一类时间分数阶耦合Boussinesq-Burger方程在不变子空间中的精确解

李林芳，舒 级，文慧霞

（四川师范大学数学科学学院，四川成都610066）

1 前言

近年来，非线性分数阶偏微分方程（FPDE）的研究引起了人们广泛的关注.分数阶导数的思想起源于莱布尼茨和洛必达讨论的半阶导数，后来由文献［1-3］把它推广到任意阶导数，产生了分数阶导数的多种定义.在现实中，一种自然现象可能不仅取决于时间，也取决于先前一段时间的历史，这些可以通过分数阶导数和积分来阐述.分数阶微积分也是描述具有长期记忆和长期空间交互作用的物理系统的有力工具，不仅用于分析分数布朗驱动的随机过程，也包括非随机的分数物理现象，如多孔系统的研究、量子力学和非Newton流体力学等.然而，由于方法的限制，FPDE的研究受到了阻碍，导致具有多种特征（如周期解、混沌、奇异吸引子、分形等）的FPDE在一般情况下不能完全获得精确解.因此，研究分数阶偏微分方程的精确解是一个非常重要的课题.

本文研究如下时间分数阶Boussinesq-Burger方程组

其中，u（x，t）是速度场，v（x，t）是高度，α是时间分数阶导数，0＜α≤1.Boussinesq-Burger方程［4］是一个重要的偏微分方程组，产生于动态系统的研究.Kuma等［4］利用剩余幂级数法研究了该方程组的解，发现修正的同伦分析法获取的结果更为准确.Wang等［5］应用多参数达布变换获得该方程组的一些显示解，包括2N孤子解与周期解.Mostafa等［6］利用广义Kudryashov方法获得该方程组的精确解.

目前构建非线性分数阶偏微分方程精确解的方法主要包括：首次积分法［7-9］、同伦分析法［10-11］、指数函数展开法［12-14］和（G′/G）-展开法［15-17］等.近年来，一种基于不变子空间的解析方法为构建FPDE的精确解提供了一种有效工具.不变子空间方法最初由Galaktionov等［18］提出，后来经Gazizov等［19］推广到非线性时间分数阶标量偏微分方程.最近，Sahadevan等［20］将不变子空间方法扩展到非线性时间分数阶耦合偏微分方程.通过该方法已经获得 Hunter-Saxton方程［20］、Whitman-Broer-Kaup 方程组［20］和可压缩欧拉方程［21］等的精确解.不变子空间方法的优势在于：它是一种与对称群相关的方法，通过这种方法，非线性演化方程可以被约化为有限维动力系统；同时它也是一个算法，可以为FPDE构造简单的孤子解和相似解.

下面给出分数阶导数的定义及性质［1，22］.

2 预备知识

不变子空间方法是与广义条件对称密切相关的构造非线性偏微分方程（组）广义分离变量解的有效方法之一.下面介绍不变子空间方法及相关定义，分别对标量PDE、耦合PDE、时间分数阶标量PDE和时间分数阶耦合PDE进行阐述［20］.

3 Boussinesq-Burger方程组的精确解

下面应用不变子空间方法求解时间分数阶Boussinesq-Burger方程组（2）.

按照第二节的方法，方程组（2）容许1个不变子空间：

4 结束语

应用不变子空间方法求解时间分数阶耦合非线性PDE，并得到时间分数阶Boussinesq-Burger方程组的精确解.不变子空间方法对于某些方程还可以允许多个不变子空间，从而得到多个不同的精确解.从结果来看，不仅获取了该方程在分数阶情形下的精确解，整数阶情形下也一并获得，这是其它方法所不能完成的.同时，相比其它方法，获得的精确解的表达式也更为简洁.因此，对于构建非线性分数阶方程（组）的精确解，不变子空间方法是一种新的行之有效的方法，以后将用于更多非线性偏微分方程（组）的研究中.