以小见大 见微知著

江宏

摘 要：微元法是解决高中物理中非质点或非线性变化问题的一种重要方法。因为研究对象特点不同，学生在微元法的运用上普遍存在比较明显的困难。本文将微元法归纳为动态过程类和静态平衡类两种情况，并针对微元法教学困境，提出一些具体建议。

关键词：微元思想;高考;应用

高中物理中常见的物块、小球、微粒通常都能被看作是质点加以分析，匀变速直线、平抛运动和圆周运动都是经典模型，这类对象的运动过程是学生较为熟悉并能够较为准确分析和判断的。而高考中以力学或者电磁感应问题为背景，常常对功、冲量、位移、速度变化量、电量等物理量进行探究，如2013年全国1卷中斜面上导体棒下滑的电磁感应模型，2016年全国卷1卷选修题中水柱托举玩具小车模型。在运用初等数学知识解决涉及变力、流体、变加速直线运动或一般曲线运动时，学生往往是力不从心无从下手。对此，在高中阶段引入了一种简便可操作性强的数学方法——微元法来解决上述问题。微元法是一种从局部到整体的思维方法，它是一种重要的物理思想方法，可以检验学生是否具备运用数学方法来处理物理问题的能力。在一些复杂的物理过程和研究对象中，微元法能够化繁为简，将复杂问题转化为我们熟悉的物理规律或者模型，并使之得以迅速地解决。在高中阶段循序渐进地培养学生学习使用“微元法”思维，感受微分和积分的运用过程，有利于高考压轴题的突破，也有利于学生进入高等学校后的进一步学习。

在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多个連续的局部或者是“元过程”或者“元对象”，而且每个“元过程”或“元对象”所遵循的规律是相同的，我们只需分析这些具有普遍性的“元过程”或“元对象”，然后再将这些代表性的“元过程”或者“元对象”进行一定的数学方法或物理思想归纳处理，进而得到对于整个过程或整个对象的结论。微元法会加强我们对已知概念和规律的再思考，对巩固概念知识、加深对事物的理解，提高解决生活场景中复杂问题的能力起积极作用。

1 微元法的两种类型

1.1 动态过程类

例1：一根质量为M，长度为L的铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接触，今将链条由静止释放，让它落到地面上，如图1所示，求链条下落了长度x时，链条对地面的压力为多大？

分析：链条对地面的压力来自已经躺在地面的那部分链条的压力和正在与地面撞击的链条产生的冲击力，选择某一时刻与地面接触的链条其质量微元为Δm，对这部分质量的动量变化进行分析，就能够顺利解决冲击力的问题。

动态类常见问题还有非匀变速直线运动的位移问题、水柱冲击煤层情景、2016年全国一卷中喷泉水柱托举玩具小车情景、自动秤米计量情景、雨滴落到树叶叶片上情景等流体模型，以及2013年全国一卷中斜面上导体棒电磁感应的非恒定电流模型。这类问题中还有一些小的区别在于t时间内已经落在地面上的链条对地面有持续压力，运动的位移和秤米计重也是一种积累物理量;而水柱冲击煤层、喷泉托举小车、雨滴滴落树叶情景中只考虑接触部分微元产生的力作用，导体棒上电磁感应模型只考虑棒上一小段时间内可视为恒定电流，其在导体棒上通过的电量对应这一小段时间内电容器上电量变化和电压变化。

1.2 静态平衡类

例2：如图2所示，一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A端固定在球面的顶点，B端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ。试求铁链A端受的拉力T。

分析：选取AB之间某一位置的一小段链条Δm为研究对象，分析上下链条对其拉力与其所受到的重力与球面支持力的平衡方程，就可以得到上方链条总比下方链条的拉力大一个ΔT，A端的拉力就是链条各部分ΔT的总和。

静态平衡类微元法中代表性问题是非质点类质量连续可变或非点电荷但电荷连续可变模型。涉及围绕圆台侧壁上的弹性绳子中某一点的拉力计算和均匀带电圆环在其中心轴线上某点处电场强度计算等静止状态问题分析（2010年福建省高考第18题）。这类问题中的对象与学生熟悉的轻绳、可视为质点的物块不同，由于不能准确找到微元切入点，普遍反映无从下手。另外，微元的受力分析还需要有较强的空间想象能力，也必然给学生造成不小的障碍。

2 微元法运用之困和应对策略

学生在微元法的运用上普遍存在比较明显的困难，原因可以归纳为以下几个方面：一是微元法分析的时机选择。高中阶段处理变力做功和变力的冲量通常是用动能定理和动量定理来分析，但该过程的初末速度不明确时，无法从动能变化和动量变化反推变力功和变力冲量，就该考虑运用微元法分析过程。二是微元选取和构建模型困难，学生们面对连续的空气、水柱等流体对象很难建立有具体形状的“元对象”和“元过程”，如何化无形为有形是关键，将流动对象“固定”并转化为熟悉的物块或小球。三是教师注重公式和定理定律教学，忽视物理思想方法的重要性。学生运用微元法机会普遍较少，也缺乏系统性专题学习和练习巩固。很多教师不愿意在这种物理思想和数学方法上花费时间和精力，学生停留在知晓微元思想，处在学过也听得懂，但不会用的尴尬局面。四是微元运算中有一些数学上的近似计算技巧，学生因为数学基本功不够扎实，所以在推导和演算环节上磕磕绊绊，进而产生畏难情绪。

高考是选拔性考试，试题命制背景新颖，思维灵活，更加注重物理思想方法和对物理概念的理解。微元法是高中物理和大学物理研究问题方式的一种转变，在高考试题中，微元法能否熟练运用常常是鉴别优秀学生的一块“试金石”。针对以上原因，笔者提供以下建议以供借鉴：

一是注重新课教学中微元法的渗透式教学，要积极创设条件让学生主动接触微元法。可以从瞬时速度的定义和通过图像法推导匀变速直线运动的位移等教学活动中注重感受微元思维方法特征;从F-X图像中分析弹簧弹力做功，让学生感受微元法研究过程的优点;从自主推导电流的微观定义表达式和安培力推导洛伦兹力表达式，真切体会微元法的应用，实现技能的提升。根据学生认知的顺序，先后通过实验、理论、实践、运用等方式，让学生体验研究对象和研究过程可以“分割”、“切片”、“累加”的微元思维，促进学生核心素养发展，实现学生综合分析能力的有效提升。在高一初始学习过程中要让学生有感性认识，从熟悉的案例中类比迁移，侧重微元思想的理解，淡化数学运算技巧的展现。高二阶段要侧重微元思想方法领悟，注重微元思维训练，感受变力与恒力、直线与曲线的辩证统一思想。高三阶段注重微元法在具体案例运用，有效提高学生解决实际问题能力。

二是注重教学过程中的画图环节，做到教师主动画学生自觉画，在图画中定格时间明确“元过程”和“元对象”，通过图画明确直观易懂的研究过程和研究对象，把连续变化的抽象对象转化为有具体大小、形状、体积、质量的“物块”。高中物理首先是画出来的，画不好过程找不到研究对象就不可能解决好复杂问题。通过教师言传身教，做到老师常画图，学生敢画图，明确“元过程”或“元对象”，大胆用好微元法解决压轴题。

三是要细心审题，注意提炼信息构建物理模型，观察物理量之间的关联性，在动态过程类问题中从时间和空间两个维度上做好过程分析，从已知物理量和待求物理量间找到有普遍性的微过程，在静态平衡类问题中找准微对象进行受力分析，聚沙成塔，见微知著实现局部到整体的转变。

四是区分高考和竞赛的不同要求，不宜将竞赛类型的试题引入高考复习备考中来。高考中对微元法的考察是侧重于对微元思想的理解和简单运用，切不可按照物理竞赛中的能力要求进行微元教学。过度对微元的数学极限计算，一方面给学生增加不必要的学习负担，另一方面也会让教学误入歧途，事倍功半。

微元法是物理高考中的难点，是选拔优秀学生的“试金石”，建议教师们在教学过程中营造氛围，注意微元思想在日常教学活动中的渗透和进阶训练，配合画图和图像分析并有效控制好难度，必定能够帮助更多学生掌握微元法，让他们在高考选拔中脱颖而出。