椭球膨胀法建立独立坐标系的原理与应用

于志威（黑龙江业成测绘有限公司，黑龙江 哈尔滨 150000）

0.引言

建立独立坐标系的方法主要可分为三类：一是椭球变换法，其中包括椭球膨胀法、椭球平移法、椭球变形法；二是比例缩放法，包括两种方法；三是以中心点坐标平移或者坐标加常数和旋转的平面直角坐标系。这三类建立独立坐标的方法各有优势，本文主要分析第一类方法，即椭球膨胀法。近几年，国内外学者对建立独立坐标系的方法进行了大量研究，比如：文献[1]在对目前常用转化计算方法分析比较的基础上，通过选取不同的参数和变换模型构造出9种不同的任意中央子午线任意投影面之间坐标计算方法，并分析每个模型的特性及适用情况。文献 [2]就建立基于CGCS2000的珠海市相对独立坐标系进行探讨，并对珠海新旧坐标系转换可能产生的问题及处理方法进行探讨。CGCS2000国家大地坐标系统以其先进性和稳定性，具有高精度、地心、动态、实用、统一的优点，代表了目前国内坐标系统应用和研究的发展方向。文献[3]研究了椭球膨胀法建立独立坐标的原理与方法，研究成果对高海拔地区应用椭球膨胀法建立区域控制网具有参考价值。

1.椭球膨胀法建立独立坐标系

1.1 椭球膨胀法建立工程椭球的原理

椭球膨胀法建立工程椭球的原理是不改变参考椭球的中心，只抬高或降低投影面来建立新的工程椭球。需满足两个原则[7][8]：

（1）工程椭球的中心与国家参考椭球的中心重合，没有平移量，且使椭球的扁率e保持不变。

（2）工程椭球与国家椭球定向一致，没有旋转。

在满足上述两个原则的基础上，改变国家坐标系椭球的长半轴，使改变后的椭球面与测区平均高程面重合，然后在改变参数后的椭球面上进行投影，使通过坐标两点坐标反算得到的长度和用高精度测距仪器测量的长度大致相等。即有：

式（1）中，a新为工程椭球的长半轴；a为国家参考椭球的长半轴；△a为工程椭球长半轴与国家参考椭球长半轴的差值，即长半轴变动量。

1.2 新椭球长半轴的计算方法

选取适当的，使新构造的工程椭球面与实际地球表面大致吻合，从而使得地面测出的实际距离与由坐标反算出来的距离尽可能地接近。这样才能满足施工要求的精度。目前，大多数软件选取所采用的方法主要有下列三种：

（1）以独立坐标投影面的大地高作为椭球长半径的变动量：

式（2）中：△a为国家参考椭球的长半轴的变动量，Hm为独立坐标系投影面的大地高。

（2）以独立坐标投影面的大地高Hm作为椭球平均曲率半径的变动量，在独立坐标系中央地区基准点Po上，新椭球平均曲率半径：

新椭球长半轴为：

式（4）中：a新为工程椭球的长半轴；Bo为基准点纬度，即测区平均纬度；△a为国家参考椭球的长半轴的变动量；Hm为独立坐标系投影面的大地高；e为第一偏心率。

（3）假定长半轴是沿测区地面点的法线方向增加，则通过测区的卯酉圈曲率半经N确定△a，则有：

由上式可得：

构造工程椭球时长半轴的变动量选择的方法不同，其构造的椭球参数也不同。

1.3 新椭球进行坐标换算的三种模型

新椭球进行坐标换算主要有三种方法：

1.3.1 纬度增量法

新椭球的大地坐标变化量为[9]：

由式（6）得新椭球的大地坐标为：

式（7）中 B新、L新、B、L分别为基准点在新椭球和国家参考椭球下的经纬度。得到新椭球经纬度后按照高斯正算即可得独立坐标系下的平面坐标。

1.3.2 空间直角坐标过渡法

在采用椭球膨胀法构建新椭球时，其椭球中心没有变化，可知地球表面的点在空间直角坐标系中的坐标不会发生变化。其转换方法如下：

（1）在国家参考椭球下，通过高斯反算计算出其大地坐标B和L。

（2）在国家参考椭球下，将和转换为空间直角坐标X、Y、Z。

（3）在新椭球下，将空间直角坐标X、Y、Z转换为B新、L新、H新。

（4）在新椭球下，将大地坐标B新、L新通过高斯正算转换为独立坐标系下平面坐标。

1.3.3 长半轴补偿法

对于地球表面的一点，假设在国家参考椭球和新椭球下的经纬度不发生变化。则其转换方法如下：

（1）在国家参考椭球下，通过高斯反算计算出其大地坐标作为新椭球下的大地坐标B新、L新。

（2）在新椭球下，通过高斯投影正算把B新、L新转换为独立坐标系下的平面坐标。

2.程序的编写与应用

在椭球膨胀法构建椭球的时候有三种方法，新椭球进行坐标转换又有三种模型。可知，椭球膨胀法建立独立坐标系有9种方法。但对方法和模型比较，在软件开发过程中，选择了高程直接补偿法、平均曲率半径法作为构建工程椭球的方法，同时选择了经纬度增量法和空间直角坐标过度法作为转换模型，这样共有4种方法。以Visual Studio 2010作为开发平台用C#语言开发了国家坐标系和独立坐标系互相转换的通用软件。

2.1 程序的编写流程

程序编写思路为：

（1）确定国家参考椭球参数：包括北京54、西安80、CGCS2000、自定义椭球。

（2）确定构建工程新椭球的方法：包括高程直接补偿法、平均曲率半径法。

（3）选择国家参考椭球和工程椭球间坐标转换的模型：包括纬度增量法、空间直角坐标过渡法。

（4）计算新投影面的大地高。

（5）采用高斯正反算公式和大地坐标与空间直角坐标互相转换公式编写代码。

2.2 自编程序实例计算分析

此软件可以实现国家坐标系和独立坐标系的相互转换。为了验证软件的可行性，采用两个方案分别验证。方案一为国家坐标系到独立坐标系的转换验证，方案二为独立坐标系到国家坐标系的转换验证。

方案一：以某工程项目为实例：构造椭球的方法选择了高程直接补偿法，计算模型选择了纬度增量法，自编软件计算结果和CosaGPS计算结果比较（如表1所示）：

方案二：为验证独立坐标系到国家坐标系计算结果的可靠性。对方案一计算结果进行逆运算，并将逆运算结果与国家坐标系中的原始数据进行求差比较，其结果（如表2所示）：

表1 国家坐标系到独立坐标系结果与CosaGPS结果对照表

表2 独立坐标系到国家坐标系结果与原始坐标结果比较

由表1可以看出，两种软件计算结果x坐标最大相差0.1mm，这可能是两种软件取位时候的误差；y坐标相差为0；由表2得知逆运算结果与原国家坐标系中的坐标完全符合。相继对其他3种方法计算做了对比，并对其结果进行了逆运算，经分析其计算结果可靠，能够用于商业用途。

3.结束语

（1）系统的对椭球膨胀法建立独立坐标系的原理和原则以及转换方法和转换模型做了分析。

（2）采用椭球膨胀法建立独立坐标系一般采用9种方法，在国家坐标系向基于工程椭球的独立坐标系转换时，纬度增量法和空间直角坐标过渡法是相对较严密的模型。构造工程椭球时长半轴变动量的计算方法不同，其转换结果也不同。对于大型项目在同一区域，存在不同的施工单位时，由于存在地形图的接边和成果的统一，其建立独立坐标系时应采取同样的方法和模型。

（3）通过大量数据计算结果分析并和已有的CosaGPS计算结果对比，自编软件计算结果可靠，能够用于商业用途。

（4）在以后的工作和学习中会丰富软件的功能，增加比例缩放法建立独立坐标系等功能，以便适合不同的工程需求。