苏教版高中数学教材数列内容的呈现特征与教学建议

许雪红

随着2017年版《普通高中数学课程标准》的发布，数学课程的育人目标转向学科核心素养的培育。核心素养的落地，或者说课程育人的层级转化离不开教师的教材理解与教学实践。教材作为师生广泛、高频接触的权威知识媒介，其呈现的特征往往潜移默化地影响着教师的实际教学。数列既是考试命题的重点，也是初等数学的核心知识。因此，笔者以苏教版高中数学教材为例，分析其中数列部分的呈现特征，并据此结合多年的教学经验，提出相应的教学建议。

一、拾阶而上深化认知——苏教版教材数列部分的呈现特征

（一）始于情境的感性认知

教材的编写通常需要综合学生的认知特点、知识的学科体系以及教师的使用情况等多个方面，但学生的认知应当是教材编写考量的核心尺度。正如人们对于事物、概念或观点的理解不可能凭空而来，而需要始于情境的初步感知一样，学生的学习发展也是由事实走向认知、从感性走向理性的过程。因而苏教版教材“数列的概念和简单表示”“等差数列”与“等比数列”三部分内容均以情境为起始点，期望学生能够从简单了解、感性认知，到逐步向思维深处拓展。高中阶段正处于学生数学思维形成的关键期，教材通过设计大量感性的、生活的情境去调动学生的学习情感，激发他们对数列知识的学习兴趣与探究意识;并用大量的认知情境，充分调动学生的感性认知，启发学生思考，促使他们由被动学习转变为主动学习。

具体而言，首先在数列章节的导语环节，通过设置社会生活中常见的数列问题，引导学生主动思考，发现数学与现实之间的关联，调动学生学习数列知识的积极情感。尤其是章头图中所呈现的图案生动地展示了大千世界所蕴含的数学规律，既彰显了自然规律与数列之间的关系，又让学生在观看、了解章头图的过程中，认知到“形象美不只体现在文学和艺术中，而且在数学中也随处可见”。其次，在教材内容设置上遵循由浅到深、由简单到复杂的原则，通过深入浅出的知识概括，让学生对数列知识形成初步的认知。数学知识的学习过程是复杂的，苏教版教材通过创设直观形象、生动有趣的情境，引导学生自主探究数列的概念和简单的表示方法，了解数列知识在实践生活中的具体应用。最后，在学生评价的习题环节，通过“感受·理解”栏目，用生活中的实际问题检验所学知识。如此活泼的形式设计有效地拉近了与学生的距离，促进学生主体意识的渗透，让他们积极参与课堂中的合作学习、成果交流。如习题中的“探究”环节，就能让学生在独立的空间内，充分应用学到的知识，在实践体验中开阔视野、体会知识的形成过程。

（二）技术辅助的具身体验

随着人工智能、信息时代的到来，在教材的编写中如何有效构建学科知识体系、体现信息技术应用，成了增进学生对知识时代性的感受、整全自我发展的重要考量。此外，高中阶段的数学知识具有体系的严密性与展示的抽象性，学生难以直接从情境中抽离知识，必须借助相关的探究活动才能完成。由此可见，信息技术与学科知识的融合、渗透绝不能以分裂的并线样态进行，更不能用学生难以驾驭的认知与体会的方式编写。教材的编写必须以技术辅助解决学科问题为前提，以学生能够进行具身化的自主探究为要求，进行相关知识的筛选、调适与融入。数列知识同样如此，一方面学生自身难以从数理事实中直接抽离，另一方面其与函数、几何知识等内容也有着密切的联系。因此，苏教版教材中呈现了一部分以技术辅助的具身体验活动。例如，在等比数列教学中常规的引导模式学生不易理解，而利用“几何画板”工具则可以形象地展示等比数列的规律，并在具体的情境中涵育学生的数学直观能力。此外，教材中还引入了图形计算器对数列做特殊的函数处理，生成规律变化趋势图，通过活动体验增强学生对知识的理解。

数学知识与现代信息技术的整合是现代教育发展的趋势，也是数学教材编写的重要原则。数列章节由于涉及诸多计算问题、图表问题，因此其需要借助多媒体设备完成。相比于其他版本的数学教材，苏教版数學教材对于多媒体设备的引入更加突出，诸多例题都应用了多媒体技术辅助，为学生创设了有趣的学习情境，改变了枯燥地讲授数列知识的弊端，精准地揭示了问题的本质。比如，教材P57呈现了Excel的财务函数功能对有关投资或贷款等问题的数据计算，从而引导学生体验技术辅助的效用。

（三）归于实践的例题应用

任何知识的构成并不限于单维、浅层的表象，还包含了多维、深层的学科思想、情感态度与实践应用，知识的意义往往在实践中方能得到高度凸显。因而，教材的编写既需要做到知识的浅层展示，也需要达成知识本质的巧妙渗透。综观苏教版高中数学教材中的学生评价部分，不难发现数列方面的测验试题基本上来源于生活情境。“数列”章节的这些试题呈现出“高起点、低落点”的实践特性，一方面题目的背景来源于现实生活的问题情境、跨学科的融通渗透等;另一方面从试题的解析过程来看，充分应用案例形象语言的数学化归，能够让学生依据形象的描述、精致的讲解，逐步抽离出数列的模型，从而有效培养理性思维与数学直观能力。总之，苏教版高中数学教材呈现出归于实践的例题应用这一实然样态。

详细来说，教材的例题中出现了如彗星接近地球能够被观测、放射性物质的衰变，以及奥运会每四年举办一次等问题。这样的知识应用情境既体现了数学作为科学认知的工具在物理、体育等学科中起到的重要作用，又通过简单的实践案例加深学生对事实的感知。如“汽车折旧率”“卫生纸厚度”等问题，可以使学生在概念辨析中建构以数列知识为基础的模型。这类归于实践的例题应用，激发了学生的学习兴趣，体现出对知识融合性、默会性与实践性的渗透，并通过对问题的情境化教学实践，提升学生的知识迁移与应用能力。最后，教材“链接”环节通过“现值”“终值”等知识的拓展，引导学生思考“复利”概念，并延伸出实际生活中的贷款问题，助力学生理性思维、问题解决能力的培养。

除了上述三点主要特征外，注重数学文化的渗透也是苏教版数学教材数列部分的特征之一。无论是彰显中华传统文化的杨辉三角，还是凸显西方形式美学螺旋线的斐波那契数列，或是展现古印度文明的正方形筛子等，教材的编写均呈现了数学理性与人文历史、形式美学相交融的又一样态。

二、變式应用能力训练——苏教版教材数列部分的教学建议

（一）以情境试题增进学生感性认识

在实际的数列课堂教学开始之前，教师必须对教材有深入的了解，尤其要对编写的思路与特征进行研读。苏教版高中数列教材呈现出循序渐进的特征，并以情境促进学生感性认识。而以情境调动学生主动学习恰恰是新一轮课程改革的方向，也是课堂教学的核心所在，数学学科核心素养的培育正是在情境化的创设、铺陈与测评中实现的。由此可见，实际教学中教师一定要立足于现实生活，以情境试题的创设吸引学生的注意力，调动他们的学习兴趣，增进其对数列知识的感性认识。

数列章节体现了以现实问题为背景，以解决实际问题为导向的原则，因此教师一方面要围绕学生可感知的现实生活下功夫，用数学文化、数学史、跨学科知识等作为试题编制的切入点，将数列的相关内容融入其中;另一方面要把握数列知识的难点，根据历年高考试题学生的易错点，按照“问题情境、教学活动、意义构建、数学理论、数学应用以及回顾反思”的顺序铺展教学。例如，在实际情境化试题编制中可以引入当下抖音、快手等短视频平台上比较火的折纸问题。

将一张厚度为0.05 mm的报纸不断对折50次后，报纸的厚度是多少？这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗？（已知地球与月球的距离约为4×108米）实际中你能够这样操作吗？

具体解题过程中，教师可以让学生自主思考，并完成作答。实际教学中，部分学生误以为对折50次后是等比数列的前n项和，其实报纸的厚度应理解为等比数列的第n项。对折一次厚度增加为原来的一倍，所以每次对折的厚度可以构成一个等比数列{an}，则数列{an}是以a1=0.05×10-3米为首项，公比为2的等比数列。对折50次后纸的厚度是此等比数列的第51项，利用等比数列的通项公式得a51=0.05×10-3×250=5.63×1010，而地球和月球间的距离值4×108米小于5.63×1010米，故可建一座桥。试题的情境来源于网络短视频部分主播的测评实验，该教学过程一方面调动了学生的认知，沟通了学生的最近发展区，另一方面让学生从中感受到数列迭代累乘的无穷魅力。

此外，教师教学中还可对情境试题的创设进行跨学科渗透，或与中华传统文化相结合。例如，“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献。

十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比值都等于。若第一个单音的频率为f，则第八个单音频率是多少？

教学中，教师可以和学生一起分析该题目。从第二个单音起，每一个单音的频率与前一个单音的频率的比值都等于。由等比数列的定义可知，这十三个单音的频率构成一个首项f，公式为的等比数列，因此第八个单音频率应该为f。该试题从学生感兴趣的音律入手创设情境，既拉近与学生的距离，又展示了数列的广泛应用，因而比较容易吸引学生的注意力。该教学过程正是以具体情境激发学生解决问题的动力，充分体现了数学知识来源于生活、服务解决实际问题的理念。

（二）以变式训练提升推理分析能力

从对苏教版教材的分析来看，多样化的技术体验为学生全面、深入理解数列知识提供了保障。技术的辅助、数形结合的展示、数据的模拟体验均以不同的形式帮助学生加深对知识的理解，而这些与中国数学教育的传统特色——变式训练有异曲同工之效。著名数学教育家顾泠沅先生曾强调要重视数学教育中变式训练重要类型——过程变式，教材中的技术辅助实则正是以不同方式助力学生理性思维、推理能力的发展。

推理分析能力是数学学科核心素养的重要组成和提升学生思维品质的重要目标，数列章节的教学同样如此，教师在教学中应当以变式训练引导学生对问题进行分析、推理。具体而言，一方面教师需要在实际教学中以数形结合、知识关联等形式设计教学，让学生沿着不同的思维路径处理问题;另一方面教师要善于启发学生思路，开阔解题方法，以一题多解、创新思考训练学生逻辑思维能力。

例如，在让学生深化对数列的认识时，教师可以先利用贝壳螺旋线的模式图让学生自己测量每一圈的半径大小，解析图像，看看是否能将其转化为数列形式。之后，教师再让学生依据测量出来的大小分别将其定位于平面直角坐标器上，并将每个点进行连线。此外，让学生以小组合作的形式用计算器计算展示。最后，教师可以播放关于数学家解析对数螺旋线，进行不同软件数据模拟的Flash。除此以外，教师可以给出DNA结构、牵牛花藤以及向日葵花盘中隐藏的螺线结构，从而激发学生探究生活中有数列特点的生命现象。该教学过程以学生的亲身体验为起点，让数形结合与技术模拟的多元知识表征内化于心，培养了学生推理分析能力，并通过对数学家的计算模拟与生命现象的广泛存在的呈现，让学生进一步体会到数列知识的魅力，涵养其数学认知、数学探究与数学应用的基本素养。

除了新授课的教学，在解决部分模拟试题时同样可以采用变式训练的方式，去培养学生对数列知识的灵活应用能力。如以下试题让学生用不同的方法求解：

已知各项均为正数的无穷数列an的前n项和为Sn，且满足a1=a（其中a为常数），nSn+1=（n+1）Sn

+n（n+1）（n∈N *）。证明：数列{an}是等差数列，并求出{an}的通项公式。

此题目可以采用两种不同的解法，解法一可采用

错位相减，即①式nSn+1=（n+1）Sn+n（n+1），②式

（n+1）Sn+2=（n+2）Sn+1+（n+1）（n+2）。由②-①得

（n+1）Sn+2=（2n+2）Sn+1-（n+1）Sn+2（n+1），后再经一系列演算即可得到an=2n-2+a。而解法二可采用等式相除后的转化变形，即由于nSn+1=（n+1）Sn+n（n+1），

所以=+1，又S1=a1=a，則数列是以a为首项，

1为公差的等差数列，从而逐步推断出：对任意n∈N *，都有an+1-an=2，即数列{an}是以2为公差的等差数列。该教学过程就是让学生在数列问题解算过程中尝试不同的解算方法，由于学生对数列问题思考角度不同，因此解题的思路也就不同。如果学生不能灵活地掌握数列知识，熟练应用相关公式，就难以对实际情境中的数列问题有清晰的解题思路。因而，教师在教学中应当逐步引导学生学会“举一反三”，以提升推理分析能力。

（三）以模型建构培养实践应用

数学的应用已渗透到现代社会及人们日常生活的各个方面，数列知识在实践生活中具有广泛的应用价值。例如，人口增长问题、粮食增长、贷款以及时间推算等问题都需要应用数列知识。而数学建模正是对现实问题进行数学抽象，它以简洁的数字组合构建了现实存在的模型，诉说着这个世界的科学法则。因此，教师应当以模型建构提升学生实践能力，培养学生的数据分析、现实应用与实践决策能力，让学生依据数列原理解决现实问题。如下列的贷款问题，可以让学生建构数学模型。

某白领为了改善住房条件，决定购房。该居民了解相关政策后，选择采取个人公积金贷款20万元的方式，月利息3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷。如果10年还清，那么每月应还贷多少元？

为解决上述问题，教师可以在黑板中予以图像展示。先设某商品一次性付款的金额为a元，以分期付款的形式等额地分成n次付清，每期期末所付款是x元，则分期付款方式如下图1所示。根据上述条件应用等比数列求和公式得出：x=。设每月应还贷x元，

共付款12×10=120次，最后可化简计算得出约为2029.66元。该教学过程紧密围绕问题解决，以算式的推演逐步得出了分期付款的数学模型。如此将现实生活问题建构数学模型后，促进了学生对数列知识的掌握，提升了学生的数据分析与实践应用能力。

而在利用数列建模进行决策方面，教师可以让学生考虑设备购置的最优方案。

若购置这些设备，需一次付款25万元;若租赁这些设备，每年初付租金3.3万元。已知一年期存款的年利率为2.55%，试讨论哪种方案更好（设备寿命为10年）。

该题目由教师引导学生通过不同角度进行自主解答，并选择几名同学予以上台展示。

方案一，从终值来考虑。若购置设备，则25万元10年后的价值为25（1+2.55%）10≈32.159（万元）。若租赁设备，每年初付租金3.3万元，10年后的总价值为S=3.3（1+2.55%）10+3.3（1+2.55%）9+3.3（1+2.55%）8

+…+3.3（1+2.55%）≈38.00（万元）。

方案二，如果从现值来考虑，可以得出每年初付租金3.3万元的10年现值之和为Q=3.3++

+…+≈29.54（万元），比购置设

备一次付款25万元多，故购置设备的方案较好。该教学过程将变式训练融入数学建模的过程，让学生由数据分析推理，逐步建构模型应用于实践决策。

课程改革进入核心素养时代的今天，“用教科书教”的教育理念不言自明。苏教版高中数列板块是整个高中数学体系的重要组成部分，在强调学生数学学科核心素养培育的当下，我们必须加强对教材的研读，从学科体系、逻辑与应用上把握教材的整体思路、分析其呈现特征。通过树立以学生为本的教学理念，营造温润的教学环境，以多变的教学方式激发数学学习的兴趣，提升学生理解迁移、实践应用等关键能力，从而实现课程改革中强调数学学科育人价值深化的初衷。