物理核心素养下几何作图法的运用

曲靖市第二中学 陈红林

高中物理核心素养强调科学思维与方法，需要把复杂的物理问题通过建模使之简单、直观、形象化，而几何作图法可以充分利用“数形结合”的思想，把抽象且复杂的物理问题通过作图转化成简单、直观、形象的几何问题。

一、几何作图法概述及其作用

几何作图法是根据题意把相对抽象复杂的物理情景通过建模画图直观形象地表述出来，从而进行问题解答的一种方法。物理解题中应用几何作图法极为普遍，如矢量运算中的平行四边形定则或矢量三角形、带电粒子在磁场中运动轨迹的特点和规律、用函数图像处理实验数据等。在物理解题过程中巧妙地运用这些作图方法，真正做到把物理与几何完美地结合在一起，不仅能够使我们在解答物理问题时发现其中的规律，也能有效地简化解题过程，避免出现复杂的运算，提高解题效率。

二、几何作图法的工具及其运用

如图1 所示，直尺、三角板、圆规、量角器和铅笔（图中未画出）是几何作图法必备的工具，也是高考必备的考试用品。

图1

直尺、三角板既可以用来作图，也可以用来测量长度，三角板还可以有效地运用30°、45°、60°、90°、120°这几个特殊角度。圆规既可以用来画带电粒子在磁场中的运动轨迹，还可以等比例地测量长度。量角器主要用来测量任意角。

三、运用实例

例1 由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道。当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行。已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103m/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图2所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为（ ）

图2

A.西偏北方向，1.9×103m/s

B.东偏南方向，1.9×103m/s

C.西偏北方向，2.7×103m/s

D.东偏南方向，2.7×103m/s

【方法一】计算法：

设卫星在转移轨道上的速度为v2，在同步轨道上的速度为v1，附加速度为Δv。根据矢量合成作速度合成矢量三角形如图3 所示。因为是斜三角形，根据题目所给条件只能由余弦定理得

方向东偏南，故B 正确。

图3

【方法二】几何作图法：

选1 cm 长度的线段表示103m/s 的速度，如图4 甲所示；用30°的三角板按标度标准画出卫星速度合成的矢量三角形如图4 乙所示。由刻度尺可直接测量出Δv=1.9×103m/s，方向东偏南，故B 正确。

图4

点评：此题考查的是速度的合成与分解，对比以上两种方法，计算法由于数据和矢量三角形都不特殊，导致计算较为复杂；而几何作图法不需要数学计算，通过几何作图就可以方便快捷地直接测出结果，从而达到化繁为简，化难为易的目的。

例2 如图5，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面（纸面），磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一电荷量为q（q＞0）、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为。已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为（不计重力）（ ）

图5

【方法一】解析法：

如图6 所示，设入射点为A，AC 平行于ab，穿出磁场的点为B，粒子运动轨迹圆心为O，过B 点作垂线与AC 相交于C点。由题意可知，粒子射入磁场和射出磁场的夹角为60°，所以圆心角就为60 °，即∠ABO 为等边三角形，∠BAC=30°。由直角三角形ABC 可得=R，所以带电粒子运动的半径为r=R。由，解得，故B 正确。

图6

【方法二】几何作图法：

如图7 所示，作入射速度的垂线即为轨迹圆心所在直线。保证偏转角为60°和轨道半径r 不变，用60°的三角板和圆规标准地画出粒子的运动轨迹并确定轨迹圆心的位置O。用刻度尺就可以直接测出r=R，再由qvB=，解得，故B 正确。

图7

点评：此题考查的是带电粒子在磁场中运动的问题，关键点在于画出带电粒子的运动轨迹并确定圆心位置，而找出轨道半径r 与圆形磁场半径R 的关系是本题的难点。我们可以用上述两种方法求解。方法一需要几何证明后，再计算得出r=R，要求学生数学功底扎实。方法二首先通过60°的三角板和圆规几何作图确定圆心位置，再用直尺快速巧妙地测量出r=R，省略了数学运算，提高了解题效率。

近年高考对学生物理核心素养的考查越来越多，这就要求学生学会正确地建立物理模型，然后应用科学的思维与方法，利用几何作图把复杂抽象的物理问题简单直观化。这不仅能大大降低解题难度，提高解题的准确率，还可以在潜移默化中培养和提升学生的物理核心素养。