基于最大期望效用决策准则下的竞赛时间安排决策分析与实践

陈 晖

（烟台职业学院 基础部，山东 烟台264670）

0 引言

人们在经济管理、社会统筹以及军事活动中，经常会遇到需要作出判断和决定的问题，也就是决策问题。在运筹学研究范围内，如何取得经济、生产管理以及军事等人类活动的决策最优，是运筹学研究方向之一。运筹学不仅从决策最优的角度定性方面着手研究经济以及军事等活动中的决策问题，更从定量的角度给出可供操作的决策优化理论和方法。所谓决策，是为了达到目的，从多种不同方案中选择某个确定的行动方案，而决策分析（decision analysis）是指研究从多种可供选择的方案中选择最优方案的一种有效方法。

1 决策三要素

实际上，一般的决策问题主要由状态集、决策集和效益函数三个要素构成的。

（1）状态集：把决策的对象称为一个系统，系统所处的不同情况称为状态，将其数量化后得到状态变量，所有状态构成的集合称为状态集，记做

（2）决策集：为达到某种目的而选择的行动方案；将其数量化后称为决策变量，决策变量的集合称为决策集，记做A={a1，a2，....，an}。

（3）效益函数：定义在A×S 上的一个二元函数R(ai，sj)，它表示在状态sj出现时，决策者采取ai(i=1，2，....，n；j=1，2，....，m)所得到的收益或者损失值，即称为效益。对于所有的状态和所有可能的方案所对应效益的全体构成的集合称为效益函数，记做R={R(ai，sj)}。

对于大部分实际问题，在决策中我们寻求的目标往往是最大期望效益结果。但是在对最大期望效益进行解释的时候，我们还要关心它的敏感性分析，也就是需要考虑在最优极点处的值单位资源发生变化对最优值的影响。进行敏感性分析对决策者来说，和寻找最优解具有等同的价值。譬如：老板加薪，给甲员工从1000 元加薪500 到1500 元，给乙员工从10000 元加薪500 到10500 元，但是加薪500 元对甲员工效果非常显著，而乙员工就会感觉加薪效果不明显。早在1738 年，瑞士数学家丹尼尔·伯努利就提出并发展了边际效用的观念。

2 效用和边际效用

伯努利认为所谓效用是衡量人们对某些事物的主观价值、态度、偏好和倾向的指标。它不仅依存于事物本身具有的满足人们某种欲望的、客观的物质属性，同时事物还具有有无效用和效用大小分别，再其次效用还依存于消费者的主观感受。也就是说效用不具有客观标准，对效用的描述采用无量纲的指标，一般情况下，规定最大效用其值为1，无效用其值为0。

总效用是指决策者对某些事物的总效用，边际效用是指某个事物的效益每增加或减少一个单位所引起的总效用的增加或减少量。即边际效用为：

其中，△TU 是总效用的增加（或减少）量；△Q 是某个事物增加（或减少）量。也可以这样认为：边际效用是指某种事物经济指标量每增加（或减少）一个单位所增加（或减少）的总效用。

在某些实际决策问题上，决策者是按照期望效用的大小而做出决策，追求最大的满足感（即效用），这种以追求最大期望效用为目标从而获得最优结果的策略方法的决策准则，称为最优期望效用决策准则。

3 案例分析：学生竞赛时间合理化安排

培养中国的“大国工匠”和“工匠精神”需要与之相配套的高等职业教育体系。新形势下提出的以培养和提高大学生的实践能力、创新能力和创业精神，培养具有内涵和特色发展高素质人才的高职院校培养目标，对高等职业教育的发展提出了急迫的要求。高等职业教育终端要面向就业，提高学生的“双创”能力，通过参加全国或省市级大赛，以赛促教、以赛促学，促进我们的教学改革更好地展示高职高专的教学理念和教学效果。各类高职院校每年都组织学生积极备赛，以提高学生的实践能力、反映学院的教学水平、提高学院整体的认知度。在备赛过程中，存在时间紧、任务重的问题，如何能够在较短的时间内，让学生掌握更多的技能和知识，更好的提高竞赛成绩，成为我们研究的方向和问题。为此，通过调研，我们合理地勾勒了学生备赛期间的时间和竞赛科目，通过经验分析预测，我们知道竞赛的每门功课项目的成绩与他所投入的时间成正比，但是每门功课项目成绩又与所投入的时间不同而不同，为此，我们分析了一名学生以一个星期为单位的在三个项目上的时间和成绩的关系，得出表格1：

表1 竞赛项目成绩与备赛时间关系

表2 学生竞赛成绩的边际效用值

根据表格1，可以看出不同科目的备赛时间对成绩影响是不同的，我们希望参赛学生最终的综合成绩是最优的，也就是选取相应的备赛时间安排，使得竞赛学生成绩总和最好，亦即寻找学生成绩最大效用结果。于是，我们进一步给出了竞赛时间决策方案与学生成绩的边际效用值，见表2。

从表2 可以看出竞赛科目成绩的边际效用随复习时间呈现递减趋势，即一项竞赛项目的复习时间并不是越多效果越明显，于是，我们建立了竞赛成绩随时间的基于最大期望效用准则下的决策函数关系，不妨记x、y、z 分别表示项目一、项目二、项目三的复习时间，其边际效用分别用MU1(x)，MU2(y)，MU3(z)表示，其学生备赛时间决策问题的函数模型为：

其Lingo 求解为：

通过运行，得到x=3，y=3，z=1，也就是项目一备赛时间为3 天，项目二备赛时间为3 天，项目三备赛时间为1 天，在这样的时间安排下，该参赛选手有最佳成绩：项目一预估成绩为74 分，项目二预估成绩为76 分，项目三预估成绩为80 分，总成绩为230 分。这个备赛时间安排下参赛学生成绩效果是最优的。

4 结束语

本案例基于最大期望效用准则理论，运用Lingo 数学软件平台上对学生备赛时间进行了实证分析，根据实际问题的要求，从复杂的备赛时间、备赛项目安排问题中求出最优决策，这对学生参赛时间紧、任务重、赛出水平、赛出好成绩有着重要的指导意义。同时亦可对其他同类型的问题起到借鉴作用，譬如经济学中的项目投资回报问题，都可以利用最大期望效用准则理论做出最优效用决策。