定义在多重互素GCD封闭集上Smith矩阵行列式的整除性

2020-07-05 09:18胡双年李艳艳朱玉清牛玉俊
关键词:行列式正整数整数

胡双年,李艳艳,朱玉清,牛玉俊

(1.南阳理工学院数学与统计学院,河南南阳473004; 2.南阳理工学院电子与电气工程学院,河南南阳473004)

设f为算术函数,S={x1,x2,…,xn}是由n个不同的正整数构成的集合.用(f(S))=(f(xi,xj))(1≤i,j≤n)表示一个n阶方阵,其i行j列处的元素为f在xi和xj的最大公因子(xi,xj)处的取值.用(f[S])=(f[xi,xj])(1≤i,j≤n)表示另一个n阶方阵,其i行j列处的元素为f在xi和xj的最小公倍数[xi,xj]处的取值.设a为正整数.若对任意给定的正整数x,算术函数f定义为f(x)=xa,则(f(S))=(Sa)和(f[S])=[Sa]分别称为a次幂最大公约数GCD(greatest common divisor)矩阵和a次幂最小公倍数LCM(least common multiple)矩阵.当a=1时,简称(S)为定义在S上的GCD矩阵,[S]为定义在S上的LCM矩阵.对于任意的正整数x∈S,如果x的任意正因子d∈S,则称S为因子封闭集.1875年,Smith[1]率先研究了定义在集合S={1,2,…,n}上的GCD矩阵的行列式,他证明了如下结果成立:定义在集合S={1,2,…,n}上的n阶GCD矩阵(S)的行列式,其中φ是欧拉函数.同时也得到了定义在因子封闭集S上的n阶GCD矩阵(S)的行列式和n阶LCM矩阵[S]的行列式

其中对于任意的素数p和正整数r,乘法函数π定义为π(pr)=-p,并且Smith[1]也证明了定义在因子封闭集S上的n阶矩阵(f(S))的行列式为

其中,μ为Möbius函数,f*μ是f和μ的Dirichlet卷积.1989年,Beslin等[2]推广了Smith的结论,给出了定义在最大公因子封闭集S(对任意的x,y∈S,(x,y)∈S)上的行列式

1992年,Bourque等[3]证明了当S为最大公因子封闭集时,

其中g为乘法函数,定义为

从此,人们称定义在整数集合上的矩阵为Smith矩阵.关于Smith矩阵的研究在近几十年特别活跃,参见文献[2-14].在Smith矩阵的研究领域中,整除性问题是中心研究课题之一.设S是因子封闭集,Bourque等[3]证明了在整数矩阵环Mn(Z)中,GCD矩阵(S)整除LCM矩阵[S](即存在n阶的整数矩阵A,使得[S]=A(S)或[S]=(S)A).2002年,Hong[8]证明了对任意GCD封闭集S,如果|S|≤3,则在整数矩阵环Mn(Z)中,GCD矩阵(S)整除LCM矩阵[S],对于|S|>3,此整除性不总是成立.设σ是集合{1,2,…,n}上的一个置换.如果存在σ,使得xσ(1)|…|xσ(n),则称S为一个因子链.Hong[10]证明了如果S为一个因子链,并且算术函数f∈CS:={f|(f*μ)(d)∈Z,这里d|lcm(S)},那么在整数矩阵环Mn(Z)中,Smith矩阵(f(S))整除Smith矩阵(f[S]).在2008年,Hong[11]证明了如果S为一个因子链且a|b,则在整数矩阵环Mn(Z)中,(Sa)|(Sb),(Sa)|[Sb]和[Sa]|[Sb].但是如果ab,则上述整除性不再成立.设k为正整数.如果S可划分为,其中Si(1≤i≤k)为因子链,且满足1≤i≠j≤k,(max(Si),max(Sj))=1,则称S由有限个互素因子链构成.谭千蓉等[14]证明:如果S由有限个互素因子链构成且1∈S,若a|b,则det(Sa)|det(Sb),det(Sa)|det[Sb]和det[Sa]|det[Sb].

本文利用文献[12]中建立的定义在有限个互素最大公因子封闭集S上与算术函数相关联的矩阵的行列式的计算公式,首先给出了定义在有限个互素最大公因子封闭集S(1∉S)上GCD矩阵与LCM矩阵的行列式的计算公式,然后刻画了Smith矩阵(f(S))与Smith矩阵(f[S])行列式之间的关系,最后给出了定义在有限个互素因子链集S上且1∉S时,幂GCD矩阵与幂LCM矩阵的行列式之间的关系.

1 主要结果及证明

本节给出本文的主要结果及证明.首先给出几个已知的定义和引理.

定义 1[6]对任意的x,y∈S且x<y,如果x|y且不存在其他的元素d∈S,使得x|d|y,则称x是y在S中的一个最大型因子.对与x∈S,用GS(x)表示x在S中的所有最大型因子构成的集合.

Hong[6]通过引入最大型因子概念,极大的化简了定义在最大公因子封闭集上的LCM矩阵的行列式的计算公式.

定义2[1]设S为正整数集,f为算术函数.对任意的x∈S令

定义3[12]设T是由不同的正整数构成的集合,f为算术函数.定义与集合T和f相关的函数如下:

定义4[12]设S由h个互素最大公因子封闭集S1,S2,…,Sh构成.S的极小元集M(S)定义为,其中min(Si)表示Si的最小元.

例如,若S={2,5,6,8,11,35,143},则S由3个互素最大公因子封闭集构成且S的极小元集M(S)={2,5,11}.

引理5[6]设S为最大公因子封闭集,f为算术函数,则对任意的x∈S有

注1由定义1和2易知当S由多重互素GCD封闭集构成且满足1∉S时,(1)式依然成立.

引理6[12]设f为算术函数,设S由多重互素GCD封闭集构成且满足1∉S.M(S)表示S的极小元集,则

进一步,若f为乘法函数满足对任意的x∈S,有f(x)≠0,则

下面给出本文的主要定理及其证明.

定理7设S由多重互素GCD封闭集构成且满足1∉S.M(S)表示S的极小元集,则

其中I是算术函数,定义为I(n):=n.

显然,当S是因子封闭集时,由定理7可立即得文献[2-3]中的结果.若S=M(S),则定理7即为文献[13]中的引理1.

定理8设S为多重互素最大公因子封闭集且满足maxx∈S{|GS(x)|}=1,设f为乘法函数满足对任意的x∈S,有f(x)为非零整数且

f∈DS:={f:f(a)|f(b)这里GS(b)={a}}.

(i)如果S至多由2个互素最大公因子封闭集构成,那么 det(f(S))|det(f[S]).

证明由假设,可设f(x)=zxf(x*),其中zx是与x相关的正整数,设GS(x)={x*}.

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