随机矩阵α-型和Brauer-型特征值包含区域及其应用

杜烁玉，李耀堂

（云南大学数学与统计学院，云南昆明650000）

1 预备知识

随机矩阵是非负矩阵的一个子类，在计算机辅助几何设计和马尔可夫链等方面有着广泛的应用，特别是随机矩阵谱隙的估计对马尔可夫链的研究和应用有着重要作用［1-5］.近年来随机矩阵在生物工程、金融工程和无线通信等领域的应用也取得了重要的进展［6-8］.随机矩阵在这些方面的广泛应用，很多都与随机矩阵的非1特征值有关，因此，研究随机矩阵的非1特征值具有重要意义.关于矩阵特征值的定位已有很多重要的研究成果，如Gersgorin圆盘定理、Brauer卵形定理、Brualdi定理、α-型特征值包含定理［9-14］等.人们当然可以利用这些经典的定理去定位随机矩阵的特征值，但因为所得的随机矩阵特征值定位集都包含随机矩阵的平凡特征值1，从而使得对随机矩阵非1特征值的定位往往不够精确.为了解决这一问题，Cvetkovic等［9］提出了修正矩阵的概念并用其研究随机矩阵非1特征值的定位，这为随机矩阵非1特征值定位研究开辟了新途径.

定理 1.1［9］设A＝［aij］∈Rn×n为随机矩阵，

d＝［d1，d2，…，dn］T∈Rn.

若λ∈σ（A）＼｛1｝，则λ为修正矩阵B＝A-edT的特征值.因而如果B是非奇异的，则A也是非奇异的，这里σ（A）为矩阵A的谱.

Li等［11］应用修正矩阵理论，改进了文献［9］所给的随机矩阵非1特征值包含定理，得到了如下2个随机矩阵非1特征值更精确的包含区域.

定理 1.2［11］设A＝［aij］∈Rn×n为随机矩阵，如果λ∈σ（A）＼｛1｝，则有

2 随机矩阵2个新的非1特征值包含区域

应用修正矩阵理论与矩阵的α-型特征值包含定理和Brauer-型特征值包含定理研究随机矩阵非1特征值包含区域.为此，先给出如下定理.

下面用几个具体的数值例子来说明在某些情况下本文所获得的特征值包含区域更精确且能用其更好地估计随机矩阵的谱隙.

定义 2.1［15］设A＝［aij］∈Rn×n为随机矩阵，称数为随机矩阵A的谱隙.

随机矩阵谱隙的值反映了随机矩阵所决定的Markov链的收敛速度，其对应的特征向量则对应Markov链在极限状态下的“平稳分布”.因此，谱隙和其对应的特征向量刻画了Markov链的极限行为，对马尔可夫链的研究和应用有着重要作用.

例2.1为了便于比较定理2.3和定理1.2、定理1.3中所得的包含区域，取定α＝0.6，β＝4.考虑随机矩阵

图1中*号表示矩阵C1的特征值，Λ（0.6，4）（C1）表示α＝0.6，β＝4时的特征值包含区域Λ（α，β）（A），显然Λ（C1）是它的子集.图1说明Λ（C1）⊂Bstol（C1）⊂Γstol（C1）.由于Bstol（C1）和Γstol（C1）都包含1，因此，不能用它们来估计随机矩阵C1的谱隙，但由Λ（C1）可知矩阵C1的谱隙的上界大于0.5.

例2.2为了更好地比较定理2.4和定理1.2、定理1.3中所得的包含区域的大小以及他们在估计随机矩阵谱隙方面的作用，现取定β＝3，考虑随机矩阵D1，其比较结果如图2所示.

图 1 黑色为Λ（0.6，4）（C1），灰色为Bstol（C1），深灰色为Γstol（C1）Fig.1 The comparison of Λ（0.6，4）（C1），Bstol（C1）and Γstol（C1）

图2中*号表示矩阵D1的特征值，图2说明（D1）⊂Bstol（D1）⊂Γstol（D1）.由于Bstol（D1）和Γstol（D1）都包含1，因此，不能用它们来估计随机矩阵D1的谱隙，但由（D1）可知矩阵D1的谱隙的上界大于0.45.

图2 黑色为（D1），灰色为Bstol（D1），深灰色为Γstol（D1）Fig.2 The comparison of （D1），Bstol（D1）and Γstol（D1）

3 随机矩阵非奇异的新的充分条件

利用上一节所获的结果，可以研究随机矩阵非奇异的充分条件.为此，先给出如下定义和定理.

下面给出几个数值例子.

例3.1为了验证定理3.2的结论，取定β＝5，考虑随机矩阵

此时存在α＝0.6对每个i都有定理3.2中不等式成立，故E1是非奇异的.事实上E1的特征值为

显然0不在其中，故E1确实是非奇异的.

例3.2为了验证定理3.3的结论，取定β＝7，考虑随机矩阵

此时对每个i都有定理3.3中不等式成立，故F1是非奇异的.事实上F1的特征值有

显然0不在其中，故F1确实是非奇异的.