文艺复兴时期人们是如何解三次方程式的

比疗 伯林霍夫 费尔南多 辜维亚

数学问题很少一开始就以抽象的形式出现，但解三次方程式（三次方程）却是以一种抽象形式出现的，问题最初出现在公元前400年左右，但完整的解决方案却在2000年之后才得到，之后，有人就尝试将代数应用于解三次方程式，阿尔一海亚米（1048年-1131年）也是其中之一，西方人多称他为欧玛尔·海亚姆，阿尔一海亚米是当时著名的数学家、科学家和哲学家，由于阿拉伯数学家不使用负数，也不允许零作为系数，所以阿尔一海亚米必须考虑许多不同的情况，对他来说，x+ax=b和x=ax+b是不同类型的方程式，阿拉伯代数完全用文字表达，因此他将它们分别描述为“立方和根等于数”和“立方等于根和数”，这样，就有了14种不同的三次方程式，对于每一类方程式，阿尔一海亚米都找到了对应的几何解：用几何作图方式找出满足方程式的线段，这些几何图大多涉及了相交的圆锥曲线，许多都有额外条件来保证正解的存在，阿尔一海亚米的研究成果令人印象深刻，但他自己也承认，用一个数表示一个方程的解是一个难度很大的问题，这个问题要留给后人去解决。

代数在13世纪传播到了意大利，比萨的列奥纳多在他所著的《算盘全书》中，用阿拉伯数字讨论了代数和算术问题，在接下来的几个世纪里，算术和代数在意大利发展起来了，随着意大利商业活动的不断发展，人们越来越需要简单的代数计算方法，意大利的“计算师傅”试图通过撰写关于算术和代数的书来满足这一需要，其中有几个讨论解三次方程式的例子，有些例子是为了便于求解方程，或者是根据答案而建立题目的，有些作者提出了错误的解法，但仍然没有人能完全解出一般的三次方程式。

这个问题的研究一直没有得到什么实质性的进展，直到16世纪上半叶，西皮奥·德尔·费罗和被称为塔塔利亚（Tartaglia）的尼科洛·丰塔纳有了新的突破，两人都发现了解某些三次方程式的方法，但他们都没有将他们的解答方法对外公布，当时，意大利学者大多得到有钱人的支持，而学者们不得不通过公开比赛击败其他学者来证明他们的才华，这个竞赛制度鼓励人们保守秘密。

1535年，塔塔利亚吹嘘他可以解三次方程，但他不告诉任何人他是如何做到的，西皮奥·德尔·费罗此时已经去世了，他把自己的秘密解法传给了他的学生安东尼奥·玛丽亚·菲奥雷，不久，菲奥雷向塔塔利亚提出了挑战，事实证明，费罗知道如何解答题型为+cx=d的方程式，而塔塔利亚已经发现了如何求解x+cx=d的方程式，在比赛时，塔塔利亚向菲奥雷给出了一系列不同领域的数学问题，但菲奥雷给出的每一个问题都归结为他可以解的三次方程式，出于这一点，塔塔利亚也设法找到了这种方程式的解法，并轻而易举地赢得了比赛，菲奥雷的知识并没有超出解三次方程的范围，塔塔利亚获胜的消息最终传到了16世纪意大利最有趣的人物之一吉罗拉莫·卡尔达诺耳中，卡尔达诺是一名医生、哲学家、占星家和数学家，在这些领域中，他在整个欧洲都是知名的，并受到人们的尊敬。

在听说塔塔利亚的解题方法后，卡尔达诺在1539年联系了他，试图说服他分享这个秘密，卡尔达诺多次恳求，并承诺保密，最终塔塔利亚来到米兰向卡尔达诺传授他的解法，当掌握了两种解三次方程的方法后，卡尔达诺开始研究一般方程式的解法，经过6年坚持不懈的工作，他终于找到了所有三次方程的完整解法，他的助手罗多维科·法拉利（Lodovieo Ferrari）将相同的观点应用于一般的四次方程，并設法找到了相应的解法，这时，卡尔达诺才知道他对数学作出了巨大的贡献，但是，他要怎样做才能不违背诺言把它出版呢？他找到了办法，他发现，德尔·费罗在塔塔利亚之前就已经找到了关键案例的解法，因为他没有答应对费罗承诺保守他的秘密，他觉得他可以发表，即使这种解法与他从塔塔利亚那里学到的一样，最终他出版了一本被称为《大技术》的书，大技术（The Great Art）意思就是代数，它完整描述了关于如何求解任意三次方程的方法，并从几何角度说明了这些解法是正确的原因，这本书中还记载了费拉里四次方程的解法，该书是用拉丁文写的，广泛影响了欧洲各地的学者，当然，它也传到了塔塔利亚手中，塔塔利亚怒火中烧，但他能做什么呢？秘密已经泄露了，他将卡尔达诺的背叛公之于世，但卡尔达诺无意纠缠此事，相反，费拉里联系了塔塔利亚并发起了挑战，塔塔利亚认为费拉里是个无名小卒，所以他一开始无意应战，除非卡尔达诺也能接受挑战，但是在1548年，塔塔利亚被安排了一个教授职位，条件是他要在比赛中击败费拉里，他觉得能轻易获胜，于是便同意了，然而，费拉里知道如何求解一般的三次和四次方程，塔塔利亚却并没有学会《大技术》中的这部分内容，所以输掉了比赛，

卡尔达诺在写《大技术》之前注意到了这一问题，他询问过塔塔利亚，但塔塔利亚似乎没有回答，他只是认为，卡尔达诺根本没有理解如何解决这类问题，解决这一问题的责任落在了拉斐罗·邦贝利身上，邦贝利首先讨论了上面给出的方程式，然后，他以几何方式证明，无论p和g的（正）值如何，x=px+q总是有一个正解，另一方面，他还说明了，当p和g取值哪些时，解这个方程会出现负数平方根，邦贝利在这件事上表现出了他的才华，他证明了用负数的平方根进行运算是可能的，而且仍然可以得到合理的答案。

三次和四次方程问题被解决，自然地，人们的下一个目标是解五次方程，而事实上，找到解一般五次方程的公式是不可能的，证明这一点需要彻底改变观点，这最终导致了抽象代数的产生。