲课的内容是北师版九年级上册第二章的一元二次方程，这节课教学目标是让学生学会自如地运用各种方法解方程。在课堂上，我向学生呈现了3种方程的解法——公式法、配方法和因式分解法，并以从简单到复杂的教学过程来教授一元二次方程的解法：先讲解只含有二次项ax2的一元二次方程的解法，再讲解含有一次项和二次项ax2+bx 的一元二次方程的解法，最后讲解一元二次方程的一般方程ax2+bx+c=0的解法。下面是我的课堂实录。

一、课堂实录1：配方法

例1.某牧场试验基地要建一个长方形羊圈，羊圈的一边靠墙，墙长50m，另三边用木栏围成，木栏总长80m。

（1）羊圈的面积能达到200m2吗？（精确到1m）

（2）羊圈的面积能达到400m2吗？（精确到1m）

（3）羊圈的面积能达到450m2吗？（精确到1m）解：设与墙垂直的一边长x m，则与墙平行的一边长（80-2x）m。

∵墙长50m，即0≤80-2x≤50，解得15≤x≤40

∴x1= 37，x2= 3（不合题意舍去）

答：羊圈的面积能达到200m2。

根据课标要求，讲解上述例题的教学目标是让学生了解和掌握用配方法解一元二次方程的过程，而课堂上的反馈也说明学生接受这种解法并不难，于是我让学生利用配方法解剩下的两小题，并准备在学生掌握配方法后将课堂知识拓展到一元二次方程几种解法的对比上。

在讲解完例1 后，我认为学生对配方法的认识不应只停留在解一元二次方程这样粗浅认知上。于是我大胆尝试，在此时引入二次函数知识（九年级下册的知识）。

二、课堂实录2：二次函数

这部分我通过以下5个问题引导学生思考。

1.上面的3 个小题中的200，400，450 可以换成其他数据吗？

2.把等式中的200，400，450换成y。我们该如何认识y=x(80-2x)呢？它确切说是二次函数，为什么？

3. 只是把数字换成y，你会用配方法解y=x(80 - 2x)吗？

4.这么配方的依据是什么？配方的方法与一元二次方程异同点是什么？观察配方结果的式子你可有什么发现，得到什么结论？这结论与一元二次方程的关系是什么？

5.一元二次方程通过配方法你可以得到什么样的学习经验？二次函数呢？

三、反思学生的学习过程

虽然学生没学过二次函数，但有学习一次函数的知识基础，他们很快认识到随着x的变化y也变化，且自变量的最高次数为2，这样的函数可以定义为二次函数。当y= 0 时，经过提醒和类比一次函数，学生可以理解被求解方程的根的几何意义就是二次函数与x 轴的交点坐标。但在对二次函数y=x(80 - 2x)进行配方时，相比较第1 问的解答，几乎所有学生都无从下笔，这是最难的点，我认为学生主要是对配方原理摸不着头绪，在运算时更多的是死记步骤，生搬硬套，换句话说在学习完全平方的公式时会算会化简，在配方时会依葫芦画瓢，但他们对公式本质的认识是割裂的。

对比教学：

以上的对比学习充分说明了配方与完全平方的关系，它们同根同源，只是呈现方式不同而已。课上到这里，时间也到了。当时从学生表现上看，他们觉得这节课的知识并不是很难。可后面的画风转变，调动了他们学习的积极性。一节课就此节节盘旋上升，在一个知识点的后面还有一个个小高峰等着他们去挑战，师生们都一同感觉到解决问题的酣畅淋漓和一节课应该有的充实感。更重要的是从配方法过渡到二次函数，让学生兴奋极了，感觉到配方法有了更深入的应用。

四、结语

我的课题名称是对一次失败比赛的反思，比赛过程不在此累述。我对这节课这样上进行了反思：我本节的教学目标是什么？有否天马行空，是否有踩香蕉皮滑到哪算到哪？我的教学过程符合教学逻辑吗？处理教材方式有哪些值得保留。学生的思维有得到培养吗？他们在学习过程中思维障碍很大吗？这样教适用于什么程度的学生呢？在介绍配方法解方程中跨越到二次函数求顶点，若学生顺利学会，之前我该怎么教，这节课之后我又该怎么教？这节课的教法颠覆教材、颠覆旧教法。传统上在教学二次函数是从y=ax2开始，画图，说性质，形数结合，渐进到y=ax2+bx，再学习y=ax2+bx+c。深入浅出，步步逼近难点，这样上，老师心里踏实，一定也是符合学生认知水平。

在这节课后，我通过学生的反馈，发现同学们学得会，问题想得到，思路理得清。应该是在学习函数概念时可以提一次函数，反比例函数，二次函数都是y随x变化而变化，在学习一次函数时就要突破图像与性质间的互相说明印证，所以当提出y=x(80 - 2x)是什么函数，学生会答。当y= 0 时学生可以知道它代表函数与x轴交点，但是我们尚未学习任何一种二次函数的图像，所以，如何说明当y取不同数值时求出的x值是什么意义。同时我还在思考配方法在二次函数中对求二次最值在这可以让学生自己观察配方后去思索二次式而生成对二次式子的性质。

但是从配方的结果中我们可以分析不论x取何值形如(x- 20)2是非负数，那么-2(x- 20)2最大值为0，而y=-2(x- 20)2+800的最值是800。那么当y取值400，450 时为什么有的是两解，有的是无解，在这不做解释，我们只是通过这样一节课让同学们体会配方知识的多姿多彩。