顺应学生思维 发展核心素养

李玲锋 成冬元 黄兰妹

在2019年广西普通高中数学关键问题教学设计主题教研暨优质课评比活动中，来自不同地区的两名教师同课异构《角的概念的推广》（人教A版必修4三角函数1.1.1），优点和不足之处惊人相似.这不由得引发了我们的深思：高中数学概念教学，究竟应该是“顺应”学生的思维，还是“顺着”课前的教学设计“顺利”地走完流程呢？本文将基于本次活动中二等奖第一名的该课例教学，谈谈我们对高中数学概念教学的思考.

一、课例实施过程回顾及评析

（一）创设情境，以旧引新

师：同学们喜欢看奥运会吗？下面我们一起来回顾几个精彩片段，请看视频.（师播放视频）在刚才的视频中，解说员说了几个数据？

生：540°，1 080°，后曲两周.

师：这是体操运动员在翻转过程中形成的角的度数.大家回想一下，在初中我们是如何定义角的？角的范围有多大？

生：由公共端点的两条射线组成的图形叫作角，角的范围是[0°～360°].

师：（问题1）初中我们学过的角一般不超过360°，而实际生活中有很多角超过了360°，你能举出生产生活中其他大于360°的角吗？

生：电风扇旋转、车轮旋转、摩天轮旋转、齿轮旋转等.

教师展示生活化的幻灯片图片（略），提示图片中的“这些角”都是在运动过程中形成的.很明显，初中所学角的定义已经不能满足实际生活的需要，高中数学有必要将角的概念进行推广（板书课题：角的概念的推广）.

点评：创新情境，制造认知冲突，让学生体验新知产生的过程、感受数学来源于生活.执教教师通过大量实例让学生认识到初中所学角的定义和范围的局限性，顺势引出高中数学角的概念的推广.

（二）探究问题，建立概念;数形结合，研究概念

1.任意角的概念

师：（问题2）用初中所学角的知识能否解决以下问题？（课件出示问题：①表慢了5分钟，如何将它校准，此时分针应该旋转多少度？②钟表快了1.25小时，如何将它校准，此时分针应该旋转多少度？）哪位同学上台来帮忙校准钟表？（学生上讲台演示校准钟表）这位同学在校准钟表的过程中，分针发生了怎样的变化？

生：慢5分钟，可顺时针旋转30°;快1.25小时，可逆时针旋转[450°].

师：这位同学在两次校准钟表的过程中，分针的旋转所形成的角有什么不一样吗？

生：大小和方向不一样.

师：（问题3）通过这个实验，你们觉得我们还可以从哪个方面来描述角？

生：旋转方向和旋转大小.

师：既然可以从旋转方向来描述角，那么我们如何从旋转的角度来给角下定义呢？（师板书角的定义，见图1相关内容）

师：（问题4）现在，我们对角有了两种定义.请问初中定义的角和高中定义的角有什么区别？

生：初中所学角的范围是[0°～360°]，高中所学角的范围是任意角;初中所学的角不旋转，高中所学的角是旋转而来的.

师：初中的角是静态角，高中的角是动态角.下面我们通过几何画板演示角的生成……

接下来，执教教师一边演示一边讲解，间或板书任意角有关概念（如图1相关内容），指出正角、负角只是表示具有相反意义的旋转量，正、负规定纯属习惯，并举出一两个角作图示范，如60°角、-240°角、390°角.再利用几何画板演示正角、负角的形成过程，一个是逆时针旋转，一个是顺时针旋转，正角可以无限大，负角可以无限小，从而将角扩展为任意角.最后强调三点：①在不引起混淆的前提下，“角[α]”或“[∠α]”可以简记为“[α]”;②零角的终边与始边重合，如果[α]是零角，则[α]=0°;③角的概念经过推广后，包括正角、负角和零角.

点评：执教者创设情境引发探究，首先让学生从旋转量与旋转方向来描述，然后再引导学生与初中所学知识进行对比，并运用几何画板让学生直观体验角由旋转而成且有正负之分、角既可以无限大也可以无限小，让学生一方面从运动的角度重新认识了角，另一方面加深了对任意角的概念及角的分类的认识.值得一提的是，当学生提出可以从“旋转方向和旋转大小”两个方面去描述角的时候，教师如能适时追问“你认为刻画这些角的关键是什么？”“如果把旋转中心作为角的顶点，如何表示不同的旋转方向呢？”“为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作出怎样的规定？”“如果射线没有作任何旋转，它还能形成一个角吗？”，便可以“顺应”学生的思维，自然地引出角的一系列概念，从旋转方向导出旋转量，从而将学生的自主探究引向深入，进一步引发学生的认知冲突，让学生“自主发现”正角、负角、零角与旋转方向的关系，并能利用任意角的定义来重新回答问题3中的情境问题.

2.象限角的概念及扩充

师：（问题5）为了讨论问题的方便，我们常在直角坐标系中讨论角.如果把角放在直角坐标系中，那么怎样放既方便又合理？

生：把角的顶点放在原点上.

师：在直角坐标系中表示角，对角的顶点和始边有什么要求吗？

生：顶点与坐标原点重合，始边与非负半轴重合.

师：（追问）角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角（课件呈现象限角概念及相关判断题，如图2），如60°角、210°角、-240°角（演示动画，以同一條射线为始边，在坐标系中画出所列举的角;之后让学生判断图2中的练习题，学生顺利作答）.那90°角呢？

生：不属于任何象限，不是象限角.

师：角的终边落在坐标轴上，此角不属于任何象限，这种角称为轴线角，如90°角、-90°角.你还能举出其他的轴线角吗？

生：0°角、180°角、270°角、360°角……

点评：对角的概念进行推广，让学生进一步理解象限角的概念，可以培养学生的数学探究能力，强化数形结合思想，为下面引出“终边相同的角”做铺垫.

3.终边相同的角

师出示问题，要求学生独立、规范作图，完成练习2（如图3）;学生独立思考，小组讨论;教师选择学生代表作答，投影学生作品并点评，指出学生作图中的问题，并小结“象限角只能反映角的终边所在的象限，不能反映角的大小”，于是引出终边相同的角.

师：（问题6）观察在直角坐标系中第一组角的终边，你有什么发现？

生：终边再转一圈、两圈，又可以回到-32°角这个位置.

师：（问题7）从形上看它们终边相同，从数量上来看，这些角有什么关系吗？

生：（学生讨论后，小组代表作答）与-32°角终边相同的所有角，在数量上都与这个角相差360°的整数倍.

师：（投影展示学生讨论结果并追问）你能用一个式子来表示与-32°角终边相同的所有角吗？

生：-32°+[k]·360°，[k∈Z].

师：非常好，谢谢这位同学！（停顿）这样的角有多少个？

生：无数个.

师：（问题8）如何用集合表示与-32°角终边相同的所有角？

生：[S={β | β=-32°+k·360°，k∈Z}].（师用几何画板给学生演示相关答案，如图4）

师：（问题9）那所有与60°角终边相同的角的集合如何表示？所有与[α]角终边相同的角的集合如何表示？

生：把式中的-32°改为60°或[α].

在师生的交互中，终边相同的角的概念呼之欲出.所有与角[α]终边相同的角，连同角[α]在内，可以构成一个集合：[S={β | β=α+k·360°，k∈Z}]，即任一与[α]角终边相同的角，都可以表示成角[α]与整数个周角的和.然后师生共同分析终边相同的角的概念需要注意的问题，强调三点：（1）[k∈Z].（2）[α]是任意角.（3）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同;终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.

点评：执教者让学生通过作图感受角的形成及角的终边位置，从中引出终边相同的角的概念;通过交流讨论可以从形和数上描述与-32°角终边相同的所有角，发现终边相同的角相差360°的整数倍的规律;通过用几何画板演示，让学生进一步體会终边相同的角周而复始的变化规律，进而归纳出终边相同的角的表示方法，初步认识用集合表示终边相同的角需要注意的几个问题.以上教学过程层次清晰，有机地渗透了数形结合的思想以及从特殊到一般、从具体到抽象的归纳思想，培养了学生的数学观察和逻辑推理能力.

（三）概念应用，拓展创新

教师课件出示教材中的例1（在[0°～360°]范围内，找出与[-950°12′]角终边相同的角，并判定它是第几象限角），引导学生分析讨论找到[k]值的方法，学生尝试演算后作答.

生：[129°48′=-950°12′+3×360°].所以在[0°～360°]范围内，与[-950°12′]角终边相同的角是[129°48′]，它是第二象限角.

于是教师示范解题步骤（略）.

在拓展创新环节，教师给出变式1（写出与100°角终边相同的角的集合[S]，并把[S]中在[-360°～720°]范围内的角写出来），让学生自行解决;学生展示答案，教师适时点拨.

之后是出示例2（写出终边在[y]轴上的角的集合[S]）.教师引导学生先在[0°～360°]中找到满足条件的角，再写出终边在[y]轴上的角的集合.两个学生给出了两个答案，生1的答案是[S={β | β=90°+k·360°，k∈Z}]，生2的答案是[S={β | β=][270°+k·360°，k∈Z}].教师再次点拨：集合化简的目标是形式上统一，以上两个集合求并集的关键是把270°改写成[90°+180°].

点评：概念应用，一是从静态角度巩固理解“终边相同的角”的表示方法，二是从动态角度体会角的终边旋转180°后得到[α=90°+k×180°（k∈Z）]的过程，运用了由形到数、由数到形的数形结合思想方法，顺利突破了教学难点，很好地顺应了学生的思维.

（四）课堂小结，课后作业

在课堂的最后，教师本想引导学生小结“本课学习了角的哪些相关知识”，在学生短暂语滞后，便自行总结包括任意角的概念，正角、负角、零角、象限角、轴线角的定义，终边相同的角及其表示等相关知识了;最后是布置课后作业（过程略）.

二、总评及概念教学的深度思考

如何让概念教学的过程由抽象变具体、由枯燥变生动，使学生更好地理解和掌握数学概念，这是当前中小学数学教师必须认真思考的问题.在上面的课堂教学中，教师通过创设问题情境，以问题串的形式引导学生展开学习过程，问题导学特征明显：从反思初中所学角的定义的局限性，激发学生扩充角的定义的欲望，进而得出任意角的概念，再在探究研究角的方法的过程中发现角的终边重复出现的特点，最终在直角坐标系中得到象限角和终边相同的角的表示方法，一步一步地将学生引入本节知识的核心内容，整个教学设计自然、流畅.但是，执教者因过度关注课堂进程能否按预设顺畅进行、能否在规定时间内完成课前预设，导致课堂教学多个环节有意无意地忽略了学生真实的思维状态，教师以自己内心深处的有序思维“顺走了”学生的无序思维.我们认为，课堂教学尤其是概念课教学顺应学生思维，是2017年版高中课标要求的发展学生学科核心素养的重要体现.

根据皮亚杰的观点，顺应是主体的图式不能同化客体，必须建立新图式或调整原有图式，引起图式的质的变化，使主体适应环境的过程.在课堂教学中，我们倡导教师顺应学生的思维展开教学，确保学生最终都能够用数学的方式去发现和提出问题、分析和解决问题，从中发展数学学科核心素养.本课教学在顺应学生思维方面，需要努力做到以下几点.

第一，尊重学生的思维现状.本课问题导学特征十分明显，但是，面对学生在课堂教学中各种始料不及的反应或作答，教师应尊重学生的思维现状，通过洞察学生的思考过程，敏锐地捕捉到稍纵即逝的课程资源并对这些资源进行合理、有效的挖掘，让自己的问题更能体现发展学生核心素养的学科教学要求，进而引导学生学会积极、主动、有建设性地思考.比如在本课“数形结合、概念深化”环节，当教师与学生共同校准钟表后，教师不应硬拉着学生给出角的定义，而应顺应学生的思维，有梯度地展开追问（见上文点评），这样才能更好地发展学生的数学抽象思维.置学生的思维现状于不顾，生拉硬扯地往预设环节上走，长此以往，必然会消磨学生数学学习的兴趣，泯灭学生数学学习的智慧，阻碍学生数学学习的成功体验.

第二，留给学生思考的空间.杨振宇教授在对比中美学生的差异时谈道：“中国学生学得多，悟得少;美国学生则学得少，悟得多.”剖析其中的原因，我们认为是我们的教学把课堂塞得过满，学生根本没有时间去体悟自己所学的东西.要学生悟，就要给学生一些启发、一些思考的余地和能够自由控制的时间[1].目前我们的教学现状基本上还是教师讲、学生练，也就是学生学得多、悟得少，教师为了完成教学任务总是用自己的思考替代学生的思考.数学学习是一个充满价值判断的过程，学生面临困难时，首先有一段含有价值判断的“尝试推理，窥测方向”，然后才是带着一定逻辑意义的行为，并用可以言传的方式表达出来.比如本课在“概念应用，拓展创新”环节让学生探究终边相同的角之间的关系以及探究例1解题方法的过程中，执教者便有意无意地取代了学生面临问题时“窥测方向”的过程，也就是忽视了学生面临问题时的原创思维，造成了学生思维的断层.课后与执教教师交流，的确是“为了尽快完成预设的教学任务”.其实，不给学生时间、空间，学生的思维得不到启发，当再次遇到问题时，便容易造成思维等待，而不是主动去思考问题解决的方法，从而阻碍了学生思维的自主发展.

第三，激发学生交流的需求.心理研究表明：学生的思维活动总是由问题开始，又在解决问题的过程中得以发展.问题导学的重点在“学”，当教师提出问题以后，一定要给学生思考和说的机会，有时还要刻意激发学生“有话要说”的需求[2].在本课课堂小结环节，教师设计了几个问题让学生对课堂所学内容进行归纳，但因为时间和学生反应较慢的关系，最后全部变成了教师来说.其实，教师过多地遵循自己的预设，或者过早地以“正确观点”结束自己所提出的问题，都是对师生间客观差异的否定，也是对学生主体的漠视.我们认为，教师应鼓励学生发表自己的看法、阐述自己的理由、倾听他人的想法，在大胆的交流、辩论、分析中发展自己的学科核心素养，让数学思维走向深刻.

参考文献：

[1]刘玉兰，苏忠菊.课堂教学要“顺应”学生的思维——以《平行四边形的面积》教学为例[J].小学教学设计，2014.

[2]张莉.数学教学应顺应学生的思维规律[J].青海教育，2018.

（责编 白聪敏）