数学训练“三重奏”

王卿

笔者所在三年级数学阶段测试中遇到了这样一道题：用4个完全相同的长方形和1个小正方形（如图1），拼成一个边长16分米的大正方形。问题（1）：从图中可以看出，大正方形的一条边长是由长方形的一条（  ）和一条（  ）组成的。问题（2）：每个长方形的周长是多少分米？通过读题其实不难发现，问题（1）的设置其实是为了问题（2）做铺垫的，这样可以适当降低学生的思维难度。然而笔者通过统计，得到了以下数据，引人深思：

通过以上数据的对比分析可以发现，问题（1）的正确率远高于问题（2），说明学生通过直观图形的观察，能够发现“正方形的边长等于长方形的长和宽的和”这一关系，于是问题（2）的解答应该顺势而出——既然长加宽的和是16分米，那周长不就是16×2=32分米吗？但是笔者翻阅了全年级的试卷，发现很多问题（1）对的学生，问题（2）不会做，这样一种现象引起了笔者的反思。

一、原因分析

1.反思教师的教，片面强调解题方法“机械化”，限制了学生的思维能力

“长方形的周长公式”一课的教学，教师通常会出示例题，通过小组交流讨论得出几种不同的计算方法后，进行方法优化，得出“长加宽的和乘2”这种方法。在巩固练习阶段，老师通常会引导：要求长方形的周长，必须知道什么条件？学生们会异口同声地回答“要知道长方形的长和宽，这样就能求出周长”。教师在教学中过于对知识的细化讲解，过于追求学生解题质量的心态，过多干预学生思维的举动，可能是引发这一结果的根源。

2.反思学生的学，片面关注知识技能的掌握，缺乏主动探究、创造能力

小学生的年龄特点决定了孩子的学习具有模仿性。笔者在六年级学生中做过一次随机口头调查，在被访问者中，100%的学生能脱口而出圆的面积公式，会正确解答有关圆面积公式的实际问题，但只有32%的学生会比较完整地口述出圆的面积公式的推导过程。可见，学生在数学知识的学习过程中比较关注公式的应用，而公式的推导过程在他们看来没有那么重要，甚至有少部分学生会认为只要会解决问题就行。由此可以推想，学生在课堂教学中，数学知识技能的学习是他们听课关注的焦點，练习中的巩固也是形成熟练解题技能的必要训练。因此考试中才会出现如上问题，虽然问题（1）会解答，但回到求周长的问题时，学生仍然调动以往机械性的解题经验，首先就在寻找长和宽。试卷上还出现一部分学生把16分米拆分成12分米和4分米，然后再求周长，这些画蛇添足的做法实在不可取。这再次印证了学生的思维比较僵化，不够灵活多变。

二、辩证地把握数学训练与发展思维的关系

1.科学设计练习，发展学生思考力

科学的、一定数量的数学练习能促进学生理解，发展数学思维，反之，单一、重复的机械性训练，会限制学生的思考力。日常教学中，教师应有层次地设计练习，做到基础训练与变式训练并重，这样才能真正发展学生思考力。

只有教师在教学中注意题目的变化，减少单一训练，拓宽学生的思维空间，关注学生的数学思考，强调解题策略，这样学生的解题方式才会由“单一”变“多样”。

2.引导自主探索，发展学生的创造力

数学家华罗庚指出，对书本中的定律、公式问题，我们不仅应该记住它的结论，更应懂得它是怎么来的，明白经历了多少曲折、攻破多少难关才得出这个结论的。如在教学“圆的面积公式”这一课时，教师应留有充分的空间和时间，让学生自主经历知识形成的过程。课前预学单导学，让孩子课前根据预学单提示动手剪下书后16等分、32等分的圆，再拼一拼，思考：剪下的图形能拼成什么图形？拼成的长方形与原来的圆有什么关系？课中借助预学单助学，在四人小组里结合直观图边演示边交流，让每个孩子有充分的时间说出圆面积公式的推导过程。教者再借助动画演示，让学生再次感受将圆转化成长方形的过程中所蕴含的数学极限思想，更透彻地掌握了用转化的策略推导圆面积公式，建构新旧知识间的联系。这样才能避免解题中单一应用公式、生搬硬套的尴尬。

3.重视解题反思，提升学生学习力

郑毓信教授曾在《“数学核心素养”之我见》一文中指出，我们应当注意纠正的一个现象：我们的学生一直在做，一直在算，一直在动手，但就是不想！确实，作为一名一线教师，也常常遇到这样的苦恼，你花了很大的力气评讲订正过的题目，仍然有部分孩子解答是错误的，更可恼的是，这些孩子常常连自己错在哪里都不思考，只是人云亦云地跟着订正，形成低效学习。因此，在数学学习过程中，应引导学生自觉地检查自己的思维活动，反思自己是怎样发现和解决问题的，应用了哪些基本方法、技能和技巧。

如在平时的作业中要求学生针对自己的错误，进行局部反思，避免直接抄正确答案的“假订正”。尤其是填空题、选择题的订正，要求学生在旁边写出完整的解题步骤，可以列式、画图;判断题要求学生将错误的抄一遍，在旁边将正确的也写一遍。在进行阶段测试后，试卷上的错题要求学生抄题订正，进行深度反思。

综上所述，学生经历一定的富有变化、联系实际的数学问题的训练时，只有仔细审题、主动探究，自觉进行解题反思，才能抓住对象的本质，理解解题过程中的方法和策略，才能真正发展学生的数学思维能力。