机电伺服系统L1自适应控制

2020-10-16 00:29谢宜含姚建勇

液压与气动 2020年10期

谢宜含，姚建勇

(南京理工大学机械工程学院，江苏南京 210094)

引言

传统的机电伺服系统存在诸多的不确定性，各类不确定性的存在往往会对系统产生极大的影响，同时也是提升系统整体性能的关键。这些影响因素的存在对机电伺服系统的快速性和抗干扰性提出了更高的要求。已有非线性控制方法尽管可以处理系统的不确定性，但是对于系统高频跟踪的要求较难满足，而传统的线性频宽控制方法又因为缺乏主动补偿不确定性的手段而难以达到高精度控制要求。

现代社会中，尖端机械电子设备的一类发展方向为其高精度的动态控制，而控制性能指标是其中最主要的性能[1-2]。机电伺服系统的静态、准静态高性能控制已经得到较好的解决，然而机电伺服系统仍存在高动态控制的需求，即高频下的指令跟踪问题。此时，系统的难建模高阶动态会被激发，进而与系统固有的非线性、不确定性等耦合，导致非线性控制策略的设计更加复杂与困难。

目前已有的非线性实验结果仍然无法较好地处理机电伺服系统的高动态控制问题，其根本原因在于非线性控制器的设计过程中忽略了频宽这一设计要素，而一种基于L1自适应控制法的跟踪策略可以实现非线性控制器与线性频宽间的一体化设计。通过将低通滤波器引入控制器的方案，L1自适应控制法可以解耦系统的快速自适应与鲁棒性，使系统在实现快速性的同时保证良好的鲁棒性[3]。正因如此，基于此方法来设计构建机电伺服系统能够很大程度上保证高动态控制需求。L1自适应控制法的概念由CAO Chengyu等[4]提出。一般控制系统的高增益通常会使系统产生振荡，这也是一般自适应控制方法普遍存在的一类问题。而新提出的L1自适应控制法从结构入手，于控制器中增添低通滤波器环节，使得系统控制信号中的高频成分得以有效滤除，因此可以有效解决一般自适应控制方法中无法同时保证高增益下的快速性与尽可能少地产生高频振荡的问题。

而在对于机电伺服系统的信号处理上，存在一对微分关系的信号。基于此前提的数据处理可由对一组信号数值进行微分运算，从而得到系统所需的一对相关信号。一般情况下，信号处理中的微分运算可以直接通过数值差分法得出。然而，各类控制系统中的信号都存在噪声和不连续，很难完成微分计算。针对此情况，韩京清[5]于1994年提出了非线性跟踪微分器的概念，利用数值积分优于数值微分的状况，将给定信号的微分转化为一组微分方程的积分问题，以完成信号的跟踪及微分。此后文献[6]进一步提出的离散形式的跟踪微分器，不仅可以消除颤振，并且具备良好的动态响应和较高的稳态精度，非常适合于机电伺服系统的信号处理与速度估计[7-12]。

本研究基于L1自适应控制方法与离散形式跟踪微分器设计机电伺服系统控制律，并经过仿真验证了所设计控制律的鲁棒性与快速性，验证了跟踪微分器的信号提取能力，提高了系统的抗干扰能力。

1 机电伺服系统

1.1 机电伺服系统物理模型

所考虑的机电伺服系统结构如图1所示。本研究考虑的为伺服电动机直接驱动惯性负载的直流电机，其目的是使惯性负载尽可能地跟踪任何平滑的运动轨迹。

图1 机电伺服系统

通常，驱动的动态部分可分为内部电气和外部机械2个子系统。由于自身的固有属性，外部的机械子系统相较于内部的电气系统而言动态响应较慢。因此，控制系统的整体表现由外部的机械子系统决定。系统的方程可表示如下[13-14]：

(1)

(2)

其中，l1和l2代表不同的摩擦力；s1，s2,s3代表了各类摩擦效应的系数。

1.2 机电伺服系统状态空间描述

基于式(1)、式(2)的机电伺服系统物理模型，可以将系统状态空间模型表述如下：

(3)

其中,x=[x1,x2]T为机电伺服系统的状态和速度向量；设置参数集τ=[τ1,τ2,τ3,τ4,τ5]T，其中τ1=m/Ki，τ2=l1/Ki,τ3=B/Ki,τ4=dn/Ki，τ5=l2/Ki；并且d(x,t)=f(x,t)/Ki-dn/Ki；Sf(x2)=tanh(s1x2)；pf(x2)=tanh(s2x2)-tanh(s3x2)，τ4中的dn为总摩擦系数，使得所设计自适应控制律通过f(x,t)的缓慢变化保证跟踪性能[16]。

系统的结构不确定性通常由系统参数变化造成，例如机电伺服系统中的参数m,Ki,l1,l2,B以及dn。而由于系统组成、工作条件以及环境的差异，参数集τ可视为结构不确定性。

在此基础上，可以进一步将系统的状态空间表述为：

τ2tanh(s1x2)-τ5(tanh(s2x2)-

tanh(s3x2))-τ4-d(x,t))

(4)

其中的e,f均为已知可变常值，随系统参数值变化而变化，以获得最佳控制效果。上述表达式(4)与L1自适应控制器的系统模型结构相同。

2 L1自适应控制器

2.1 L1自适应控制器的设计

L1自适应控制系统由被控对象、状态预测器、控制器和自适应律4部分组成[17-18]。其中状态预测器用于估计模型的状态和变化；自适应律为用于估计参数；控制器采用补充低通滤波器的结构。根据给定的跟踪信号，L1自适应控制器按照给出的自适应律实时调整控制量，最后通过控制器中的低通滤波器对控制量的高频分量进行滤波，以实现既定性能。

1) 被控对象

(5)

其中,x(t)∈Rn为系统的状态向量(可测量)；u(t)∈R是控制输入；y(t)∈R为系统输出；b,c∈Rn为已知的常数向量；Am∈Rn×n是一个已知的Hurwitz矩阵，并要求满足闭环动态特性；ω∈R为一个含有已知符号的未知常量；θ(t)∈Rn为一个含有未知参数的时变矢量；σ(t)∈R为时变干扰。

2) 状态预测器

(6)

3) 自适应律

(7)

4) 控制器

将控制器的输出作为系统的控制输入：

(8)

而若要使L1自适应控制器稳定，需要满足稳定性条件：

(9)

通过式(5)～式(7)所定义的L1自适应控制器需要满足以下范数条件：

(10)

只有满足方程式(10)的条件，才能确保所述系统的瞬态性能和稳态性能的一致有界性。

L1自适应控制器结构如图2所示。

图2 L1自适应控制器结构图

2.2 L1自适应控制器稳定性分析

文献[19]中指出，根据被控对象(5)以及状态预测器(6)可以得到如下系统动态误差：

(11)

选取Lyapunov函数：

(12)

对其求导后化简，可通过自适应律中的投影算子得到：

(13)

(14)

(15)

综合上式可得：

(16)

那么，如果存在：

(17)

其中：

(18)

从而：

(19)

(20)

可得：

(21)

通过式(21)可得，状态量的跟踪误差收敛，并无限趋近于数值零的一个范围内。同时，系统的状态误差与自适应增益Γ呈负相关。

3 跟踪微分器

为了实现L1控制器，需要得到存在轻微噪声干扰的位移信号和速度信号。而通过以下的跟踪微分器，可尽可能快地获得所需要的信号。下式中，跟踪微分器以离散的形式给出[20]：

X1(i+1)=X1(i)+TX2,X2(i+1)=X2(i)+Tfhan

(22)

其中：

(23)

(24)

其中,R为速率限制参数；h为积分步长，并可以通过选择与采样频率T不同的数值来抑制噪声；v为输入信号；X1,X2为跟踪微分器的输出信号。在文献[21-22]中可以找到对于上述跟踪微分器稳定性的讨论，其结果表明，输出信号X1能够很好地跟踪输入信号v，而输出信号X2可以跟踪输入信号v关于时间的导数。因此，算法式(22)被称为跟踪微分器。

在接下来的仿真中将利用上述的跟踪微分器，将系统的输出x1应用到跟踪微分器，即可得到其关于时间的导数x2，即系统所需的状态x1和x2。

4 系统仿真

4.1 常值期望指令下的控制效果

自适应控制的输入形式如下：

D(s)=(0.00002s+0.009)/(0.001s2+0.05s+1.45)

其标准结构式中参数选取如下：

θ=[400 1.4-τ3]T=[400 -98.6]T

针对研究的机电伺服系统简化模型，以目前使用广泛的PID控制器为参考，综合考虑控制器的快速性、鲁棒性以及合理的控制输入量，将其参数设置为：

KP=47.16,KI=24.91,KD=-5.49

针对外加时变干扰的情况，将设计的L1自适应控制与PID控制律进行对比仿真可得，图3为系统存在时变干扰时的L1自适应控制与PID控制对比效果曲线，图4为L1自适应控制器与PID控制器的控制输入随时间变化情况，图5为L1控制器中参数估计的时变情况，图6为跟踪微分器的跟踪效果图。

从图3～图6可得出，系统输出能快速跟踪上参考输入；控制输入在一定范围内一致有界；参数估计一致有界；跟踪微分器可从测量信号中合理提取连续信号及微分信号。L1自适应控制器保证了系统在不确定的高频时变扰动下具有一致且光滑的暂态特性，当自适应增益适当时，系统的状态误差较小。通过将L1自适应控制器与MATLAB自整定的PID控制器进行对比可得：L1自适应控制器引入的状态预测器能够更有效地识别外界干扰，快速跟踪输入误差，具有良好的鲁棒性。L1自适应算法独特之处在于能够有效识别不确定参数并具备良好抗干扰能力。相比于图4中PID控制器，L1自适应控制器只需要较少的输入量即可达到同PID控制相同甚至更好的效果。